Производная по матричному аргументу

[Mig29]

Утундрий в сообщении #783450 писал(а):

Mig29 в сообщении #783221 писал(а):

Производные произвольных функций думаю так искать не получиться.

Произвольная функция сводится к полиному.

Только к бесконечному.

g______d в сообщении #783968 писал(а):

Просто если понимать в совсем широком смысле, то вопрос "как считать производные функций от матриц" равносилен вопросу "как считать производные отображений из $\mathbb R^{n^2}$ в $\mathbb R^{n^2}$" и, тем самым, не содержателен. Скорее всего имелось в виду что-то вроде "как сосчитать производную корня из матрицы, если мы знаем производную корня" и т. п.

Интерес составляет обобщение функции действительного аргумента на матричный аргумент. В частности как выглядит производная степенной функции (более всего интересны отрицательные целые степени), логарифма и т.д. Но интересен будет более общий случай. Например, функция транспонирования.

[Утундрий]

Mig29 в сообщении #784956 писал(а):

к бесконечному

Вообще-то к конечному. Степени уродуемой в функцию матрицы с $n$-й и выше выражаются через единичную и первые $n-1$.

[Mig29]

Утундрий в сообщении #785108 писал(а):

Mig29 в сообщении #784956 писал(а):

к бесконечному

Вообще-то к конечному. Степени уродуемой в функцию матрицы с $n$-й и выше выражаются через единичную и первые $n-1$.

Вы хотите сказать, что произвольная функция (имеющая действительный аналог) имеет конечное число отличных от нуля (нулевой матрицы) производных?

[Утундрий]

Mig29 в сообщении #785115 писал(а):

Вы хотите сказать, что произвольная функция (имеющая действительный аналог) имеет конечное число отличных от нуля (нулевой матрицы) производных?

Нет, это вы хотите сказать, но не решаетесь. И правильно делаете, потому что это вообще говоря не так.

[g______d]

Утундрий в сообщении #785108 писал(а):

Вообще-то к конечному. Степени уродуемой в функцию матрицы с $n$-й и выше выражаются через единичную и первые $n-1$.

Да, только полином зависит от матрицы, поэтому его так просто не продифференцируешь.

Можно тогда вообще сказать, что любая функция от матрицы сводится к константе, зависящей от матрицы.

[Утундрий]

Попробовать можно. Коэффициенты при матричных степенях, вроде бы, скалярные функции инвариантов?

[Oleg Zubelevich]

ну а что тут спорить.
Берем конкретное утверждение:

Утундрий в сообщении #783450 писал(а):

Mig29 в сообщении #783221 писал(а):

Производные произвольных функций думаю так искать не получиться.

Произвольная функция сводится к полиному.

Дальше все просто:

Утундрий
выпишите $e^A$ в виде полинома от $A$, который годится для всех матриц $A$ размера 1*1

[Утундрий]

Oleg Zubelevich в сообщении #785307 писал(а):

Утундрий
выпишите $e^A$ в виде полинома от $A$, который годится для всех матриц $A$ размера 1*1

Получится три ответа в зависимости от знака $\left( {\frac{1}{2}Sp\hat A} \right)^2 - Sp\hat A^2 $. И что с того?

P.S. Отвечал, когда ещё было "...размера 2x2". (Вообще-то за такое передёргивание надобно руки выдёргивать. И.м.х.о., конечно.)

[Oleg Zubelevich]

Утундрий в сообщении #785324 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #785307 писал(а):

Утундрий
выпишите $e^A$ в виде полинома от $A$, который годится для всех матриц $A$ размера 1*1

Получится три ответа в зависимости от знака $\left( {\frac{1}{2}Sp\hat A} \right)^2 - Sp\hat A^2 $. И что с того?

P.S. Отвечал, когда ещё было "...размера 2x2".

ну 1*1 еще проще

выпишите пожалуйста

[Утундрий]

Oleg Zubelevich в сообщении #785326 писал(а):

ну 1*1 еще проще

выпишите пожалуйста

Извольте: $e^{\hat A} = \hat 1 \cdot e^{Sp\hat A} $

[Oleg Zubelevich]

Утундрий в сообщении #785328 писал(а):

Извольте: $e^{\hat A} = \hat 1 \cdot e^{Sp\hat A} $

а разве это полином от матрицы $A$?

[Утундрий]

Oleg Zubelevich в сообщении #785330 писал(а):

разве это полином от матрицы ?

Представьте себе. Полином нулевой степени. Разве плох?

В случае 2x2 будет первой, с коэффициентами - функциями от $Sp\hat A$ и $Sp\hat A^2 $. И так далее и так далее.

[g______d]

Утундрий в сообщении #785293 писал(а):

Попробовать можно. Коэффициенты при матричных степенях, вроде бы, скалярные функции инвариантов?

Можно по-разному описывать получившийся полином, но всё сведётся к тому, что функция определяется своими значениями на собственных числах матрицы (если матрица диагонализуема; если нет, то еще несколькими производными в этих точках). Собственно, полином будет соответствующим интерполяционным полиномом. И в любом случае нужно знать, как ведут себя собственные значения матрицы при малых возмущениях.

[Oleg Zubelevich]

Утундрий в сообщении #785333 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #785330 писал(а):

разве это полином от матрицы ?

Представьте себе. Полином нулевой степени. Разве плох?

В случае 2x2 будет первой, с коэффициентами - функциями от $Sp\hat A$ и $Sp\hat A^2 $. И так далее и так далее.

Понятно, такой полином у которого аргумент стоит в показателе экспоненты. Ну я так и подумал

[Утундрий]

Oleg Zubelevich в сообщении #785339 писал(а):

Понятно, такой полином у которого аргумент стоит в показателе экспоненты. Ну я так и понял

Нет, не такой. Ничего вы не поняли.

-- Вт ноя 05, 2013 22:42:19 --

g______d
Да проще всё. Например, упомянутый экспоненциал (впрочем, как и любую такого рода функцию) матрицы два на два можно записать в виде $\hat 1f_0 \left( {Sp\hat A,Sp\hat A^2 } \right) + \hat Af_1 \left( {Sp\hat A,Sp\hat A^2 } \right)$. Теперь, если определить "производную по матрице" в духе того как Л&Л определяли "производную по вектору", то всё прекрасно дифференцируется.