Об определении свойства антисимметричности отношения и др.

[angor6]

provincialka
Определение фигуры есть даже у Киселёва. Хотя можно, действительно, и без него. Но школьная практика формулировать теоремы в виде директив, по крайней мере, достойна сожаления.

[bot]

Теорема - это всегда импликация. А что такое директива?

[provincialka]

Вот у меня "школьная практика" в этом вопросе никакого сожаления не вызывает. Все понятно и удобно для последующего применения.

[bot]

Пока я не знаю, что такое директива, я не могу быть уверенным, что при употреблении этого термина (вдруг сподобится?) меня поймут однозначно.

[VAL]

angor6 в сообщении #780716 писал(а):

arseniiv
VAL
Хотелось бы уточнить. Получается, что антисимметричное отношение отличается от асимметричного тем, что оно допускает $aRa$.

Я бы вообще избегал термина "асимметричное отношение". В моем понимании (и понимании авторов многих солидных книжек) асимметричность - это просто отсутствие симметричности.
В то же время, в других источниках встречается иное толкование асимметричности. Такое, как у Вас.
В общем, здесь (в отличие от антисимметричности) тот самый случай, "когда в товарищах согласья нет"

Цитата:

Тогда не проще было бы дать такое определение антисимметричности: "Отношение антисимметрично, если не существует таких элементов $a$ и $b$, что одновременно выполняется $aRb$ и $bRa$"? По-моему, так понятнее.

Если между словами "таких" и "элементов" вставить слово "различных", то действительно получится вполне внятное определение. Обычно я даю студентам классическое определение через импликацию и тут же поясняю примерно Вашими словами. (И вам пытался пояснить так же )

Определение асимметричного (ни в каком виде) не даю. Не вижу какой-либо пользы от него. В отличие от антисимметричного, которое используется в определении отношения порядка.
Здесь важно, что антисимметричность не исключает, но и не требует рефлексивности.
Поэтому легко определить как строгий (антирефлексивное, антисимметричное, транзитивное отношение), так и не строгий (рефлексивное, антисимметричное, транзитивное отношение) порядок.

И еще. Хотя термин "антисимметричность" явственно противопоставляется термину "симметричность", для более глубокого понимания важно уяснить, что, по сути, антисимметричность двойственна линейности.
Сравните:
антисимметричность - из двух соотношений $aRb$ и $bRa$ выполняется не более одного;
линейность - из двух соотношений $aRb$ и $bRa$ выполняется не менее одного.

PS: Не так давно все это где-то на dxdy я уже писал почти слово в слово

[angor6]

bot
Краткость, на мой взгляд, больше подходит для научных трудов, но не для учебников. Можно ведь дать и такое определение: "Антисимметричность: $R \cap R^{-1} \subset \,\triangle\,$". Кратко, но насколько понятно? Хотя иногда краткость, действительно, способствует хорошему пониманию...

[VAL]

angor6 в сообщении #780786 писал(а):

bot
Можно ведь дать и такое определение: "Антисимметричность: $R \cap R^{-1} \subset \,\triangle\,$". Кратко, но насколько понятно?

По мне, так это самое лучшее определение

[angor6]

bot

bot в сообщении #780764 писал(а):

Теорема - это всегда импликация. А что такое директива?

Импликация - это выражение вида "если ..., то ...". Поэтому я и написал в одном из предыдущих сообщений, что нежелательна такая формулировка: "Сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым". Но лучше такая: "Если фигура является треугольником, то сумма её внутренних углов равна двум прямым"...

Позвольте у Вас поинтересоваться, зачем Вы вступаете в обсуждение побочной темы данной ветки? Ведь я всего лишь обменялся мнениями с теми участниками форума, которые высказались по основной теме.
Давайте не будем организовывать дискуссию с большим количеством участников, если Вы не против.

-- 27.10.2013, 11:58 --

VAL

VAL в сообщении #780792 писал(а):

angor6 в сообщении #780786 писал(а):

bot
Можно ведь дать и такое определение: "Антисимметричность: $R \cap R^{-1} \subset \,\triangle\,$". Кратко, но насколько понятно?

По мне, так это самое лучшее определение

+100
Я тоже начинаю склоняться к этой мысли...

[bot]

Почему для трудов? Ежели для учебников, то что такое $\Delta?$

[angor6]

bot

bot в сообщении #780798 писал(а):

Почему для трудов? Ежели для учебников, то что такое $\Delta?$

Почитайте "Современную математику" Р. Фора, А. Кофмана, М. Дени-Папена.

[bot]

bot в сообщении #780798 писал(а):

Позвольте у Вас поинтересоваться, зачем Вы вступаете в обсуждение побочной темы данной ветки?

Ну, это просто руссская языка. Всякая фигура обладает некоторым свойством тогда и только тогда, когда ... $\equiv$ если фигура обладает этим свойством, то ...$

[arseniiv]

angor6 в сообщении #780799 писал(а):

bot

bot в сообщении #780798 писал(а):

Почему для трудов? Ежели для учебников, то что такое $\Delta?$

Почитайте "Современную математику" Р. Фора, А. Кофмана, М. Дени-Папена.

Если это $\{(a,a):a\in A\}$, его просто по-всякому обозначают. Я встречал $I$.