2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение09.10.2013, 14:37 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Manticore в сообщении #772789 писал(а):
Нет, я не понимаю, как это делать.
Примерьте в качестве изоморфизма какие-нибудь «простые» функции $\mathbb R\to\mathbb R$, ограниченные на рациональные числа.

Manticore в сообщении #772789 писал(а):
Может быть, Вы могли бы объяснить в удобное для Вас время, как это делать, хотя бы на совсем другом примере?
Так вы здесь пишите! :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение09.10.2013, 16:24 


10/09/13
97
Представим $\mathbb{Q}\times\{0\} \cup \mathbb Q\times\{1\}$ так:
$f_1: (q,0) \rightarrow (-\infty;\sqrt 2)\cap \mathbb Q$ - сопоставим этой функции последовательность $A$ рациональных чисел до $\sqrt 2$, не включая его.
$f_2: (q, 1) \rightarrow (\sqrt 2;+\infty)\cap \mathbb Q$ - последовательность $B$ рациональных чисел от выколотого $\sqrt 2$
$A\cap B = \varnothing$
Введём отношение: $(q,0) < (q,1)$ Учитывая это, получаем, что такое разбиение корректно, т.к. $A<B$ и:
$(A)+(B)=(A+B)$

Это совсем не то?

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение09.10.2013, 19:09 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Стоп-стоп-стоп… это к чему? (Я лучше временно отключусь.)

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение09.10.2013, 19:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Трудная задача. Интуитивно ясно, что можно "ужать" рациональную прямую так, чтобы она стала "вдвое короче". Но как это реализовать?

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение09.10.2013, 19:36 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Любое рациональное число имеет либо нечётный знаменатель, либо чётный. И с одним из этих классов можно, э-э... что-нибудь сделать... Наверное, глупость какую-то сказал.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение09.10.2013, 19:41 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Так я же описал всё. А последовательность, так уж и быть, пусть будет десятичными или двоичными приближениями $\sqrt2$ (а в другую сторону от нуля те же целые числа).

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение09.10.2013, 19:42 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Невнимательно читал; прошу прощения.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение09.10.2013, 19:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Нет, нам порядок нужно сохранить. Нужно отобразить все рациональные числа в меньшие, чем, скажем, $\pi$.

Конечно, можно построить отображение"поинтервально". но нельзя ли более простое отображение?

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение09.10.2013, 19:45 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Так всё же сохраняется. :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение09.10.2013, 19:51 
Заслуженный участник


09/09/10
3729

(Оффтоп)

Кстати, насчет того, что порядок, который описал arseniiv, будет прямой суммой в категории линейно упорядоченных множеств — это я погорячился. Не будет хотя бы потому что $A+B\not\simeq B+A$. Похоже, там вообще прямые суммы существуют лишь по праздникам. Ну ладно, не теорией категорий единой...

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение09.10.2013, 20:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
arseniiv в сообщении #773103 писал(а):
Так всё же сохраняется. :roll:

да я не вам отвечала, тут быстро все меняется, диалог активный :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение09.10.2013, 20:13 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Ясно.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение09.10.2013, 20:53 


10/09/13
97
Не понимаю. Я должен доказать, что левой и правой половинам, т.е. $(q,0)$ и $(q,1)$ сопоставляются куски из $\mathbb Q$ так, что сохраняется порядок. Ну так почему нельзя $(q,0)$ (которые до $\sqrt 2$) сопоставить $(\sqrt 2, \infty)\cup \mathbb Q$? Т.е. в таком случае получится, что мы маленьким $q$ опять сопоставляем большие, и порядок сохраняется.
Или я совсем превратно понимаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение09.10.2013, 21:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Совсем превратно. Надо один экземпляр рациональной прямой "загнать" в множество до $\sqrt2$, а другой - в после.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение09.10.2013, 21:24 


10/09/13
97
provincialka
И как это сделать? Ведь это множество до $\sqrt 2$, например, содержится в рациональной прямой

-- 09.10.2013, 21:45 --

Пусть есть две прямые:
$\mathbb Q$:
$n_1, n_2, n_3, n_4$, где $n_1<n_2<n_3<n_4$ и $n \in \mathbb N$
Отобразим на прямую $\mathbb Q + \mathbb Q$:
$n'_1, n'_2, n'_3, n'_4$ так, что
$n_1$ сопоставим $n'_1$, $n_3$ сопоставим $n'_2$
Тогда $n_2$ можно перевести в какое-то рациональное число между $n'_1$ и $n'_2$, верно?

-- 09.10.2013, 21:59 --

Или я сейчас подумал...скажите пожалуйста, а при таком переходе сохраняется порядок?
И если, скажем, я напишу так:
1-ая прямая: $1, 2, 3, 4$
2-ая прямая: $1, 2 | 3, 4$ (тут | - это, например, граничное иррациональное число какое-то)
это справедливо? Или это неверно/не очевидно?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 55 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group