ЛУМ, изоморфизм и сумма

[provincialka]

Ну и что содержится? Ведь оно бесконечное.
Ваши примеры не поняла, надо ведь отображение для всех рациональных чисел придумать.

Используйте идею arseniiv, для каждого куска подбирая дробно-линейную функцию. Она обратима и переводит рациональные снова в рациональные.

[arseniiv]

provincialka в сообщении #773166 писал(а):

для каждого куска подбирая дробно-линейную функцию

Ай, все карты выложили! Кстати, зачем дробно-? Просто линейные подходят.

[provincialka]

Ну да... Я просто все пыталась общую формулу вывести, которая бесконечность в конечную точку переводит...

(Оффтоп)

Подумаешь, выложила! Да по этим "картам" ТС-у до решения еще идти и идти...

[Manticore]

Возьмём лёвый кусок и всю прямую рациональных чисел.
Какие элементы содержатся в левом куске? Пусть это те рациональные числа из этого куска, у которых в числителе чётное число (назовём их $q^0$), и те, у которых в числителе - нечётное натуральное ($q^1$)
Тогда сопоставим все $q^0$ отрицательным рациональным числам из $\mathbb Q$, а положительным - $q^1$
Может, как-нибудь так?

-- 09.10.2013, 23:17 --

Для правого так же будет, только там все числа больше $\sqrt 2$

-- 09.10.2013, 23:23 --

Т.е. для левого куска:
$f_1: (-\infty;\sqrt 2)\cap \mathbb Q \rightarrow \mathbb Q$
$g_1: q^0 \rightarrow (-\infty;0]$
$h_1: q^1 \rightarrow (0;+\infty)$

[provincialka]

Manticore в сообщении #773212 писал(а):

Пусть это те рациональные числа из этого куска, у которых в числителе чётное число (назовём их $q^0$), и те, у которых в числителе - нечётное натуральное ($q^1$)
Тогда сопоставим все $q^0$ отрицательным рациональным числам из $\mathbb Q$, а положительным - $q^1$

Во первых, почему числитель натуральный, если сами числа отрицательные? (могут быть)

Во вторых, такое отображение нарушает порядок.

И зачем вам три функции? Это уж ни разу не биективность

Manticore, Может вы, как бы это помягче сказать, неправильно выбрали для себя занятие? Вы совсем не понимаете, что тут нужно, и что вам говорят.

[Manticore]

provincialka
Возможно, это правда не моё, но если я постараюсь, то, скорее всего, смогу разобраться.
Можете меня ещё раз поправить, пожалуйста? $\mathbb Q + \mathbb Q$ - это такие две "склеенные" прямые рациональных чисел, два куска. Нужно построить изоморфизм между каждой половинкой $\mathbb Q$ и какими-то кусками во всём $\mathbb Q$?

-- 10.10.2013, 00:24 --

Т.е. я могу представить $\mathbb Q$ как $(-\infty; \sqrt 2) \cup (\sqrt 2; +\infty)$
Теперь мне нужно построить отображение, переводящее $\mathbb Q$ в $(-\infty; \sqrt2)$ и обратное к нему, переводящее $\mathbb Q$ в $(\sqrt 2; +\infty)$

-- 10.10.2013, 00:42 --

Я перечитал обсуждение и вроде немного разобрался.
Как можно перевести все рациональные числа $\mathbb Q$ в интервал $(-\infty;\sqrt2) \cap \mathbb Q$?
Разобьём $\mathbb Q$ на интервалы $[q_n;q_{n+1})$ Это возможно, из-за плотности $\mathbb Q$ (?)
Теперь разобьём на такие же интервалы интервал $(-\infty;\sqrt2)$. Отличие только в том, что эти интервалы мы рассматриваем только до $\sqrt2$.
Мы можем построить биекцию между этими интервалами.
А как доказать, что порядок сохраняется?

[provincialka]

Manticore в сообщении #773243 писал(а):

Теперь мне нужно построить отображение, переводящее $\mathbb Q$ в $(-\infty; \sqrt2)$ и обратное к нему, переводящее $\mathbb Q$ в $(\sqrt 2; +\infty)$

Почти верно, кроме слова "обратное". Это тут ни причем. Каждое из двух отображений должно быть биективным и сохранять порядок.
Если представить образно, мы как бы "сжимаем" рациональную прямую $\mathbb Q$ так, чтобы весь бесконечный кусок (скажем, правый) перешел в конечные точки до $\sqrt2$
Для вещественных чисел это сделать очень просто, но тут нужно еще следить за рациональностью образов и прообразов.

[Manticore]

Ну вот допустим, что, разбив множества на интервалы, мы сопоставили их и получили биекцию.
Сопоставим для $[q_n; q_{n+1})$ из $\mathbb {Q}$ интервал $[q_k, q_{k+1})$ из $(-\infty;\sqrt2})$
Причём $q_{n+1} \rightarrow \infty$, а $q_{k+1} \rightarrow \sqrt2$

Ну и для правого $\mathbb{Q}$:
Для $(q_n;q_{n+1}]$ сопоставим $(q_k; q_{k+1}]$, причём $q_n$ может быть сколь угодно малым, а $q_k$ находится сколь угодно близко к $\sqrt2$.
Но по идее из этого сразу видно, что порядок сохранён?

[provincialka]

Manticore в сообщении #773266 писал(а):

причём $q_n$ может быть сколь угодно малым

Скорее "сколь угодно большим отрицательным"

Manticore в сообщении #773266 писал(а):

Но по идее из этого сразу видно, что порядок сохранён?

Как сопоставлять будете. Если с помощью возрастающих функций - то да, очевидно. На то они и возрастающие.

[Manticore]

provincialka
Спасибо Вам за терпение. Завтра попробую доразбираться, алгоритм решения понял.