Понятие кривизны идет из прикладных задач, как некое обобщение, некий формализм, но этот формализм не произволен, он "не выплескивает ребенка".
Вы всё проспали. Такое понятие кривизны было в 19 веке (и может быть, раньше). А в конце 19 века произошло развитие геометрии многомерных пространств, и понятие кривизны тоже обобщили. "Ребёнок" оказался не нужен.
Есть геометрия риманова многообразия сама по себе, с тензором кривизны Римана.
Есть геометрия вложения риманова многообразия в евклидово пространство большей размерности. Для них вводится вторая квадратичная форма, описывающая нормальную кривизну. Но оказывается, для описания внутренней геометрии риманова многообразия эта форма избыточна. Из неё можно вычислить тензор Римана, по уравнению Гаусса, и этот тензор будет независим от вложения, то есть выражаться только через внутреннюю метрику многообразия.
Поэтому, риманову геометрию изучают саму по себе (она оказывается достаточно богатой и интересной), а вложение рассматривается отдельно как частный вопрос геометрии многообразий.
-- 18.10.2013 16:42:47 --вообщето речь шла о: берем два отрезка с одной поверхности и с другой, и сравниваем они не совпали :cry: значит одна поверхность неправильная.
Понятие кривизны в математике не связано ни с какой "неправильностью".
-- 18.10.2013 16:44:00 --Какое глубокое и содержательное сообщение.
Не менее глубокое и содержательное, чем ваш перевод разговора на банаховы пространства. Они тут вообще ни при чём. Римановы многообразия - метрические, но не банаховы пространства.