Нужны ли нам новые числа? (Иные поля чисел)

[STilda]

Так, теперь аксиомы. Это будут аксиомы построения моделей. Либо моделей чисел, либо еще каких-нибудь.

А1. Существуют различающиеся полярности А, В, С, … М.

А2. Полярности А, В, С,….М могут взаимодействовать между собой.

Набор объектов сам по себе никого не интересует. Если рассматривать систему объектов, то это подразумевает их взаимодействие и взаимосвязь. Бесконечный набор объектов или законов отношений между ними возможно конкретизировтаь только конечным. Тоесть, работа с такой бесконечностью будет основана на работе с этим конечным. Конечный набор законов взаимодействий между объектами будет задаваться законами отношений между полярностями.

А3. Одной или нескольким взаимодействующим полярностям можно поставить в соответствие одну или несколько взаимодействующих полярностей.

Для меня это означает, что мы можем писать $A\#B=C$ или $W\#S=Q\#P\#L$. Тоесть есть знак $=$.

А4. Соответствие не нарушится, если один и тот же поляризованный объект войдёт во взаимодействие с исходным и поставленным ему в соответствие комплексом полярностей.

Это означает, что если $A\#B=C$, то верно, что $A\#B\#S=C\#S$.

А5. Комутативность, ассоциативность во взаимодействии.

Тоесть $A\#B=B\#A$ и $(A\#B)\#C=A\#(B\#C)$
(Это, кажется, можно логически доказать (как и сделано в первоисточнике), но пусть у нас будет аксиомой.)
И, да, про скобочки я не говорю отдельно, они, как и обычно, нужны для указания порядка выполнения операции взаимодействия.

Дополнение. Также допускается существование различающихся видов взаимодействия в модели $\#,*,+,...,\oplus$. Также должен быть критерий установления принадлежности к модели, тоесть нужно уметь отвечать на вопрос типа: "Одна ли эта система или тут две, стоящих рядом?". Этот вопрос пока что без ответа.

Аксиомы взяты с сайта [url]http://mudrec.org/www/mediawiki_math/index.php/Система_аксиом[/url] и частично изменены и прокоментированы по моему текущему понимаю теории.

Добавлено спустя 10 минут 45 секунд:

PAV писал(а):

Нет, здесь никакого извращения нет, все непрерывно. Я же писал алгоритм перевода

tolstopuz писал(а):

По моему определению $A\oplus B=A+B+0$. Вы хотите сказать, что $A+B+0$ результата не имеет?

Да, объекту $A+B$ нельзя ничего поставить в соответствие кроме как $A+B$.
Поэтому, PAV, не могу согласится с тем, что предложеный вами алгоритм перевода подходит. Ибо тогда в комплексных числах выполняется та операция, которая в системе1 не выполняется. Мне кажется, что выражениям типа $A+B$,$3A+1C$ должно в комплексных числах соответствовать нечто в виде $1+i$,$3-2i$, тоесть то, что также "нельзя сложить".

tolstopuz писал(а):

Дайте, пожалуйста, определение "трехполярной операции". Иначе непонятно, о чем мы вообще говорим.

Мы говорим об операции "сложения" со свойствами, которые заданы системой1. Разве этого не достаточно? В данном случае, думаю, можете считать это определением.

[PAV]

Приведите, пожалуйста, конкретный пример операции сложения или умножения над Вашими числами, которая не согласована аналогичной операцией над соответствующими комплексными числами.

[tolstopuz]

В общем, с тернарностью и трехполярностью я вас понял абсолютно неправильно. Это, кстати, о пользе своевременного приведения определений.

Так что присоединяюсь к вопросу PAV. И в очередной раз пытаюсь узнать у вас, что означает "операция не выполняется" и "нельзя сложить", если мы не видим внутреннюю структуру объектов, а видим только их поведение в арифметических операциях и сравнениях.

[STilda]

Хорошо, постараюсь объеснить, что я понимаю под выражением "нельзя сложить".
Натуральный объект (например, бескачественное число) может быть поляризован в некоторое качество (получить цвет, положительность, мнимость, и т.д.) Эти качества должны быть определены. Определяются они системой отношений между ними, или, проще говоря, законами взаимодействий этих качеств. Если нет законов, то и нет смысла в рассмотрении качества, ибо это рассмотрение сводится лишь к костатации факта наличия объекта.
Дальше. Допустим объект обладает неким качеством и мы его поляризуем в еще одно качество. Система отношений между качествами может быть такой, что два качества сольются и образуется некое третье качество, а может быть такой, что два качества останутся двумя качествами.
В комплексных числах, например, для числа может одновременно существовать и характеристика "мнимости" и характеристика "положительности", они не сливаются, образуя новое. Так $1+i$ остается $1+i$. Это я называю "нельзя сложить". Тут же "можно сложить" в других случаях: $1+1=2$. В системе1 $A+2B$ останется $A+2B$, тоесть набор свойств $A$ и $B$ не заменяется неким одним третьим свойством.

PAV писал(а):

Приведите, пожалуйста, конкретный пример операции сложения или умножения над Вашими числами, которая не согласована аналогичной операцией над соответствующими комплексными числами.

В системе1 выражению $A1+B2$ нельзя ничего поставить в соответствие. Тоесть результата операции нету. Можно говорить про то, что это не операция, а задание набора свойств объекта. В комплексных числах же, вы предложили

PAV писал(а):

$C=1$, $A=\frac{\sqrt{3}}{2}i-\frac{1}{2}$, $B=-\frac{\sqrt{3}}{2}i-\frac{1}{2}$.

и потому, $A+B=-1$. Тоесть результат операции есть, сложение выполнимо.
Потому, на такой изоморфизм я соглашусь лишь с оговоркой, что он теряет некоторую информацию. ( В этом смысле он аналогичен изоморфизму ориентированного и неориентированного графа, где теряется некоторая информация, ввиду несоответствия сути сопоставляемых структур )

Посмотрел теорему Фробениуса, спасибо за ссылку. Согласитесь, что она, во-первых, всюду использует действительные числа (а в системе1, отрицательность не допустима). Это выразится в том, что операция $+$ используемая для записи вида чисел, для которых формулируется теорема, должна быть "истинно бинарной". Под этим я подразумеваю операцию, для которой выполняются аксиомы группы по сложению. Значит рассматривается случай, когда для любой "мнимой единицы" $i,j,k,...$ существует ее компенсирующая $-i,-j,-k,...$, такая, что $i+(-i)=0,j+(-j)=0,k+(-k)=0...$.
Трехполярная операция системы1 не удовлетворяет этому условию, ибо для $A$ не существует ее компенсирующей "мнимой" единицы: $A+B\ne 0,A+C\ne 0,A+A\ne 0$. Компенсирование может быть лишь набором $B+C$, который уже включил в себя операцию. Поэтому это отличительная характеристика трехполярной операции сложения. Компенсация только тройственная.

[PAV]

Я не понимаю, что значит $A1+B2$. Это то же самое, что $1\cdot A+2\cdot B$?

[STilda]

PAV писал(а):

Я не понимаю, что значит $A1+B2$. Это то же самое, что $1\cdot A+2\cdot B$?

$A1$ и $1A$ это одно и тоже и означает число $1$ с качеством $A$.

Добавлено спустя 2 минуты 33 секунды:

операция $\cdot$ должна иметь смысл "окрашивания" числа в некую характеристику.

Добавлено спустя 3 минуты 35 секунд:

проводите аналогию с $(+)1+(i)2$ для комплексных чисел.

[worm2]

STilda писал(а):

Так, теперь аксиомы. Это будут аксиомы построения моделей. Либо моделей чисел, либо еще каких-нибудь.

Обычно, когда начинают построение какой-либо системы, не похожей на известные алгебраические структуры, исходят из теории множеств. Редко когда приходится привлекать что-то более низкоуровневое, вроде двузначной логики предикатов первого порядка (какая-либо другая логика вообще крайняя редкость). Если мы только не проводим исследования в рамках самой логики. В любом случае, если для описания алгебраической структуры возникает необходимость использования низкоуровневого языка логики (т.е. теория множеств не подходит), то это уж очень экзотический случай, серьёзное потрясение "основ". Я надеюсь, Вашу систему аксиом всё же можно втиснуть в теорию множеств и буду исходить далее из этого предположения.

Итак, попробуем "переложить" Ваши аксиомы на язык теории множеств.

Цитата:

А1. Существуют различающиеся полярности А, В, С, … М.

B1. Рассмотрим некоторое множество полярностей, пусть будет U = {A, B, C, ..., M}. Из этого определения непонятно, может ли множество быть бесконечным, или оно всегда конечно. Хотя для "переложения" Вашей системы этот вопрос и не важен. Элементы множества U будем называть полярностями.

Цитата:

А2. Полярности А, В, С,….М могут взаимодействовать между собой.

Определено некоторое отображение $\#: T \to W$, где $T \subset U^*=\bigcup\limits_{n=1}^{|U|}U^n$, а W --- некоторое (вообще говоря, здесь не определённое) множество. Т.е. некоторым (может быть, всем, может быть, не всем) упорядоченным n-кам $(A_1, A_2, \dots, A_n), A_i \in U$, n > 0, ставится в соответствие результат взаимодействия, принадлежащий какому-то множеству W --- множеству результатов взаимодействий. Если Вы не возражаете, будем обозначать этот факт обычным образом: $\#(A_1, A_2, \dots, A_n) = w \in W$.
Обратитие внимание, что я тут сам, без Вашего спроса, ввёл знак "=", хотя Вы о нём говорите позже. Дело в том, что так делать мне разрешает теория множеств, на которую я решил опираться, т.к. в теории множеств чётко определён этот знак и правила пользования им. Я надеюсь, что он подойдёт и в нашем случае, иначе придётся либо отказаться от теории множеств (см. комментарий выше), либо вводить для Вашего знака равенства другое обозначение (например, ~), а "=" оставить для теоретико-множественного равенства.

Теперь касательно множества W. Вообще-то хорошим тоном считается сразу определить это множество. Я думаю, Вы всё-таки имеете в виду, что W = U, т.е. результатом взаимодействия полярностей является также полярность.
Также хотелось бы знать структуру T, я полагаю, что функция # определена на всём множестве $U^*$. Пока я буду предполагать T=U*. Также я буду предполагать, что по определению для любого $A \in U$ #(A) = A. Этим я как бы определяю, что результат "сложения" при всего одном слагаемом равнен этому самому слагаемому. Если эти предположения о T и # не верны, задача "переложения" усложняется (не для всех n-к определён результат взаимодействия).

Предположение о структуре T --- это самое слабое место в моих рассуждениях. Если # не определено на парах элементов (хотя Вы в дальнейшем пишете о коммутативности, но, возможно, в окончательном варианте ничего подобного не будет), то мои дальнейшие построения неверны (хотя аналогичные рассуждения, но без этого предположения, позволят всем понять Вашу систему). Если я не прав в каком-то из предположений, поправьте меня, пожалуйста.

Итак:
B2. Определено отображение $\#: U^* \to U$, где $U^* = \bigcup\limits_{n=1}^{|U|}U^n$, причём $\forall A \in U$ выполняется $\#(A)=A$.

Цитата:

А3. Одной или нескольким взаимодействующим полярностям можно поставить в соответствие одну или несколько взаимодействующих полярностей.

Для меня это означает, что мы можем писать $A\#B=C$ или $W\#S=Q\#P\#L$. Тоесть есть знак $=$.

Полагаю, что в свете комментария к аксиоме A2, эта аксиома становится ненужной.

Цитата:

А4. Соответствие не нарушится, если один и тот же поляризованный объект войдёт во взаимодействие с исходным и поставленным ему в соответствие комплексом полярностей.

Это означает, что если $A\#B=C$, то верно, что $A\#B\#S=C\#S$.

Замечу, что здесь имеется неоднозначность в записи: должно быть $(A\#B)\#S$, поскольку мы пока не говорим, что операция ассоциативна. Однако из этой аксиомы уже следует ассоциативность: пусть $B\#S = D$. Тогда по логике аксиомы $A\#B\#S=A\#D$, т.е. $C\#S$ = $A\#D$, т.е. $(A\#B)\#S$ = $A\#(B\#S)$.

B3. Для любых наборов $A_1, \dots, A_n$, $B_1, \dots, B_m$, $\dots$, $M_1, ..., M_k$ $\in U$, выполняется равенство $\#(\#(A_1, \dots, A_n), \#(B_1, \dots, B_m), \dots, \#(M_1, \dots, M_k))$ = $\#(A_1, \dots, A_n, B_1, \dots, B_m, \dots, M_1, \dots, M_k)$.

Таким образом, достаточно определить операцию # только на всех парах элементов U, на остальных n-ках элементов эта операция однозначно определяется аксиомой B3. Ввиду этого мы можем изменить аксиомы B2 и B3 на следующую:

B2'. Определено отображение $\#: U^2 \to U$, причём это отображение ассоциативно.

Цитата:

А5. Комутативность, ассоциативность во взаимодействии.

Тоесть $A\#B=B\#A$ и $(A\#B)\#C=A\#(B\#C)$.

В моих обозначениях:
B3'. $\forall A, B \in U$ выполняется $ \#(A,B) = \#(B,A)$.
(ассоциативность не постулируем, т.к. она уже есть).

В сухом остатке имеем: аксиомы B1, B2', B3' определяют коммутативную полугруппу (возможно, без единицы). Ничего интересного.

Цитата:

Дополнение. Также допускается существование различающихся видов взаимодействия в модели $\#,*,+,...,\oplus$. Также должен быть критерий установления принадлежности к модели, тоесть нужно уметь отвечать на вопрос типа: "Одна ли эта система или тут две, стоящих рядом?". Этот вопрос пока что без ответа.

Самое интересное --- как будут связаны между собой эти операции (типа дистрибутивности сложения относительно умножения и т.п.). Без определения такой связи система распадается на две коммутативные полугруппы и не представляет интереса.

[PAV]

STilda

Я не очень понимаю. Когда мы обсуждали операции над элементами, то речь шла о том, что их всегда можно складывать и умножать друг на друга. Приводились соответствующие формулы, никаких исключений там не было. Теперь уже это не так?

[tolstopuz]

STilda писал(а):

Потому, на такой изоморфизм я соглашусь лишь с оговоркой, что он теряет некоторую информацию.

Приведите пример этой потери информации. Например, два расчета с трехполярными числами, которые в результате дают разные трехполярные числа, но при переходе к комплексным аналогам результат получается одинаковым. Иначе о потере информации говорить нельзя.

STilda писал(а):

Значит рассматривается случай, когда для любой "мнимой единицы" $i,j,k,...$ существует ее компенсирующая $-i,-j,-k,...$, такая, что $i+(-i)=0,j+(-j)=0,k+(-k)=0...$.

Аксиома звучит немного не так. Для любого элемента группы существует обратный, дающий в сумме с ним нуль.

STilda писал(а):

Трехполярная операция системы1 не удовлетворяет этому условию, ибо для $A$ не существует ее компенсирующей "мнимой" единицы: $A+B\ne 0,A+C\ne 0,A+A\ne 0$. Компенсирование может быть лишь набором $B+C$, который уже включил в себя операцию.

Для числа $A$ существует число $B+C$, дающее в сумме с ним нуль. Или вы уже перестали считать "наборы" числами?

[STilda]

PAV писал(а):

STilda
Я не очень понимаю. Когда мы обсуждали операции над элементами, то речь шла о том, что их всегда можно складывать и умножать друг на друга. Приводились соответствующие формулы, никаких исключений там не было. Теперь уже это не так?

все так и осталось, не вижу противоречия никакого. сложите по формулам и получите $(A)+(B)=A+B$. Почему Вы не задаете такой же вопрос про комплексные числа? там тоже можно все складывать но $2+3i$ остается $2+3i$. Понимаете, это такое число. Его можно складывать с другими и умножать.

[PAV]

Тогда я не понимаю противоречия.
т-числу $A$ мы ставим в соответствие комплексное число $\frac{\sqrt{3}}{2}i-\frac{1}{2}$
т-числу $B$ мы ставим в соответствие $-\frac{\sqrt{3}}{2}i-\frac{1}{2}$
их сумме $A+B$ мы ставим в соответствие комплексное число $-1$, которое действительно является суммой предыдущих двух чисел. Получается, что операция согласована. Еще раз поясните, в чем Вы видите несогласованность.

Для простоты давайте по пунктам.

1. Я утверждаю, что любому Вашему т-числу поставлено в соответствие некоторое комплексное число. Вы с этим согласны?

[STilda]

to worm2:
Вы в каких-то этапах построения заузили свойства операции $\#$ до $\#:U^2 \to U$. У меня такого не происходит. Потом, вы бесспорно имеет право переобозначать фразы вида "набор полярностей $A,B,...M$" в фразы "множество елементов $\{A,B,...M\}$", это дело вкуса. Множество конечное, про бесконечность я сказал, что с бесконечностью никто не работает. Такая работа сводится к аппелированию к конченому набору правил задания этой бесконечности.
Дальше, аксиома А3, отвечает на Ваш вопрос про то, что такое $W$.
Потом не понятно, что за $\#(A)$. Для меня $\#$ - символ взаимодействия. Чего-то с чем-то. Может и полярности с самой собой.
(Более детально, если нужно, и если смогу, прокоментирую ночью.)

Добавлено спустя 12 минут 8 секунд:

tolstopuz писал(а):

Для числа $A$ существует число $B+C$, дающее в сумме с ним нуль. Или вы уже перестали считать "наборы" числами?

Да, все правильно, существует, но нельзя не замечать, что это набор. В этом наборе уже есть $+$ тоесть только тройная компенсация для $+$ в системе1.
В бинарной операции обычной группы постулируется существование цельного антикачества которое бы компенсировало данное качество. А в системе1 постулируется существование трех взаимно-противоположных качеств. не двух.
(Всегда буду стараться более четко и ясно и сам представлять и вам объяснять различие. На сегодня лучше не могу.)

Добавлено спустя 6 минут 4 секунды:

PAV писал(а):

1. Я утверждаю, что любому Вашему т-числу поставлено в соответствие некоторое комплексное число. Вы с этим согласны?

Давайте так, я пока более четко чем уже сказал сказать не могу, и в меру своего понимания и в меру не понимая. Пока вижу один вариант для вывода нас из зацикливания. Приведу другую систему, к которой мне кажется можно привести те же самые рассуждения по построению изоморфизма. Но там точно будет противоречие. Явное.

Добавлено спустя 15 минут 33 секунды:

Система4
Есть $A,B,C,D,0$
По умножению:
$A^2=B,A^3=C,A^4=D,A^5=A$
(это также как в комплексных числах)
По сложению:
Постулирую четырехполярную операцию со свойствами
$A+B+C+D=0$, $A+0=A,B+0=B,C+0=C,D+0=D, 0+0=0$. Четырехполярная компенсация. Попарная исключается, тройная тоже.
Дополнительно: $0*A=0*B=0*C=0*D=0$

Тогда по аналогии, вы можете ввести в терминах комплексных чисел четыре числа $A=i,B=-1,C=-i,D=1$. В умножении будет все хорошо. Но сложение подведет. В комплексных числах будет выполнятся операция $i2+3-4=i2-1$. В системе4 же останется $A2+3D+4B=A2+3D+4B$. Операция не выполнится. И число "не схлопнется". Такой же фокус с "схлопыванием" есть и для системы1. Просто там для "схлопывания" можно сделать обратную операцию "разворачивания" по числам $C=1$, $A=\frac{\sqrt{3}}{2}i-\frac{1}{2}$, $B=-\frac{\sqrt{3}}{2}i-\frac{1}{2}$. Но это повезло просто. И это тот нюанс, из-за которого я не хочу соглашаться с "чистотой" такого изоморфизма.

[worm2]

STilda писал(а):

to worm2:
Вы в каких-то этапах построения заузили свойства операции $\#$ до $\#:U^2\toU$. У меня такого не происходит.

Во всём "виновата" аксиома A4. Если я её правильно понял (т.е. если моё "переложение", B3 верно отражает её смысл), а также верно предположение, что операция # определена для всех пар полярностей, то отсюда немедленно следует, что операция # ассоциативна, а значит, полностью определяется значениями # только на парах. Т.е. достаточно рассматривать её как бинарную операцию, а тернарный, 4-арный, и т.д. её варианты однозначно следуют из неё по определению: A#B#C#D#E = (((A#B)#C)#D)#E = A#(B#(C#(D#E))) = (A#(B#C))#(D#E) = ... Это подобно тому, как мы определяем сложение только для 2-х элементов, затем постулируем ассоциативность сложения, и отсюда сразу следует, что складывать между собой можно произвольный упорядоченный набор из любого числа элементов (а из коммутативности сложения дополнительно следует, что можно складывать неупорядоченные наборы, результат будет одинаков). Отдельная аксиома о том, что складывать можно произвольные наборы чисел, не нужна --- т.к. это утверждение можно доказать на основе других аксиом.

STilda писал(а):

Дальше, аксиома А3, отвечает на Ваш вопрос про то, что такое $W$.

Извините, сразу не сообразил. Но я так и понял.

STilda писал(а):

Потом не понятно, что за $\#(A)$. Для меня $\#$ - символ взаимодействия. Чего-то с чем-то. Может и полярности с самой собой.

Согласен, что это несколько непривычно, и даже, можно сказать, чушь в некотором смысле. Просто это удобная чушь. Пусть в Вашей системе операция # не определена на отдельных элементах. А я дополнительно определяю её на этих элементах. Ведь Вас же всё равно не интересует значение #(A)? Ну и кому плохо от того, что я положил #(A)=A? А если этого не сделать (объявить, что # не определена на отдельных элементах), то формулировка аксиомы B3 (аналога Вашей A4) усложняется и становится тяжело воспринимаемой:
B3. Для любых наборов $A_1, \dots, A_n$, $B_1, \dots, B_m$, $\dots$, $M_1, ..., M_k$ $\in U$, таких, что этих наборов больше 1, выполняется равенство $\#(\%(A_1, \dots, A_n), \%(B_1, \dots, B_m), \dots, \%(M_1, \dots, M_k))$ = $\#(A_1, \dots, A_n, B_1, \dots, B_m, \dots, M_1, \dots, M_k)$, где $\%(X) = X$ для любого $X \in U$, и $\%(X_1, \dots, X_n) = \#(X_1, \dots, X_n)$ для любых $X_i \in U$, если n > 1.

Нужно будет ещё в определении U* заменить $\bigcup\limits_{n=1}^{|U|}$ на $\bigcup\limits_{n=2}^{|U|}$. Но результат всё равно остаётся таким же. Определена коммутативная полугруппа.

[tolstopuz]

STilda писал(а):

В бинарной операции обычной группы постулируется существование цельного антикачества которое бы компенсировало данное качество.

Нет. Одна из аксиом группы говорит о существовании противоположного для каждого элемента.

STilda писал(а):

А в системе1 постулируется существование трех взаимно-противоположных качеств. не двух.

Да. И тем не менее для каждого элемента существует противоположный, хотя это и не постулировали.

[worm2]

Вот если постулировать, что # не определена на парах, а определена только на тройках, тогда получается что-то интересное, необычное. Тогда # однозначно определяется на 5-ках, 7-ках, ..., (2n+1)-ках, но на 4-ках, 6-ках, ..., (2n)-ках она, вообще говоря, не определена, нужны дополнительные аксиомы.