Производная по матричному аргументу

[Dan B-Yallay]

Я пользовался вот таким определением:

$$f: V \to W, \quad \mathscr L(V,W) \ni A_x=f'(x)\ \ \text{if} $$

$$\ \ \lim_{h \to 0} \frac{ \| f(x + h) - f(x) - A_x(h) \|_{W} }{ \|h\|_{V} } = 0,$$

и норма в числителе, кажется, сбилa с толку.

[g______d]

Да, я специально для этого нашел определение, в котором нормы в числителе нет :). Хотя на самом деле и здесь она сокращается.

[Dan B-Yallay]

Видимо, придется просить топикстартера предьявить саму матричную функцию и как то с ней ковыряться. На простую учебную задачу это не похоже.

[g______d]

По-видимому, эта книга может быть полезной

http://books.google.com/books?id=2Wz_zVUEwPkC

[Dan B-Yallay]

Классная книжка. Заказать ее что ли...
Спасибо за ссылку.

-- Вт ноя 05, 2013 21:54:01 --

Хмм:

Цитата:

The term "function of matrix" can have several different meanings. In this book we are interested in a definition that takes scalar function $f$ and a matrix $A\in \mathbb C^{n\times m}$ and specifies $f(A)$ to be the same dimension as $A$...

Похоже это здесь уже обсуждалось...

[g______d]

Dan B-Yallay в сообщении #785494 писал(а):

$A\in \mathbb C^{n\times m}$

Здесь опечатка, должна быть квадратная матрица, если функция от скалярного аргумента.

[Dan B-Yallay]

Да, это я опечатался при наборе. Но дело даже не в размерности, а в том, что они рассматривают функии от матриц только определенного вида: скалярные функции расширенные на матрицы. Далее пишут, что например полиномы от матриц с матричными же коэффициентами они не рассматривают. Так же как и транспонирование.

[g______d]

Dan B-Yallay в сообщении #785550 писал(а):

Но дело даже не в размерности, а в том, что они рассматривают функии от матриц только определенного вида: скалярные функции расширенные на матрицы.

Полиномы с матричными коэффициентами естественно рассматривать как скалярные функции от нескольких переменных, применённые к матрицам, но это следующий уровень сложности.

[Утундрий]

Кстати, если применить к $\operatorname{Exp} \hat A \equiv \hat 1 + \hat A + \frac{{\hat A^2 }}{{2!}} + ...$ эту вашу производную, то для сдвига в направлении ${\hat A}$ получится $\hat A \cdot \operatorname{Exp} \hat A$. Что, конечно, тоже интересно, но никак не удовлетворяет естественные эстетические ожидания. Формальное же $\left( {\hat A^n } \right)^\prime = n\hat A^{n - 1} $ можно применять только к полному ряду. Стоит его, к примеру, свернуть до $e^{\frac{1}{2}Sp\hat A} \left\{ {\hat 1\operatorname{ch} \frac{1}{2}\sqrt {2Sp\hat A^2 - \left( {Sp\hat A} \right)^2 } + \frac{{\operatorname{sh} \frac{1}{2}\sqrt {2Sp\hat A^2 - \left( {Sp\hat A} \right)^2 } }}{{\frac{1}{2}\sqrt {2Sp\hat A^2 - \left( {Sp\hat A} \right)^2 } }}\left( {\hat A - \hat 1\frac{1}{2}Sp\hat A} \right)} \right\}$ (для двурядных матриц с $2Sp\hat A^2 - \left( {Sp\hat A} \right)^2 > 0$) - и опаньки. Фреше, впрочем, применимо и в таком виде, но что это странное $\hat A \cdot \operatorname{Exp} \hat A$ даст для развития животноводства?

[g______d]

Утундрий в сообщении #786167 писал(а):

Кстати, если применить к $\operatorname{Exp} \hat A \equiv \hat 1 + \hat A + \frac{{\hat A^2 }}{{2!}} + ...$ эту вашу производную, то для сдвига в направлении ${\hat A}$ получится $\hat A \cdot \operatorname{Exp} \hat A$.

Я не знаю, на то ли утверждение я отвечаю, но производные функций от $A$ в направлениях, коммутирующих с $A$, можно считать по обычным правилам.

Утундрий в сообщении #786167 писал(а):

Что, конечно, тоже интересно, но никак не удовлетворяет естественные эстетические ожидания.

В принципе, по-моему, довольно естественный вопрос: можно ли дифференцировать функции от матриц как обычные функции.

Утундрий в сообщении #786167 писал(а):

но что это странное $\hat A \cdot \operatorname{Exp} \hat A$ даст для развития животноводства?

Хотя бы уравнение Шредингера. Точнее, его решение.

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

g______d в сообщении #786171 писал(а):

Утундрий в сообщении #786167
писал(а): писал(а):

но что это странное $\hat A \cdot \operatorname{Exp} \hat A$ даст для развития животноводства?

Хотя бы уравнение Шредингера. Точнее, его решение.

<голосом Кириллова> : согласно постановления ЦК КПСС от 23 ноября 1979 года "О повышении чего-то там" животноводы Кемеровской области, используя решение уравнения Шредингера, а также гипотезу Римана, увеличили урожайность пшеницы до 23-х пудов с гектара. надои до 12 литров в день.

[Утундрий]

g______d в сообщении #786171 писал(а):

производные функций от $A$ в направлениях, коммутирующих с $A$, можно считать по обычным правилам.

Мне тоже так казалось.

[g______d]

Утундрий в сообщении #786181 писал(а):

g______d в сообщении #786171 писал(а):

производные функций от $A$ в направлениях, коммутирующих с $A$, можно считать по обычным правилам.

Мне тоже так казалось.

Но таких направлений немного, примерно в квадрат раз меньше, чем всех возможных.

[Утундрий]

g______d в сообщении #786185 писал(а):

таких направлений немного

Ну да, в данном случае вообще ни одного.

[g______d]

Ну если считать только производные по направлениям матричных элементов, то почти всегда ни одного. Но можно же записать $A$ в другом базисе; чтобы от этого не зависеть, я предпочитаю инвариантную формулировку с $\frac{d}{dt} f(A+tB)$. Тогда сразу понятно, что если $B$ коммутирует с $A$, то дифференцировать можно по обычным правилам.