2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение09.10.2013, 22:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Ну и что содержится? Ведь оно бесконечное.
Ваши примеры не поняла, надо ведь отображение для всех рациональных чисел придумать.

Используйте идею arseniiv, для каждого куска подбирая дробно-линейную функцию. Она обратима и переводит рациональные снова в рациональные.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение09.10.2013, 22:22 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
provincialka в сообщении #773166 писал(а):
для каждого куска подбирая дробно-линейную функцию
Ай, все карты выложили! :lol: Кстати, зачем дробно-? Просто линейные подходят.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение09.10.2013, 22:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Ну да... Я просто все пыталась общую формулу вывести, которая бесконечность в конечную точку переводит...

(Оффтоп)

Подумаешь, выложила! Да по этим "картам" ТС-у до решения еще идти и идти...

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение09.10.2013, 23:13 


10/09/13
97
Возьмём лёвый кусок и всю прямую рациональных чисел.
Какие элементы содержатся в левом куске? Пусть это те рациональные числа из этого куска, у которых в числителе чётное число (назовём их $q^0$), и те, у которых в числителе - нечётное натуральное ($q^1$)
Тогда сопоставим все $q^0$ отрицательным рациональным числам из $\mathbb Q$, а положительным - $q^1$
Может, как-нибудь так?

-- 09.10.2013, 23:17 --

Для правого так же будет, только там все числа больше $\sqrt 2$

-- 09.10.2013, 23:23 --

Т.е. для левого куска:
$f_1: (-\infty;\sqrt 2)\cap \mathbb Q \rightarrow \mathbb Q$
$g_1: q^0 \rightarrow (-\infty;0]$
$h_1: q^1 \rightarrow (0;+\infty)$

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение10.10.2013, 00:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Manticore в сообщении #773212 писал(а):
Пусть это те рациональные числа из этого куска, у которых в числителе чётное число (назовём их $q^0$), и те, у которых в числителе - нечётное натуральное ($q^1$)
Тогда сопоставим все $q^0$ отрицательным рациональным числам из $\mathbb Q$, а положительным - $q^1$

Во первых, почему числитель натуральный, если сами числа отрицательные? (могут быть)

Во вторых, такое отображение нарушает порядок.

И зачем вам три функции? Это уж ни разу не биективность :facepalm:

Manticore, Может вы, как бы это помягче сказать, неправильно выбрали для себя занятие? Вы совсем не понимаете, что тут нужно, и что вам говорят. :cry:

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение10.10.2013, 00:17 


10/09/13
97
provincialka
Возможно, это правда не моё, но если я постараюсь, то, скорее всего, смогу разобраться.
Можете меня ещё раз поправить, пожалуйста? $\mathbb Q + \mathbb Q$ - это такие две "склеенные" прямые рациональных чисел, два куска. Нужно построить изоморфизм между каждой половинкой $\mathbb Q$ и какими-то кусками во всём $\mathbb Q$?

-- 10.10.2013, 00:24 --

Т.е. я могу представить $\mathbb Q$ как $(-\infty; \sqrt 2) \cup (\sqrt 2; +\infty)$
Теперь мне нужно построить отображение, переводящее $\mathbb Q$ в $(-\infty; \sqrt2)$ и обратное к нему, переводящее $\mathbb Q$ в $(\sqrt 2; +\infty)$

-- 10.10.2013, 00:42 --

Я перечитал обсуждение и вроде немного разобрался.
Как можно перевести все рациональные числа $\mathbb Q$ в интервал $(-\infty;\sqrt2) \cap \mathbb Q$?
Разобьём $\mathbb Q$ на интервалы $[q_n;q_{n+1})$ Это возможно, из-за плотности $\mathbb Q$ (?)
Теперь разобьём на такие же интервалы интервал $(-\infty;\sqrt2)$. Отличие только в том, что эти интервалы мы рассматриваем только до $\sqrt2$.
Мы можем построить биекцию между этими интервалами.
А как доказать, что порядок сохраняется?

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение10.10.2013, 00:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Manticore в сообщении #773243 писал(а):
Теперь мне нужно построить отображение, переводящее $\mathbb Q$ в $(-\infty; \sqrt2)$ и обратное к нему, переводящее $\mathbb Q$ в $(\sqrt 2; +\infty)$

Почти верно, кроме слова "обратное". Это тут ни причем. Каждое из двух отображений должно быть биективным и сохранять порядок.
Если представить образно, мы как бы "сжимаем" рациональную прямую $\mathbb Q$ так, чтобы весь бесконечный кусок (скажем, правый) перешел в конечные точки до $\sqrt2$
Для вещественных чисел это сделать очень просто, но тут нужно еще следить за рациональностью образов и прообразов.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение10.10.2013, 01:16 


10/09/13
97
Ну вот допустим, что, разбив множества на интервалы, мы сопоставили их и получили биекцию.
Сопоставим для $[q_n; q_{n+1})$ из $\mathbb {Q}$ интервал $[q_k, q_{k+1})$ из $(-\infty;\sqrt2})$
Причём $q_{n+1} \rightarrow \infty$, а $q_{k+1} \rightarrow \sqrt2$

Ну и для правого $\mathbb{Q}$:
Для $(q_n;q_{n+1}]$ сопоставим $(q_k; q_{k+1}]$, причём $q_n$ может быть сколь угодно малым, а $q_k$ находится сколь угодно близко к $\sqrt2$.
Но по идее из этого сразу видно, что порядок сохранён?

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение10.10.2013, 01:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Manticore в сообщении #773266 писал(а):
причём $q_n$ может быть сколь угодно малым

Скорее "сколь угодно большим отрицательным"
Manticore в сообщении #773266 писал(а):
Но по идее из этого сразу видно, что порядок сохранён?

Как сопоставлять будете. Если с помощью возрастающих функций - то да, очевидно. На то они и возрастающие.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение10.10.2013, 01:33 


10/09/13
97
provincialka
Спасибо Вам за терпение. Завтра попробую доразбираться, алгоритм решения понял.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 55 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group