Опять задача о шарах и ящиках. Или нужна другая модель?

[leon-44]

Здравствуйте!

Вот такая задача. Сорри, пока не знаю, как форматировать.
Имеется N ящиков.
$n_1 ящиков с белыми шарами, $n_2$ ящиков с черными шарами, $n_3$ ящиков пустые.
N=$n_1+n_2+n_3$.

Случайным образом M раз извлекаются шары. Возможен вариант, что в данную попытку шар не будет извлечен.
Нужно рассчитать вероятности того, что будет извлечено ровно $m_1 белых шаров и ровно $m_2 черных шаров за M попыток.
Шары после извлечения возвращаются в свои ящики.

Если бы пустых ящиков не было, задача была бы простой.
Но пустые?!
Как в этом случае применять формулу Бернулли, и вообще - её ли применять?

Заранее благодарю за помощь.

P.S.
Более того, не уверен, что правильно формализовал задачу.
Сорри, я не математик - химик.
Суть.
Имеются 2 вещества А и Б, которые в растворе под воздействием одного и того же реагента, дают реакции А - реакцию А $\to$а, Б - реакцию Б $\to$б.

А, Б, а, б между собой не реагируют.

По отдельности к-ва получаемых а и б зависят от концентрации А и Б и прекрасно описываются формулой Бернулли.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D4%EE%F0% ... 3%EB%EB%E8

Взял зависимость конечного продукта а от концентрации исходного вещества А (аналогично - для Б и б), вероятность принял равную $P_a=\frac{K_a}t$ (концентрация А, деленная на t).
Например, концентрация K_a=100, t=10000, P_a=0.01, тогда за время t=10000 вероятность появления количества a от 0 до 100 строго по формуле Бернулли.
В предположении, что, например, при a=10 имеем 10 испытаний с исходом 1 и 9990 испытаний с исходом 0.

А при помещении растворов в одну емкость начинаются казусы. Словно влияют друг на друга вещества, хотя считается. что влиять не могут.

Например, при повышенной концентрации A оно словно тормозит реакцию Б $\to$б, и наоборот...
Проведено большое к-во опытов (более 10000), данные сгруппированы следующим образом, уже не в числах, а в долях (шаг 0.05, почему-то ни разу не было так, чтобы к-во реакций А+Б в одной пробе превысило 2$\cdot$N, но это к задаче не относится):

A_1=0 Б\in \mathbb (0;0.05; ... N)
A_2=0.05 Б\in \mathbb (0;0.05; ... N)
.
.
.
A_n=N Б\in \mathbb (0;0.05;...N)

С раскладкой по вероятностям получения а (от 0 до n, по Бернулли). Аналогично - для Б в зависимости от А.
Как описать это формулами?
Предполагаем, что опытов достаточно, чтобы вывести зависимости.
Чтобы, зная концентрацию веществ А и Б, априори определять вероятности реакций А $\to$а и Б $\to$б и количественные значения продуктов а и б.

Еще раз сорри.

Пока я дошел в формализации до следующего:
Сделал многомерную матрицу (условно матрицу, ессно, пока всё в черновиках).
Сгруппировал концентрации А и Б в интервалы, нашел значения середин интервалов...
По 30 тех и тех.
Итого 900 интервалов АБ.
Нашел наблюдаемые частоты появления а и б.

На графике - пучки кривых получаются. Понимаю, что это случайный процес, но, как собака Павлова, сказать не могу выразить формулами полученные данные не могу...

На графиках явно видно, что с повышением концентрации Б растет наблюдаемая частота отсутствия реакции А $\to$а и падение наблюдаемой частоты отсутствия реакции Б $\to$б и, наоборот, падает наблюдаемая частота А $\to$а и растет Б $\to$б. Но по какому закону?

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

leon-44
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Вернул.
Про формулы: каждую формулу надо целиком заключать в пару долларов. Тег math ставить почти всегда не нужно - он проставляется сам. Русские буквы лучше писать в \text{}

[Cash]

По первоначальной задаче - смотрите полиномиальное распределение. Это расширение биномиального на случай с несколькими исходами.

[leon-44]

Cash в сообщении #787776 писал(а):

По первоначальной задаче - смотрите полиномиальное распределение. Это расширение биномиального на случай с несколькими исходами.

Сэнкс...
На другом форуме уже подсказали вместо пустых ящиков использовать зеленые шары.

Увы, полученные расчеты сильно расходятся с данными опытов...

Deggial, сэнкс.

[ИСН]

Я в химической кинетике видел много формализаций разного уровня сложности. Но никогда не видел там слов "шары", "ящики" и "Бернулли". Что более вероятно: что никто до сих пор об этом не подумал, или что Вы применяете не тот инструмент?

[leon-44]

ИСН в сообщении #787783 писал(а):

Я в химической кинетике видел много формализаций разного уровня сложности. Но никогда не видел там слов "шары", "ящики" и "Бернулли". Что более вероятно: что никто до сих пор об этом не подумал, или что Вы применяете не тот инструмент?

Я исхожу из другого.
При одном веществе в растворе расчеты по формуле Бернулли совпадают с фактом с точностью до визуального совпадения графиков. Так что тот или не тот инструмент применяю - не важно. Важна точность, избыточная для практики. Вполне Бернулли подходит для расчетов в этом случае.

Кстати, читайте внимательно. Сам и усомнился - подходит ли ящично-шаровая модель при 2-х веществах в растворе?

leon-44 в сообщении #787501 писал(а):

Более того, не уверен, что правильно формализовал задачу.

Так что не совсем понятны причины Вашей реплики.

[ИСН]

Можете числить по разряду мелких придирок. Или вот тоже слова "частота реакции", "вероятность реакции". Нет ведь в кинетике таких терминов. Есть, например, "степень конверсии", но она ли это?

[leon-44]

ИСН в сообщении #787800 писал(а):

Можете числить по разряду мелких придирок. Или вот тоже слова "частота реакции", "вероятность реакции". Нет ведь в кинетике таких терминов. Есть, например, "степень конверсии", но она ли это?

Дело в том, что не просто тема не в плане, самой темы пока нет.
Случайно обнаружил сей странный эффект, слив в одну посудину растворы перед утилизацией...

Пока есть серии опытов, что из этого получится - трудно сказать. Но парадокс точно установлен.
Повышение концентрации одного вещества тормозит реакцию другого. Хотя общепринято считать, что никак они друг на друга не влияют.

Термины употребляю по аналогии - например, раскладка по частоте реакции Манту.
Очень похоже, полная аналогия...
Строго говоря, если периоды полураспада вполне описываются в терминах ТВ и МС, то нет запрета в тех же терминах описывать процесс, вполне укладывающийся в Бернулли...
Есть некая наиболее часто встречающаяся величина вещества $a$, получаемого при данной концентрации вещества $A$, и разброс, строго биномиальный, от $0$ до $N$.

Аналогично - для Б и б.
А полиномиальная модель почему-то никак не лезет, когда оба вещества в одном растворе...

[TOTAL]

leon-44 в сообщении #787501 писал(а):

Имеется N ящиков.
$n_1 ящиков с белыми шарами, $n_2$ ящиков с черными шарами, $n_3$ ящиков пустые.
N=$n_1+n_2+n_3$.

Случайным образом M раз извлекаются шары. Возможен вариант, что в данную попытку шар не будет извлечен.
Нужно рассчитать вероятности того, что будет извлечено ровно $m_1 белых шаров и ровно $m_2 черных шаров за M попыток.
Шары после извлечения возвращаются в свои ящики.

Если бы пустых ящиков не было, задача была бы простой.
Но пустые?!
Как в этом случае применять формулу Бернулли, и вообще - её ли применять?

Сначала найдите вероятность того, что нужное число раз попадете в непустые ящики.

[leon-44]

TOTAL в сообщении #787814 писал(а):

Сначала найдите вероятность того, что нужное число раз попадете в непустые ящики.

Сэнкс, но это уже не актуально...
на другом форуме подсказали пустые ящики заполнить зелеными шарами.
Полиномиальное распределение.
Увы, через коленку.
Пришлось натяжку допустить.
Заметив, что кэф корреляции (между фактически наблюдаемыми значениями и расчетными) очень высок, приподнял теоретическую кривую.
В первом приближении и для обсуждения годится, но, согласитесь, не комильфо манипулировать:

[Lukum]

Третий ящик с зелеными шарами это правильно.
Далее в вашем случае скорее всего выборка без возвращения из общих соображений, две молекулы прореагировали, больше они не реагируют, я в химии 0.

-- 12.11.2013, 15:40 --

И вообще сомнительна аналогия на языке урн и шариков, имхо.
Должно быть нечто типа марковских процессов, имхо.

[leon-44]

Lukum в сообщении #787879 писал(а):

Третий ящик с зелеными шарами это правильно.
Далее в вашем случае скорее всего выборка без возвращения из общих соображений, две молекулы прореагировали, больше они не реагируют, я в химии 0.

Сэнкс.
Увы, гипергеометрическое распределение не подходит.
Я же в первом постинге подробно расписал процедуру расчетов для одного вещества.
А это как раз схема с возвращением.

Сомнительно, что для 2-х веществ подойдет. Тем более, что увеличение концентрации одного вещества тормозит реакцию другого.
Но попробую....

Существуют ли программы, в которые загоняешь массив данных, и прога выдает аппроксимацию?
Подбирает формулы?

Lukum в сообщении #787879 писал(а):

И вообще сомнительна аналогия на языке урн и шариков, имхо.
Должно быть нечто типа марковских процессов, имхо.

Мдя...
Я уже не раз пояснял - для одного вещества формула Бернулли точна вплоть до визуального совпадения графиков.

Формулы аппроксимации могут быть разными - даже в экселе в графиках предусмотрен тренд разных типов.

[Lukum]

Вы вливаете два раствора одновременно в третий.
На языке шариков по сути получается, что в урну с зелеными шарами вы высыпаете еще две урны и перемешиваете. шарики начинают трехмерное несимметричное случайное блуждание, когда встречаются белый с белым, то скажем они слипаются и становятся зеленым одним шариком, аналогично черные. Понятно, что с течением времени вероятность встречи двух одноцветных падает, реакция замедляется.
Какая-то такая модель должна быть, имхо.
Корректно ли такое описание, не знаю, вам решать.

[leon-44]

Lukum в сообщении #787889 писал(а):

Вы вливаете два раствора одновременно в третий.
На языке шариков по сути получается, что в урну с зелеными шарами вы высыпаете еще две урны и перемешиваете. шарики начинают трехмерное несимметричное случайное блуждание, когда встречаются белый с белым, то скажем они слипаются и становятся зеленым одним шариком, аналогично черные. Понятно, что с течением времени вероятность встречи двух одноцветных падает, реакция замедляется.
Какая-то такая модель должна быть, имхо.
Корректно ли такое описание, не знаю, вам решать.

ИМХО. Вы усложняете.
Задача гораздо проще. Подобрать формулы под имеющиеся данные...
Гипотезы физ.-химические - дальняя перспектива.
Не вливаю.
Оба вещества растворяются в воде.
В одной ёмкости.

На языке шариков рассматриваю отсутствие реакции как извлечение зеленого шара, не более...

Аналогично каждое вещество отдельно растворяется в воде. В этом случае проблем нет, и ящично-шаровая модель работает.

Блин, зла не хватает... Графики и формулы красивые, когда по отдельности, а кооперативно - друг друга глушат... Считается, что так быть не должно.
Но есть.
Ни нагрева, ни охлаждения не наблюдается, никаких других побочных эффектов - просто торможение...

[Lukum]

Я видимо не могу помочь вам, поскольку не понимаю вашу химическую сторону, что там у вас и как, а вы внятно и кратко не описали, а мне самому не с руки вникать в химические аспекты.
Обрывки того, что понял, говорят, что урновая модель не подходит.
Хотя в итоге после многих итераций сл.блужд частиц, вполне может устанавливаться какое-то распределение, которое получается из урновой модели. Поэтому и говорю, что вероятно вам надо описывать модель как марковский процесс.