2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Производная по матричному аргументу
Сообщение06.11.2013, 06:17 
Аватара пользователя
Я пользовался вот таким определением:
$$f: V \to W, \quad \mathscr L(V,W) \ni A_x=f'(x)\ \  \text{if} $$
$$\ \    \lim_{h \to 0} \frac{ \| f(x + h) - f(x) - A_x(h) \|_{W} }{ \|h\|_{V} } = 0,$$
и норма в числителе, кажется, сбилa с толку.

 
 
 
 Re: Производная по матричному аргументу
Сообщение06.11.2013, 06:21 
Аватара пользователя
Да, я специально для этого нашел определение, в котором нормы в числителе нет :). Хотя на самом деле и здесь она сокращается.

 
 
 
 Re: Производная по матричному аргументу
Сообщение06.11.2013, 06:26 
Аватара пользователя
Видимо, придется просить топикстартера предьявить саму матричную функцию и как то с ней ковыряться. На простую учебную задачу это не похоже. :-)

 
 
 
 Re: Производная по матричному аргументу
Сообщение06.11.2013, 06:38 
Аватара пользователя
По-видимому, эта книга может быть полезной

http://books.google.com/books?id=2Wz_zVUEwPkC

 
 
 
 Re: Производная по матричному аргументу
Сообщение06.11.2013, 06:46 
Аватара пользователя
Классная книжка. Заказать ее что ли...
Спасибо за ссылку.

-- Вт ноя 05, 2013 21:54:01 --

Хмм:
Цитата:
The term "function of matrix" can have several different meanings. In this book we are interested in a definition that takes scalar function $f$ and a matrix $A\in \mathbb C^{n\times m}$ and specifies $f(A)$ to be the same dimension as $A$...

Похоже это здесь уже обсуждалось...

 
 
 
 Re: Производная по матричному аргументу
Сообщение06.11.2013, 10:56 
Аватара пользователя
Dan B-Yallay в сообщении #785494 писал(а):
$A\in \mathbb C^{n\times m}$


Здесь опечатка, должна быть квадратная матрица, если функция от скалярного аргумента.

 
 
 
 Re: Производная по матричному аргументу
Сообщение06.11.2013, 11:09 
Аватара пользователя
Да, это я опечатался при наборе. Но дело даже не в размерности, а в том, что они рассматривают функии от матриц только определенного вида: скалярные функции расширенные на матрицы. Далее пишут, что например полиномы от матриц с матричными же коэффициентами они не рассматривают. Так же как и транспонирование.

 
 
 
 Re: Производная по матричному аргументу
Сообщение06.11.2013, 11:20 
Аватара пользователя
Dan B-Yallay в сообщении #785550 писал(а):
Но дело даже не в размерности, а в том, что они рассматривают функии от матриц только определенного вида: скалярные функции расширенные на матрицы.


Полиномы с матричными коэффициентами естественно рассматривать как скалярные функции от нескольких переменных, применённые к матрицам, но это следующий уровень сложности.

 
 
 
 Re: Производная по матричному аргументу
Сообщение07.11.2013, 23:58 
Аватара пользователя
Кстати, если применить к $\operatorname{Exp} \hat A \equiv \hat 1 + \hat A + \frac{{\hat A^2 }}{{2!}} + ...$ эту вашу производную, то для сдвига в направлении ${\hat A}$ получится $\hat A \cdot \operatorname{Exp} \hat A$. Что, конечно, тоже интересно, но никак не удовлетворяет естественные эстетические ожидания. Формальное же $\left( {\hat A^n } \right)^\prime   = n\hat A^{n - 1} $ можно применять только к полному ряду. Стоит его, к примеру, свернуть до $e^{\frac{1}{2}Sp\hat A} \left\{ {\hat 1\operatorname{ch} \frac{1}{2}\sqrt {2Sp\hat A^2  - \left( {Sp\hat A} \right)^2 }  + \frac{{\operatorname{sh} \frac{1}{2}\sqrt {2Sp\hat A^2  - \left( {Sp\hat A} \right)^2 } }}{{\frac{1}{2}\sqrt {2Sp\hat A^2  - \left( {Sp\hat A} \right)^2 } }}\left( {\hat A - \hat 1\frac{1}{2}Sp\hat A} \right)} \right\}$ (для двурядных матриц с $2Sp\hat A^2  - \left( {Sp\hat A} \right)^2  > 0$) - и опаньки. Фреше, впрочем, применимо и в таком виде, но что это странное $\hat A \cdot \operatorname{Exp} \hat A$ даст для развития животноводства?

 
 
 
 Re: Производная по матричному аргументу
Сообщение08.11.2013, 00:14 
Аватара пользователя
Утундрий в сообщении #786167 писал(а):
Кстати, если применить к $\operatorname{Exp} \hat A \equiv \hat 1 + \hat A + \frac{{\hat A^2 }}{{2!}} + ...$ эту вашу производную, то для сдвига в направлении ${\hat A}$ получится $\hat A \cdot \operatorname{Exp} \hat A$.


Я не знаю, на то ли утверждение я отвечаю, но производные функций от $A$ в направлениях, коммутирующих с $A$, можно считать по обычным правилам.

Утундрий в сообщении #786167 писал(а):
Что, конечно, тоже интересно, но никак не удовлетворяет естественные эстетические ожидания.


В принципе, по-моему, довольно естественный вопрос: можно ли дифференцировать функции от матриц как обычные функции.

Утундрий в сообщении #786167 писал(а):
но что это странное $\hat A \cdot \operatorname{Exp} \hat A$ даст для развития животноводства?


Хотя бы уравнение Шредингера. Точнее, его решение.

 
 
 
 Re: Производная по матричному аргументу
Сообщение08.11.2013, 00:29 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

g______d в сообщении #786171 писал(а):
Утундрий в сообщении #786167
писал(а):
писал(а):
но что это странное $\hat A \cdot \operatorname{Exp} \hat A$ даст для развития животноводства?

Хотя бы уравнение Шредингера. Точнее, его решение.

<голосом Кириллова> : согласно постановления ЦК КПСС от 23 ноября 1979 года "О повышении чего-то там" животноводы Кемеровской области, используя решение уравнения Шредингера, а также гипотезу Римана, увеличили урожайность пшеницы до 23-х пудов с гектара. надои до 12 литров в день.

 
 
 
 Re: Производная по матричному аргументу
Сообщение08.11.2013, 00:30 
Аватара пользователя
g______d в сообщении #786171 писал(а):
производные функций от $A$ в направлениях, коммутирующих с $A$, можно считать по обычным правилам.

Мне тоже так казалось.

 
 
 
 Re: Производная по матричному аргументу
Сообщение08.11.2013, 00:33 
Аватара пользователя
Утундрий в сообщении #786181 писал(а):
g______d в сообщении #786171 писал(а):
производные функций от $A$ в направлениях, коммутирующих с $A$, можно считать по обычным правилам.

Мне тоже так казалось.


Но таких направлений немного, примерно в квадрат раз меньше, чем всех возможных.

 
 
 
 Re: Производная по матричному аргументу
Сообщение08.11.2013, 00:55 
Аватара пользователя
g______d в сообщении #786185 писал(а):
таких направлений немного

Ну да, в данном случае вообще ни одного.

 
 
 
 Re: Производная по матричному аргументу
Сообщение08.11.2013, 02:14 
Аватара пользователя
Ну если считать только производные по направлениям матричных элементов, то почти всегда ни одного. Но можно же записать $A$ в другом базисе; чтобы от этого не зависеть, я предпочитаю инвариантную формулировку с $\frac{d}{dt} f(A+tB)$. Тогда сразу понятно, что если $B$ коммутирует с $A$, то дифференцировать можно по обычным правилам.

 
 
 [ Сообщений: 73 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group