намекаете, что тоже в курсе? ну-ну
Ага, намекаю.
передергивание и вранье, вполне для вас типичное.
Ага. Может быть, рассмотрим историю?
приведите пожалуйста определение дифференциала (или хотя бы производной по направлению) отображения
, где
-- линейные топологические пространства.
http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=5813&option_lang=rusвот именно. т.е. канонического определения дифференциала в общих лтп нет. определение зависит от выбора множеств
. Ну и имеет ли смысл после этого спекулировать на том, что в пространствах (которые всеравно метризуемы) метрику вводить необязательно, а можно работать в топологических терминах? При том, что для определения производной вам в любом случае нужна дополнительная структура кроме топологии, те же множества
Обратите внимание: Вы требовали предъявить определение производной отображения линейных топологических пространств. Вы не верили, что такое определение возможно? Вы считали, что метрика необходима для определения производной? Ссылку на определение Вы получили. И даже не одно (статья эта довольно старая, сейчас, вероятно, есть и более удачные определения, чем в данной статье; я этим особо не интересовался).
Вам не понравилось, что определений больше одного. И что какие-то дополнительные структуры появляются... Но для определения этих структур никакая метрика вовсе не нужна. А некоторые из них определяются прямо через топологию рассматриваемых пространств. Что в таком случае означает Ваше "вот именно"? Почему наличие нескольких определений выдвигается как возражение к утверждению о возможности такого определения? Больше сказать было нечего? Определение производной без метрики возможно, что и было Вам продемонстрировано. И в случае нормированных пространств, как видим, тоже имеется более одного определения. Так что Вы хотели сказать своим "вот именно"?
Если Вам не понравилась моя реакция, в следующий раз выражайтесь точнее.
Цитата:
Ну и имеет ли смысл после этого спекулировать на том, что в пространствах (которые всеравно метризуемы) метрику вводить необязательно, а можно работать в топологических терминах? При том, что для определения производной вам в любом случае нужна дополнительная структура кроме топологии
Имеет. Во-первых, производные Фреше и Гато можно определить в топологических терминах, что позволяет перенести эти определения на более широкий класс пространств, чем нормированные или даже метрические. Во-вторых, компактная производная, определяемая в топологических терминах, в случае нормированных пространств не обязана совпадать ни с производной Фреше, ни с производной Гато. Она существует для более широкого класса отображений, чем производная Фреше, обладая при этом хорошими свойствами.
Ну раз уж вы решили вещать тут с кафедры. То вам бы следовало знать, что даже
разные метрики задают , вообще говоря, разные топологии (дискретную ,например). Не путайте это с нормами, которые действительно все задают одну и туже топологию.
Н-да... Вообще-то,
— это не просто множество, а конечномерное линейное пространство над полем действительных чисел. И на нём существует только одна отделимая топология, совместимая со структурой линейного пространства. А рассматривать произвольные метрики не интересно.