Нужны ли нам новые числа? (Иные поля чисел)

[tolstopuz]

STilda писал(а):

А как быть с $A+B$? В комплексных числах операция выполнится, в Системе1 не выполнится. Как тогда быть с изоморфизмом? Я с таким не сталкивался раньше. Изоморфизм предполагает одинаковость аксиоматик двух систем?

Да, изоморфизм означает совпадение некоторого списка "наблюдаемых" свойств. С помощью арифметических операций и сравнения этих чисел, не залезая в их внутреннюю структуру, невозможно узнать, "выполнилась" операция или не "выполнилась".

STilda писал(а):

Корректно ли ставить задачу про изоморфизм ориентированного и неориентированного графа?

Строго говоря, нет. Но в принципе понятно, что под этим подразумевается изоморфизм первого графа, в котором потеряли информацию об ориентированности, со вторым.

STilda писал(а):

Либо, например, между группой и полем?

Нет. Можно, например, рассматривать изоморфизм между данной группой и группой данного поля по сложению. Или группой ненулевых элементов по умножению.

STilda писал(а):

Дальше, еще хочу заметить нюанс, что $+$ в $1+x+x^2=0$ (на основе которого Вы получили $A+B+C=0$) и $+$ в системе1, где так же $A+B+C=0$ это разные вещи. В системе1 это один $+$ с тремя позициями вокруг (одна или две могут быть пустыми (с числом 0) ). В случае $1+x+x^2=0$ имеем два последовательных действия, тоесть два $+$ с двумя позициями вокруг. Это конечно не формально. Но лучше я пока высказаться не могу. Разница какая-то физическая в этих "плюсах".

В вашей Системе1 есть операция тернарного сложения - $A+B+C$. Удовлетворяет ли она аналогам законов коммутативности и ассоциативности? Всегда ли $A+B+C=C+A+B$? Всегда ли $(A+B+C)+D+E=A+(B+C+D)+E$? Если да, то тернарное сложение ($+$) и бинарное (например, $\oplus$) полностью определяют друг друга. Имея одно, можно определить другое:

$$A+B+C\mapsto (A\oplus B)\oplus C$$

$$A\oplus B\mapsto A+B+0$$

В отличие от потери ориентированности в графе, здесь отображение взаимно однозначное:

$$A\oplus B\mapsto A+B+0\mapsto (A\oplus B)\oplus 0 = A\oplus B$$

$$A+B+C\mapsto (A\oplus B)\oplus C\mapsto (A+B+0)+C+0 = (0+A+B)+C+0=0+(A+B+C)+0=A+B+C$$

То есть в Системе1 можно определить бинарное сложение на основе тернарного или, наоборот, для комплексных чисел определить тернарное сложение на основе бинарного. После любого из этих действий две системы будут иметь общий набор операций, и изоморфизм можно будет понимать уже без придирок.

[PAV]

Факторизация - это, грубо говоря, когда мы имеем некоторое множество объектов, а затем постулируем, что некоторые из них "равны". При этом объекты разбиваются на классы "равных" и в дальнейшем мы на самом деле работаем с этими классами.

Например, рассматривали мы кольцо многочленов от одной переменной $\mathbb{R}[x]$, в которые могу входить любые степени переменной. Факторизовать его по соотношению $x^3-1=0$ (моя терминология тут, полагаю, не совсем точна) - это значит считать, что $x^3$ можно заменять на 1. При этом пространство становится конечномерным, так как можно всегда избавиться от высоких степеней переменных, когда они появляются (например, при умножении).

Добавлено спустя 25 минут 13 секунд:

Я не очень понимаю пост tolstopuz'а про тернарные операции. Давайте, изложу свое видение Вашей "Системы-1", а Вы подумайте, с чем не согласны.

Итак, мы рассматриваем множество троек неотрицательных вещественных чисел $\mathbb{T}=\{(a,b,c)\}$. Буду для краткости эти объекты называть т-числами.

Для наглядности записи мы ввели абстрактные буквы $A,B,C$ и договорились записывать т-число $x=(a,b,c)$ в виде суммы $aA+bB+cC$. При этом значок "+" в этой записи пока что никакого содержательного смысла не имеет, это просто такой разделитель, аналогично запятой в записи $(a,b,c)$.

Строго говоря, если мы напишем просто $A$, то это не является т-числом, у нас еще не введено такого объекта. Но мы (опять-таки для удобства) договорились, во-первых, не писать коэффициент 1 перед буквами, а также опускать буквы, перед которыми стоят нулевые коэффициенты. Таким образом, когда мы пишем $A$, то подразумеваем на самом деле т-число $1A+0B+0C$ или тройку $(1,0,0)$. Когда пишем $A+C$, то подразумеваем тройку $(1,0,1)$. Когда пишем 0, то подразумеваем $0A+0B+0C$ или тройку $(0,0,0)$.

Также мы договорились, что в записи в виде суммы "слагаемые" можно писать в любом порядке. Т.е. тройка $(1,2,0)$ может быть записана и как $A+2B$, и как $2B+A$.

Заметьте, что пока что мы ни словом не обмолвились о том, что наши т-числа можно как-то складывать. Мы не можем утверждать, что т-число $(1,1,1)$, которое можно записать как $A+B+C$, есть "сумма" т-чисел $(1,0,0)$ и $(0,1,1)$.

Пока что мы только обсудили некоторые способы изображения на письме элементов нашего множества $\mathbb{T}$, но никаких операций на нем еще не вводили.

Теперь мы хотим определить на нашем множестве операции "сложения" и "умножения". Для того, чтобы не путаться, определим их на каноническом способе изображения. Так, мы по определению полагаем:
$(a,b,c)+(a',b',c')=(a+a',b+b',c+c')$
$(a,b,c)\cdot(a',b',c')=(aa'+bc'+cb',ab'+ba'+cc',ac'+bb'+ca')$

После того, как эти определения даны, все остальные базовые свойства (дистрибутивность, коммутативность, ассоциативность) уже проверяются. Также проверяется, что тот значок "+", который мы использовали для наглядной записи т-чисел, действительно соответствует введенной нами операции, т.е. что т-число $aA+bB+cC$ действительно можно рассматривать как сумму трех т-чисел $aA$, $bB$, $cC$. Проверяется, что т-число $(0,0,1)$ выступает в роли единицы, а т-число $(0,0,0)$ выступает в роли нуля. Проверяется, что введенные операции можно выполнять "почленно", перемножая отдельные одночлены и пользуясь таблицей умножения $AA=B$...

Добавлено спустя 20 минут 21 секунду:

Ну и также мы еще объявили, что т-число $(1,1,1)$ и $(0,0,0)$ - это одно и то же. Это уже определенная факторизация, т.е. теперь какие-то числовые тройки у нас будут обозначать одинаковые т-числа.

Теперь кратко поясню, как получить ту же самую систему по-другому. т-число $C$ играет роль единицы (а тройки вида $(0,0,c)$ в точности соответствуют обычным вещественным числам). Поскольку $AA=B$, то совершенно ествественно сопоставить букве $A$ абстрактную переменную $x$, тогда букве $B$ соответствует $x^2$ и мы приходим к обычным многочленам $\mathbb{R}[x]$. Чтобы было выполнено $AB=C$, нужно положить в этом кольце $x^3=1$, что я и предлагал первой факторизацией. При этом равенство $BB=A$ уже получается автоматически: $BB=(AA)B=A(AB)=AC=A$. Т.е. мы получили объект, в точности изоморфный т-числам, если не считать последней введенной операции.

Чтобы теперь иметь $A+B+C=1$, нужно положить $x^2+x+1=0$. Это - вторая факторизация, которую я предлагал. Но AD совершенно справедливо заметил, что многочлен $x^3-1$ делится на $x^2+x+1$. Это значит, что если мы сразу начнем с того, что положим $x^2+x+1=0$, то соотношение $x^3-1=0$ будет выполнено автоматически. Достаточно только одной этой факторизации.

(Иными словами, достаточно постулировать следующие свойства: $C$ является единицей, $AA=B$ и $A+B+C=0$. Вся остальная часть таблицы умножения выводится из них).

Итак, теперь мы в точности построили объект, соответствующий т-числам. Но заметим, что над $\mathbb{R}$ многочлен $x^2+x+1$ неприводим. Это означает на самом деле, что у нас нет делителей нуля. Но тогда мы по теореме Фробениуса обязаны получить множество комплексных чисел.

Итак, т-числа изоморфны полю комплексных чисел относительно операций сложения и умножения, которые мы ввели. Это означает, что имеется взаимно-однозначное соответствие между т-числами и обычными комплексными числами, причем согласованное с операциями. Формулы я приводил. Можете проверять, если хотите, но это действительно так. "Система-1" = $\mathbb{C}$.

[Someone]

STilda писал(а):

PAV писал(а):

Хотя на самом деле из равенства $3C=0$, конечно же, следует $C=0$. Для этого нужно умножить обе части равенства на "число" $\frac{1}{3}C$. В левой части будет $C$, а в правой будет 0.

Пока-что не могу дать вразумительного объяснения, но это не так.

Вообще-то, так бывает. Например, в поле характеристики 3 (простейшее - поле вычетов по модулю 3). В таком поле $x+x+x=0$ для любого $x$. Так что это само по себе не противоречие. Но для анализа нужна полная формально выписанная система аксиом. А то время от времени появляются какие-то новые соотношения, не следующие из ранее известных.

[PAV]

STilda писал(а):

Пока-что не могу дать вразумительного объяснения, но это не так.

В данном случае это следует из тех операций умножения, которые Вы ввели. Хотите, чтобы это было не так - меняйте операции. Но это сейчас не очень-то важно, поскольку, как я уже говорил, в данном случае была моя ошибка и на самом деле $3C\ne 0$.

[STilda]

Someone писал(а):

STilda писал(а):

PAV писал(а):

Хотя на самом деле из равенства $3C=0$, конечно же, следует $C=0$. Для этого нужно умножить обе части равенства на "число" $\frac{1}{3}C$. В левой части будет $C$, а в правой будет 0.

Пока-что не могу дать вразумительного объяснения, но это не так.

Вообще-то, так бывает. Например, в поле характеристики 3 (простейшее - поле вычетов по модулю 3). В таком поле $x+x+x=0$ для любого $x$. Так что это само по себе не противоречие. Но для анализа нужна полная формально выписанная система аксиом. А то время от времени появляются какие-то новые соотношения, не следующие из ранее известных.

Согласен с таким примером.

Да, согласен на счет аксиом, которые используем для построения новых систем. Они вот здесь [url]http://mudrec.org/www/mediawiki_math/index.php/Система_аксиом[/url]. Своими словами их выскажу здесь чуть позже.

Теперь. Относительно того, что из $3C=0$ следует $C=0$. Думаю, суть не поменяется, если я рассмотрю случай с $2C=0$.

Рассмотрим систему:
$Q\#Q=R$,
$R\#R=R$,
$Q\#R=Q$
$Q,R$ - некие объекты, $\#$ - взаимодействие (операция).

Ей соответствуют такие законы "обычного" умножения:
$-*-=+$,
$+*+=+$,
$-*+=-$

Но ей так же полностью соответствует в других обозначения система:
$C+C=0$,
$0+0=0$,
$C+0=C$

Все эти три системы - одно и тоже, только переобозначили объекты и операции. Потому, если утверждать, что из последней следует $C=0$, значит можно утверждать, что из второй следует $-=+$. Тоесть "вслепую" тут лучше не действовать. Про что вы впринципе и сами знаете. Все зависит от заданной системы отношений.

PAV писал(а):

В данном случае это следует из тех операций умножения, которые Вы ввели. Хотите, чтобы это было не так - меняйте операции.

Полностью с вами согласен.

К системе1 можно добавить, например, $A+B=C$. Тогда это повлечет за собой $A+C=B$ и $B+C=A$, а также $A+A=0,B+B=0,C+C=0$. И тут всеже не будет $A=B=C=0$. Это как пример.

(Тут, выше, уже нужно довольно сильно использовать аксиомы, а мы их еще не оговаривали, потому пока что не "придирайтесь" сильно.)

( Тут филосовский аспект: Если в системе1 была "свободна" количественная сторона, то после такого добавления, у нас система "замкнулась". При этом, теперь она способна изображать явления только качественного характера, функционирование какой-то реальной системы, в виде переходов из одного качественного состояния в другое. Существующие подходы к моделированию обычно направлены на описание процесса с помощью количественной стороны.)

Так, теперь про изоморфизм.

Добавлено спустя 10 минут 47 секунд:

tolstopuz писал(а):

В отличие от потери ориентированности в графе, здесь отображение взаимно однозначное:

$$A\oplus B\mapsto A+B+0\mapsto (A\oplus B)\oplus 0 = A\oplus B$$

$$A+B+C\mapsto (A\oplus B)\oplus C\mapsto (A+B+0)+C+0 = (0+A+B)+C+0=0+(A+B+C)+0=A+B+C$$

Понимаете, в первой строчке, перед $A\oplus B\mapsto $ должно кое-что стоять еще. Если $\oplus$ определенная бинарная операция, значит $A\oplus B=K$ должно выполняться. И при установлении изоморфизма вам придется делать "операцию расщепления" $K\mapsto A\oplus B$. Повезло, что мы сей час рассматриваем систему1, где это расщепление однозначно. Но это далеко не всегда будет так. Потому меня и смущает изоморфизм этот.
Может для системы1 он и имеет место быть.

Добавлено спустя 15 минут 57 секунд:

to PAV. Спасибо за пояснения про факторизацию. Суть понятна.
В Вашем построении с т-числами не нравится мне отношение к $0$ как к $(0,0,0)$. Это немного не так. $0$ это такой же объект как и $A,B,C$. Мы задаем систему отношений между четырьмя объектами $A,B,C,0$. 0 как число и $0$ как нейтральный относительно сложения объект - это разное. Опять же. Возможно в конкретно этом случае, в случае системы1, разница не заметна.
Но вот я захочу ввести третью операцию, наряду с $*$, $+$ еще $\#$. И я хочу чтоб это было логично, с единых позиций, вобщем принципы построения не хочу менять. Была одна операция $*$, добавил вторую $+$, потом, захотел, добавил по аналогии $\#$. Допустим имели мы только умножение и полярности $+,-$. Если бы мы рассматривали $+$ (как единицу по умножению) в таком стиле как Вы предложили рассматривать $0$ (единицу по сложению), то для добавления сложения нам бы пришлось пересмотреть интерпретацию $+$.
Впрочем, не говорю что Ваше построение не верное. В конце концов одну и туже систему отношений можно задать в различных обозначениях. В том числе у различных построений может быть одна и та же суть. Как (возможно) у системы1 и Вашим изоморфным вариантом.
Скорее всего это дело вкуса и удобства.

Добавлено спустя 16 минут 38 секунд:

Как на счет модели, в которой взаимодействию двух объектов нельзя поставить в соответствие один результирующий объект? А, например, только два взаимодействующих других. Такое поведение можно смоделировать в "обычной" математике?

Вообще-то, предлагаю остановиться на первичных принципах построения моделей, правилах оперирования, что можно, что нельзя, и что зависит уже от модели, и его можно не аксиоматизировать. Мой вариант будет скорее всего повторять те, что по ссылке указанной чуть выше. Только своими словами и со своей интерпретацией.

Мы начали с полей чисел, но вот уже дошли до моделей, в которых количественная сторона тоже не какая попало.

[PAV]

STilda писал(а):

В Вашем построении с т-числами не нравится мне отношение к $0$ как к $(0,0,0)$. Это немного не так. $0$ это такой же объект как и $A,B,C$

А по-другому и не получится. Делов том, что при введенных Вами операциях сложения тройка $(0,0,0)$ является нулем (по своим свойствам). А двух разных нулей быть не может, это первая теорема любого изложения теории групп.

И еще одно. Обратите внимание, что свое аккуратное построение Вашей системы я начал с чего? С того, что однозначно определил множество объектов, с которыми буду работать. После этого уже можно вводить на этом множестве операции всякие, другие построения делать, но первый шаг должен быть именно таков.

Ну да ладно, мы уже начали говорить немного на разных языках. Я просто призываю Вас более строго подходить к построениям, а также несколько более внимательно к тому, что уже было сделано ранее. Вот Вы вводите что-то казалось бы такое, чего не было раньше - а получаются обычные комплексные числа, только записанные чуть по-другому. Уверяю Вас, что существующие теории достаточно общи и охватывают много "естественных" ситуаций. Чтобы выдумать что-то действительно новое, придется придумать что-то совсем неестественное. И все равно не факт, что получится новое.

[tolstopuz]

PAV писал(а):

Я не очень понимаю пост tolstopuz'а про тернарные операции.

STilda писал(а):

tolstopuz писал(а):

В отличие от потери ориентированности в графе, здесь отображение взаимно однозначное:

$$A\oplus B\mapsto A+B+0\mapsto (A\oplus B)\oplus 0 = A\oplus B$$

$$A+B+C\mapsto (A\oplus B)\oplus C\mapsto (A+B+0)+C+0 = (0+A+B)+C+0=0+(A+B+C)+0=A+B+C$$

Понимаете, в первой строчке, перед $A\oplus B\mapsto $ должно кое-что стоять еще. Если $\oplus$ определенная бинарная операция, значит $A\oplus B=K$ должно выполняться. И при установлении изоморфизма вам придется делать "операцию расщепления" $K\mapsto A\oplus B$. Повезло, что мы сей час рассматриваем систему1, где это расщепление однозначно. Но это далеко не всегда будет так. Потому меня и смущает изоморфизм этот.
Может для системы1 он и имеет место быть.

Попробую объяснить еще раз. Сразу обговорим, что сейчас мы говорим о системе1 и только о системе1, потому что других систем мне не объяснили.

Насколько я понимаю, в системе1 вместо бинарной операции сложения определена тернарная, для определенности назовем ее "квожением". Насколько я понимаю далее, если квожать число с двумя нулями в любых комбинациях, получится обратно это число. Насколько я смею надеяться, результат квожения не изменяется от перестановки квожаемых, а результат последовательности квожений не изменяется от расстановки скобок.

Я лично, ведомый лишь божественным провидением и гениальным откровением, объявляю установленной операцию "сложения" ДВУХ чисел системы1. Работать она будет так:

Чтобы "сложить" два числа, надо квожить их с нулем.

Теперь я забываю, что у нас была какая-то операция квожения. Остается только сложение, то есть некое множество элементов, образующих коммутативную группу. И теперь я, в очередной раз ведомый лишь божественным провидением и гениальным откровением, объявляю установленной операцию "квожения-штрих" ТРЕХ чисел этой группы:

Чтобы "квожить-штрих" три числа, надо сложить первые два из них, а результат сложить с третьим числом.

Теперь у нас получается новая система1 с теми же элементами, но новым квожением-штрих. А теперь вспоминаем старое квожение и подставляем одно в другое:

Чтобы квожить-штрих три числа, мы складываем первые два из них, а результат складываем с третьим числом. Вспоминая определение сложения, выясняем, что это означает квожить первые два числа с нулем, а результат квожить с третьим числом и нулем. Переставляя квожаемые и скобки, получаем, что надо квожить три числа, а результат квожить с двумя нулями. Последняя операция тривиальна, в результате получаем: чтобы квожить-штрих три числа, надо квожить три числа. То есть квожение-штрих совпадает с квожением.

Что же это означает? А то, что мы сделали из тернарной операции некую бинарную выжимку, по которой исходная операция полностью восстанавливается. То есть при этой выжимке мы не теряем никакой информации об исходной тернарной операции.

Если же мы проведем это рассуждение в обратную сторону - группа со сложением -> система1 с "квожением" -> группа со сложением-штрих, то мы совершенно аналогично выясним, что и при этой цепочке операция сложения полностью восстанавливается.

Это означает, что нам абсолютно неважно, каким из равносильных сложений пользоваться - бинарным или тернарным.

[AD]

STilda писал(а):

Как на счет модели, в которой взаимодействию двух объектов нельзя поставить в соответствие один результирующий объект? А, например, только два взаимодействующих других. Такое поведение можно смоделировать в "обычной" математике?

Ой, да запросто. Просто делаем отображение $f:M^2\to M^2$. Впрочем, это - то же самое, что задать два отображения, $f_1:M^2\to M$ и $f_2:M^2\to M$, и использовать их вместе.

А можно и чтобы разное количество объектов получалось, тогда делаем $f:M^2\to2^M$. И, наконец, если хотим описать правила "при взаимодействии такого-то набора объектов получается такой-то набор объектов", делаем отображение $f:2^M\to2^M$.

А вообще забавная мысль. То, что во втором абзаце, в универсальные алгебры уже укладывается со скрипом. Хотя можно, конечно, постараться.

Добавлено спустя 2 минуты 34 секунды:

В обычной математике можно всё!

STilda писал(а):

Вообще-то, предлагаю остановиться на первичных принципах построения моделей, правилах оперирования, что можно, что нельзя, и что зависит уже от модели, и его можно не аксиоматизировать

Но только если всё честно аксиоматизировать.

[bot]

AD писал(а):

А вообще забавная мысль. То, что во втором абзаце, в универсальные алгебры уже укладывается со скрипом

В универсальную алгебру очень много чего уложить можно.
Другое дело, что не всё в ней рассматривать удобно без привлечения неалгебраических понятий.

Можно пояснить для поверхносто следящего (*) за дискуссией о каком абзаце речь?

(*) Сильно сейчас занят предстоящей студенческой олимпиадой и по форумам рыскаю в основном,
чтоб слямзить задачу или идею задачи.

[AD]

bot писал(а):

Можно пояснить для поверхносто следящего (*) за дискуссией о каком абзаце речь?

AD писал(а):

А можно и чтобы разное количество объектов получалось, тогда делаем $f:M^2\to2^M$. И, наконец, если хотим описать правила "при взаимодействии такого-то набора объектов получается такой-то набор объектов", делаем отображение $f:2^M\to2^M$.

Ну то есть можно, конечно, нагородить операций $f_\mu(x,y)$ по числу элементов $\mu$ множества $M\cup\{\text{нет объекта}\}$, по правилу

$$f_\mu=\begin{cases}\mu, &\text{если при взаимодействии }x\text{ и }y\text{ образуется }\mu\cr \text{нет объекта}&\text{в противном случае}\end{cases}$$

Добавлено спустя 9 минут 16 секунд:

Я описал коряво, но смысл вроде понятен.

[bot]

Стало понятно, что непонятно.
Я думал, что может быть, речь идёт о каком-нибудь абзаце выше. А тут надо вникать о каких объектах речь.
Вот Яркин вводил объекты и хотел, чтобы они автоматически наследовали желаемые свойства,
а они его желанию противились - Фробениус поперёк дороги стал. В дискуссии о сопряжениях
тоже похожая картина нарисовалась - те же комплексные числа, только "в профиль".
В общем, из последних сообщений пока мне только PAV понятен, да ещё, в принципе, могу согласиться
(но это надо посмотреть внимательно) с тернарной операцией - действительно ли там получается то,
что в универсальной алгебре называют рациональной эквивалентностью?

[tolstopuz]

bot писал(а):

да ещё, в принципе, могу согласиться
(но это надо посмотреть внимательно) с тернарной операцией - действительно ли там получается то,
что в универсальной алгебре называют рациональной эквивалентностью?

Наконец-то я узнал, как называется придуманный мной "изоморфизм" систем с разными сигнатурами

[STilda]

to tolstopuz:

Цитата:

В вашей Системе1 есть операция тернарного сложения - $A+B+C$

Чтобы избежать проблем с терминологией, я назову операцию сложения системы1 не тернарной а трехполярной.
Во-первых, она не подразумевает, что складывать можно только три числа, а два - нельзя. Во-вторых, я, если чесно, не понимаю, что в важей операции $\oplus$ бинарного. Если вы представляете операцию сложения системы1 как функцию трех аргументов, где первый аргумент - для $A$, второй - для $B$, третий - для $C$, и сводите ее некоторым образом к бинарной, подставляя 0 вместо недостающего аргумента, то это не корректно вообще, ибо тогда в записи $(A\oplus B)\oplus C=A\oplus (B\oplus C)$ используются разные операции $\oplus$. В-третих, если Вы вводите операцию $\oplus$ через трехполярную $+$, то должны принять во внимание, что выражение $A\oplus B$ результата не имеет, и потому второй знак $\oplus$ в $(A\oplus B)\oplus C$ бинарным называться не имеет права.

Цитата:

После любого из этих действий две системы будут иметь общий набор операций, и изоморфизм можно будет понимать уже без придирок.

Кажется, так введенная Вами операция $\oplus$ не дает "облегчения" для установления изоморфизма.
(В объяснении через "квожение" те же нюансы.)

to PAV: да, пока что не могу с Вами спорить по поводу Вашего построения изоморфизма. Единственное, конечно, фробениус не мог выдумать абсолютную теорему для всех времен, она все равно имеет свою область применения и захватывает только свой класс чисел (видов чисел, чисел строющихся по такому-то принципу).
К тому же, если такой изоморфизм даже и есть, но окажется "математическим извращением", опирающемся на рациональность, иррациональность, трасщендентность или еще чего-нибудь такое, а биекция окажется разрывной во всех точках )), то лучше я буду пользоваться системой1 чем работать в терминах комплексных чисел.

Если кому не сложно, дайте либо ссылку на полную формулировку теоремы Фробениуса, либо здесь напишите, пожалуйста. А то не удается найти.

Добавлено спустя 6 минут 27 секунд:

Так, заодно маленький вопросик, может кто-то знает уже, "Построить изоморфизм между адитивной группой целых чисел и адитивной группой комплексных целых чисел".

[PAV]

STilda писал(а):

К тому же, если такой изоморфизм даже и есть, но окажется "математическим извращением", опирающемся на рациональность, иррациональность, трасщендентность или еще чего-нибудь такое, а биекция окажется разрывной во всех точках )), то лучше я буду пользоваться системой1 чем работать в терминах комплексных чисел.

Нет, здесь никакого извращения нет, все непрерывно. Я же писал алгоритм перевода

PAV писал(а):

$C=1$, $A=\frac{\sqrt{3}}{2}i-\frac{1}{2}$, $B=-\frac{\sqrt{3}}{2}i-\frac{1}{2}$.

Подставляете и получаете комплексное число, соответствующее Вашему.

Добавлено спустя 6 минут 28 секунд:

А по поводу теоремы Фробениуса формулировка нашлась здесь

http://elementy.ru/blogs/users/icq238777372/11551/

читайте, если что непонятно - спрашивайте. Говоря простым языком, есть ряд свойств, при выполнении которых нельзя получить ничего иного кроме действительных чисел, комплексных чисел либо кватернионов. Хотите чего-то другого - необходимо нарушать какие-то из этих свойств.

[tolstopuz]

STilda писал(а):

Чтобы избежать проблем с терминологией, я назову операцию сложения системы1 не тернарной а трехполярной.

Дайте, пожалуйста, определение "трехполярной операции". Иначе непонятно, о чем мы вообще говорим.

STilda писал(а):

В-третих, если Вы вводите операцию $\oplus$ через трехполярную $+$, то должны принять во внимание, что выражение $A\oplus B$ результата не имеет

По моему определению $A\oplus B=A+B+0$. Вы хотите сказать, что $A+B+0$ результата не имеет?

STilda писал(а):

Так, заодно маленький вопросик, может кто-то знает уже, "Построить изоморфизм между адитивной группой целых чисел и адитивной группой комплексных целых чисел".

Не существует. Первая группа циклическая, вторая - нет.