Зачем нужен эфир, если есть пространство?

[master]

ушел из темы, надоело

[Oleg Zubelevich]

Someone в сообщении #782412 писал(а):

Вы хоть в курсе, что в нормированных линейных пространствах существуют неэквивалентные определения производной? Например, есть производная Фреше и производная Гато

намекаете, что тоже в курсе? ну-ну

Someone в сообщении #782412 писал(а):

Вообще, Ваше возражение выглядит весьма нелепым: из того, что существует много определений, не использующих метрику, Вы делаете вывод, что определения нет вообще.

передергивание и вранье, вполне для вас типичное.

Someone в сообщении #782412 писал(а):

Конечно, конечномерные линейные пространства над полем действительных чисел метризуемы. Евклидовой метрикой и многими другими, которые все топологически эквивалентны.

Ну раз уж вы решили вещать тут с кафедры. То вам бы следовало знать, что даже $\mathbb{R}^m$ разные метрики задают , вообще говоря, разные топологии (дискретную ,например). Не путайте это с нормами, которые действительно все задают одну и туже топологию.

Someone в сообщении #782412 писал(а):

Но, например, в СТО или ОТО евклидова метрика не используется. А то, что в этих теориях называется "метрикой", в топологическом смысле метрикой не является. Хотя бы потому, что эта "метрика" есть не функция на квадрате несущего множества, а квадратичная форма на касательном расслоении.

А Вы зачем это рассказываете? Вы это недавно узнали? И какое отношение все это имеет к определению производной?

[Someone]

Oleg Zubelevich в сообщении #783254 писал(а):

намекаете, что тоже в курсе? ну-ну

Ага, намекаю.

Oleg Zubelevich в сообщении #783254 писал(а):

передергивание и вранье, вполне для вас типичное.

Ага. Может быть, рассмотрим историю?

Oleg Zubelevich в сообщении #782249 писал(а):

Someone в сообщении #780617 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #780536 писал(а):

приведите пожалуйста определение дифференциала (или хотя бы производной по направлению) отображения $f:X\to Y$, где $X,Y$ -- линейные топологические пространства.

http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=5813&option_lang=rus

вот именно. т.е. канонического определения дифференциала в общих лтп нет. определение зависит от выбора множеств $\beta$. Ну и имеет ли смысл после этого спекулировать на том, что в пространствах (которые всеравно метризуемы) метрику вводить необязательно, а можно работать в топологических терминах? При том, что для определения производной вам в любом случае нужна дополнительная структура кроме топологии, те же множества $\beta$

Обратите внимание: Вы требовали предъявить определение производной отображения линейных топологических пространств. Вы не верили, что такое определение возможно? Вы считали, что метрика необходима для определения производной? Ссылку на определение Вы получили. И даже не одно (статья эта довольно старая, сейчас, вероятно, есть и более удачные определения, чем в данной статье; я этим особо не интересовался).
Вам не понравилось, что определений больше одного. И что какие-то дополнительные структуры появляются... Но для определения этих структур никакая метрика вовсе не нужна. А некоторые из них определяются прямо через топологию рассматриваемых пространств. Что в таком случае означает Ваше "вот именно"? Почему наличие нескольких определений выдвигается как возражение к утверждению о возможности такого определения? Больше сказать было нечего? Определение производной без метрики возможно, что и было Вам продемонстрировано. И в случае нормированных пространств, как видим, тоже имеется более одного определения. Так что Вы хотели сказать своим "вот именно"?
Если Вам не понравилась моя реакция, в следующий раз выражайтесь точнее.

Цитата:

Ну и имеет ли смысл после этого спекулировать на том, что в пространствах (которые всеравно метризуемы) метрику вводить необязательно, а можно работать в топологических терминах? При том, что для определения производной вам в любом случае нужна дополнительная структура кроме топологии

Имеет. Во-первых, производные Фреше и Гато можно определить в топологических терминах, что позволяет перенести эти определения на более широкий класс пространств, чем нормированные или даже метрические. Во-вторых, компактная производная, определяемая в топологических терминах, в случае нормированных пространств не обязана совпадать ни с производной Фреше, ни с производной Гато. Она существует для более широкого класса отображений, чем производная Фреше, обладая при этом хорошими свойствами.

Oleg Zubelevich в сообщении #783254 писал(а):

Ну раз уж вы решили вещать тут с кафедры. То вам бы следовало знать, что даже $\mathbb{R}^m$ разные метрики задают , вообще говоря, разные топологии (дискретную ,например). Не путайте это с нормами, которые действительно все задают одну и туже топологию.

Н-да... Вообще-то, $\mathbb R^m$ — это не просто множество, а конечномерное линейное пространство над полем действительных чисел. И на нём существует только одна отделимая топология, совместимая со структурой линейного пространства. А рассматривать произвольные метрики не интересно.

[Xaositect]

Someone в сообщении #783492 писал(а):

Н-да... Вообще-то, $\mathbb R^m$ — это не просто множество, а конечномерное линейное пространство над полем действительных чисел. И на нём существует только одна отделимая топология, совместимая со структурой линейного пространства. А рассматривать произвольные метрики не интересно.

Дискретная топология же тоже подходит.

[Someone]

Нет. Умножение вектора на число не будет непрерывной операцией.
А если мне не верите — возьмите учебник: Х.Шефер, Топологические векторные пространства, "Мир", Москва, 1971. (Глава I, Теорема 3.2.)