2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение08.10.2013, 22:06 


10/09/13
97
Пример $\mathbb Q+\{1\}$ теперь понятен, спасибо.
arseniiv в сообщении #772698 писал(а):
С чего бессмысленная? Она соответствует определению. Получится множество $\mathbb Q\times \{0, 1\}$ с порядком, описанным выше.

Скажите, я верно понимаю, что таким образом получаем пары $(q, 0)$ и $(q, 1)$, и все $(q, 0)$ идут раньше $(q, 1)$, и надо $(q, 0)$ сопоставить $(q', 1)$ такие, что $q' > q$, и тогда мы сможем построить биекцию из-за того, что $\mathbb{Q} \sim \mathbb{Q}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение08.10.2013, 22:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Надо сопоставить и $(q,0)$, и $(q,1)$ некоторым элементам $\mathbb Q$ так, чтобы сохранился порядок. Например, первое множество отобразить в $(-\infty;\sqrt 2)\cap \mathbb Q$, а второе - в $(\sqrt 2;+\infty)\cap \mathbb Q$

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение08.10.2013, 22:17 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
(Опять писал сто лет.)

Manticore в сообщении #772710 писал(а):
Скажите, я верно понимаю, что таким образом получаем пары $(q, 0)$ и $(q, 1)$, и все $(q, 0)$ идут раньше $(q, 1)$
Правильно.

Manticore в сообщении #772710 писал(а):
и надо $(q, 0)$ сопоставить $(q', 1)$ такие, что $q' > q$, и тогда мы сможем построить биекцию из-за того, что $\mathbb{Q} \sim \mathbb{Q}$?
Биекцию же надо составить не между двумя частями $\mathbb Q+\mathbb Q$, а между $\mathbb Q+\mathbb Q$ и $\mathbb Q$. Видимо, стоит попытаться построить изоморфизм $f_0\colon\mathbb Q\times\{0\}\to\{q:q\in\mathbb Q\wedge q<r\}$ и изоморфизм $f_1\colon\mathbb Q\times\{1\}\to\{q:q\in\mathbb Q\wedge q>r\}$, где $r$ — какое-нибудь иррациональное число. Тогда $f=f_0\cup f_1$ будет изоморфизмом, который нужен. Не имею никакого понятия, верный это путь или нет, опыта — и интуиции — в этой местности у меня нет. Давайте подождём кого-нибудь.

Вот, provincialka предлагает ту же идею. (Может, она заодно и знает, как отображать! :-) )

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение08.10.2013, 22:25 


10/09/13
97
Простите, что криво изъясняюсь, но, надеюсь, вы поймёте, что я спрашиваю:
Получается, нужно "разбить" $\mathbb{Q} + \mathbb{Q}$ на $(q,0)$ и $(q,1)$. Т.е. $(q,0)$, например, мы можем сопоставить $(-\infty;\sqrt 2)\cap \mathbb Q$, но разве $q$ не должно быть любым рациональным числом? В обоих случаях: и в $(q,0)$, и в $(q,1)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение08.10.2013, 22:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Нет, не должно быть. Ведь не обязательно отображать число $q$ в самого себя. Да это и не получится.
arseniiv, извините, что влезаю :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение08.10.2013, 22:36 


10/09/13
97
provincialka
А почему возможно такое "разбиение"? Разве тогда не получается, что $\mathbb{Q} \sim (-\infty;\sqrt 2)\cap \mathbb Q$?

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение08.10.2013, 22:42 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Да конечно влезайте! Я как раз скоро уйду. :lol:

К тому же, я дошёл до границы.

Manticore, смотрите как получается: мы берём левую половину $2\mathbb Q$ (пусть теперь так называется, а?), которая $\mathbb Q\times{0}$. Да, она канонически изоморфна $\mathbb Q$ по построению, но её ещё надо сопоставить и какой-то левой половине $\mathbb Q$, а не всему $\mathbb Q$, потому что надо «оставить место» для правой половины. К тому же, у нашей исходной левой половины нет максимума — это наводит на мысль, что у новой (в которую мы отображаем) левой половины его тоже не должно быть. Это можно сделать двумя способами: $\{q:q<r\}$, где $r$ — иррациональное и $\{q:q<r\}$, где $r$ уже рациональное. Если мы выберем второй способ, оставшаяся правая половина будет $\{q:q\geqslant r\}$ — и у неё будет минимум $r$, а наша исходная правая половина не имеет минимума. Значит, надо резать по иррациональному числу.

Как отображать целое $\mathbb Q$ в такую половину, мне кое-кто подсказал, но описать это красиво пока не возьмусь.

Manticore в сообщении #772735 писал(а):
Разве тогда не получается, что $\mathbb{Q} \sim (-\infty;\sqrt 2)\cap \mathbb Q$?
Да, получится такой изоморфизм (и изоморфизм с другой половиной тоже). И он есть, потому что другой не подойдёт.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение08.10.2013, 22:49 


10/09/13
97
А для целого $\mathbb{Q}$ нельзя объеденить $(-\infty;\sqrt 2)\cap \mathbb Q$ с $(\sqrt 2;+\infty)\cap \mathbb Q$?

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение08.10.2013, 22:52 
Заслуженный участник


09/09/10
3729

(Оффтоп)

Вообще говоря, прямая сумма двух ч.у.м. $(A_1,\leqslant_1)$ и $(A_2,\leqslant_2)$ строится так: берем $A=A_1\oplus A_2=A_1\times\{1\}\cup A_2\times\{2\}$ — прямая сумма носителей, отношением порядка $\leqslant$ на нем берем наименьшее отношение, удовлетворяющее следующим условиям:
$$\begin{array}{ccc}a'\leqslant_1 a''& \Rightarrow &(a',1)\leqslant(a'',1), \\
b'\leqslant_2 b'' &\Rightarrow &(b',2)\leqslant(b'',2).\end{array}$$

Т.е. просто кладем два множества рядышком, не смешивая порядки, и все.

Это естественно потому что, во-первых, вложения $\iota_1\colon A_1\to A_1\oplus A_2$, $\iota_2\colon A_2\to A_1\oplus A_2$ — будут монотонны, а во-вторых, тогда для любых двух монотонных отображений $f\colon A\to Z$, $g\colon B\to Z$ у нас мигом строится монотонное отображение $f\oplus g\colon A\oplus B\to Z$, действующее по правилу $(f\oplus g)(a,1)=f(a),\;(f\oplus g)(b,2)=g(b)$. Более того, это единственное отображение, удовлетворяющее условию $f=(f\oplus g)\circ\iota_1,\; g=(f\oplus g)\circ\iota_2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение08.10.2013, 23:07 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(2 Joker_vD.)

А если порядки линейные, почему бы не дополнять полученный порядок до линейного?

(Ниже давайте сокращать $\mathbb Q\cap\langle\text{отрезок/интервал/etc.}\rangle$ как $\langle\text{отрезок/интервал/etc.}\rangle_Q$.)

Итак, описание изоморфизма между $(\mathbb Q,<)$ и $((-\infty;\sqrt2)_Q,<)$:

Вы сможете (покажите как, если хотите) биективно отобразить какой-нибудь отрезок $[a,b]_Q$ рациональных чисел в любой другой отрезок их же, а так же сделать это с интервалами $(a,b)_Q$ и с соответствующими полуинтервалами $(a,b]_Q; [a,b)_Q$. В числе таких биекций есть и изоморфизм относительно $<$.

Теперь представим $\mathbb Q$ как объединение непересекающихся полуинтервалов $[q_n, q_{n+1})_Q, \;n\in\mathbb Z$. Не важно, как выбраны $q_i$, но можно взять их теми же целыми числами. $((-\infty;\sqrt2)_Q,<)$ тоже можно представить как объединение непересекающихся полуинтервалов $[q'_n, q'_{n+1})_Q$ — они будут «сгущаться» при подходе к $\sqrt2$. Каждый из $[q_n, q_{n+1})_Q$ можно отобразить биективно в $[q'_n, q'_{n+1})_Q$, и собрать биекцию из этих маленьких полуинтервальных биекций. Она сохраняет и порядок. С отображением в другую половину аналогично — для удобства можно повернуть полуинтервалы.

Чтобы доказательство было строгим, вам надо показать…
• что можно найти такие $q'_n, n\in\mathbb Z$, чтобы $\bigcup_{n\in\mathbb Z} [q'_n, q'_{n+1})_Q = (-\infty, \sqrt2)_Q$.
• что (правильно) собранная по кусочкам биекция сохраняет порядок, если кусочки сохраняют порядок

Manticore в сообщении #772741 писал(а):
А для целого $\mathbb{Q}$ нельзя объеденить $(-\infty;\sqrt 2)\cap \mathbb Q$ с $(\sqrt 2;+\infty)\cap \mathbb Q$?
Объединение этих двух половин как раз и есть $\mathbb Q$, но это никак не может быть использовано в построении изоморфизма между целым $\mathbb Q$ и одной из половин.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение08.10.2013, 23:30 
Заслуженный участник


09/09/10
3729

(Оффтоп)

arseniiv
Ну да, добавьте третье условие $(a,1)\leqslant (b,2)$, и вы получите прямую сумму в категории линейно упорядоченных множеств — то, что вы и писали. Но это не совсем лексикографическое упорядочивание — то вводится на декартовом произведении множеств, а тут у нас несколько другая ситуация. Но действительно похоже.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение08.10.2013, 23:35 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(2 Joker_vD.)

Joker_vD в сообщении #772769 писал(а):
Но это не совсем лексикографическое упорядочивание — то вводится на декартовом произведении множеств, а тут у нас несколько другая ситуация. Но действительно похоже.
Ой, точно, это же получается ограничение соответствующего л. у. из $(A\cup B)\times2$. Ну, обычно ограничения строят на лету и как-то не заботятся о переназвании, и я тоже… :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение08.10.2013, 23:46 


10/09/13
97
arseniiv
Т.е. вообще $\mathbb{Q}_l \sim \mathbb{Q}_r \sim \mathbb{Q}$, где $l, r$ - левое и правое.
А $\mathbb{Q}$ мы представляем как объединение $\mathbb{Q}_l$ и $\mathbb{Q}_r$.
arseniiv в сообщении #772757 писал(а):
Каждый из $[q_n, q_{n+1})_Q$ можно отобразить биективно в $[q'_n, q'_{n+1})_Q$, и собрать биекцию из этих маленьких полуинтервальных биекций.

Собранная биекция - это биекция из объединения левой и правой частей в каждую из частей?
arseniiv в сообщении #772757 писал(а):
можно найти такие $q'_n, n\in\mathbb Z$, чтобы $\bigcup_{n\in\mathbb Z} [q'_n, q'_{n+1})_Q = (-\infty, \sqrt2)_Q$.

Но ведь это объединение и есть левая часть $\mathbb{Q}$, разве нет?
И как строго доказывать сохранение порядка? Я никогда не видел, как это записывается, т.е. не знаю алгоритм.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение08.10.2013, 23:55 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Manticore в сообщении #772779 писал(а):
Т.е. вообще $\mathbb{Q}_l \sim \mathbb{Q}_r \sim \mathbb{Q}$, где $l, r$ - левое и правое.
По вышеописанному изоморфизму да.

Manticore в сообщении #772779 писал(а):
А $\mathbb{Q}$ мы представляем как объединение $\mathbb{Q}_l$ и $\mathbb{Q}_r$.
Угу.

Manticore в сообщении #772779 писал(а):
Собранная биекция - это биекция из объединения левой и правой частей в каждую из частей?
Да.

Manticore в сообщении #772779 писал(а):
Но ведь это объединение и есть левая часть $\mathbb{Q}$, разве нет?
Да, но а вдруг бы мы не нашли соответствующую бесконечную последовательность $q'_i$? Постройте любую. С $q_i$-то проще — их можно взять целыми числами.

Manticore в сообщении #772779 писал(а):
И как строго доказывать сохранение порядка? Я никогда не видел, как это записывается, т.е. не знаю алгоритм.
Если отвечать мне, то уже завтра. :-)

-- Ср окт 09, 2013 02:55:41 --

А вы что, уже построили изоморфизм двух рациональных отрезков? :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение09.10.2013, 00:23 


10/09/13
97
arseniiv в сообщении #772781 писал(а):
А вы что, уже построили изоморфизм двух рациональных отрезков? :wink:

Нет, я не понимаю, как это делать.
Хочу сказать, что у нас была одна лекция, где нам дали определение порядка и устно объяснили, почему $\mathbb{Q} + 1$ не изоморфно $\mathbb{Q}$, чего я не понял (тогда). Мне нужно сдать листок с задачами типа той, что Вы мне сейчас объясняете, но я не знаю алгоритма для их решения.
Может быть, Вы могли бы объяснить в удобное для Вас время, как это делать, хотя бы на совсем другом примере?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 55 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group