Волновая функция фотона в координатном представлении

[Lvov]

Принято считать, что волновой функции фотона в координатном представлении не существует, в то время как таковая существует в импульсном представлении. Тем не менее мы успешно регистрируем фотоны и определяем частоту их появления в обычном пространстве с помощью вакуумных (ФЭУ) или полупроводниковых (лавинные фотодиоды) приборов. Функцию вероятности их обнаружения в различных точках пространства можно считать волновой функцией фотона в координатном представлении.
Поскольку фотон в понимании автора является мерой действия электромагнитного поля (ЭМП) в единицах $\hbar$, волновая функция фотона должна обеспечивать вычисление вектора плотности-потока действия электромагнитного поля. Временная компонента названного вектора с точностью до множителя $\hbar^{-1}$ представляет собой плотность вероятности обнаружения фотона. Рассматриваемую волновую функцию удобно построить на основе 4-вектора-потенциала ЭМП $A^i$.

Прежде всего отметим возможность инвариантного разделения вектора-потенциала на две части - вихревую $A^i_r$ и потенциальную $A^i_p$. Первая из них удовлетворяет уравнениям Максвелла

$$\frac {\partial ^2 A^i_r} {\partial (ct)^2}-\Delta A^i_r=j^i,\; i=(1,2,3) \qquad (1),$$

и определяется запаздывающим потенциалом электрического тока-заряда. Вторая - потенциальная составляющая $A^i_p$ является 4-градиентом скалярного потенциала $A^i_p=\partial h /\partial x_i$, где скалярная функция $h$ в свою очередь удовлетворяет некоторому скалярному волновому уравнению типа (1) со скалярными истоками.
При этом вихревая составляющая $A^i_r$ удовлетворяет дополнительному соотношению $\partial A^k_r / \partial x^k=0$, а потенциальная составляющая $A^i_p$ соотношению $\partial A^i_p /\partial x^j - \partial A^j_p /\partial x^i=0.$
В данной теме нас будет интересовать только вихревая составляющая вектора-потенциала, при этом мы не будем использовать градиентное преобразование, оставив потенциальную составляющую $A^i_p$ для специалистов, разрабатывающих теорию продольного электродинамического поля. Мы также не будем использовать трехмерную калибровку вихревого вектора-потенциала, тем самым сохраняя его релятивистскую инвариантность и инвариантность определяемых на его основе показателей.
Далее будем применять обозначения $A^i$, имея в виду вихревую составляющую вектора потенциала. Однако этим особенности использования вектора-потенциала не ограничиваются. Следуя формулам диаграммной техники, далее будем рассматривать лишь комплексную положительно-частотную часть вектора-потенциала. Такой подход позволяет получить формулу для 4-вектора плотности-потока действия ЭМП, а также ввести операторы динамических показателей фотона. Итак, далее мы будем всюду применять обозначения $A^i$ и $A^{*i}$ , имея в виду комплексную положительно-частотную часть вихревой составляющей вектора-потенциала ЭМП и его комплексно-сопряженную величину. Вновь введенные комплексные величины сохраняют полную информацию об электромагнитном поле, и по-прежнему подчиняются уравнению (1) с положительно-частотной составляющей токов в правой части уравнения.

Лагранжиан волнового уравнения для свободного поля выбираем из условия получения симметричного канонического тензора энергии-импульса и сохраняющихся по отдельности орбитального и спинового моментов фотонов равным

$$L=\frac 1 2 \,\frac {\partial A^{*k}} {\partial x^p}\,\frac {\partial A_k} {\partial x_p}.\qquad (2)$$

Тогда согласно формулам вариационной методики получим следующие выражения для плотности-тока действия, канонического тензора энергии-импульса и плотности спинового момента свободных фотонов:

$$J_i=\frac i 2 (\frac {\partial A^k} {\partial x^i} \, A^*_k - \frac {\partial A^{*k}} {\partial x^i} \, A_k ),$$

$$T_ik=\frac 1 2 ( \frac {\partial A^*_p} {\partial x^i} \, \frac {\partial A^p} {\partial x^k} + \frac {\partial A^*_p} {\partial x^k} \, \frac {\partial A^p} {\partial x^i} - \delta_{ik} \, \frac {\partial A^*_p} {\partial x^s} \, \frac {\partial A^p} {\partial x_s} ), $$

$$M_ijk=\frac i 2 (A^*_i \frac {\partial A_j} {\partial x^k} \, +\frac {\partial A^*_i} {\partial x^k} \, A_j - \frac {\partial A_i} {\partial x^k} \, A^*_j - A_i \frac {\partial A^*_j} {\partial x^k} ).$$

Истоки указанных тензоров равны нулю, а их интегральные значения (интеграл берется по всей области существования рассматриваемой волновой функции) равны соответственно сохраняющимся во времени величинам действию, вектору энергии-импульса и спинмоменту рассматриваемого ЭМП.

Операторы $\hat{O}_i$ динамических показателей фотонов $O^i$ определяются при использовании соотношения вида

$$O^i=\int O_{i0} \, d^3x=i \int \frac {\partial A^*_k} {\partial x^0} \,\hat{O}_i A^k\, d^3x \qquad (3).$$

Здесь величины $O_{i0}$ представляют временные компоненты тензоров плотности рассматриваемых показателей. На первый взгляд может показаться, что второй член выражения (3) неприводим к виду третьего члена, ввиду того, что временные производные берутся от комплексно сопряженной и основной волновой функции. Однако это не так. С помощью определенных преобразований, которые основаны на постоянстве знака частот осцилляции волновой функции, достигается требуемый результат. Указанные преобразования детально рассматриваются в статье автора №8 (см. текст в области формулы (6)).

Найденные указанным способом операторы действия (или количества фотонов), вектора энергии-импульса и спинового момента ЭМП имеют следующий вид:

$$\hat {J}=1,$$

$$\hat{P}_i=i \frac {\partial} {\partial x^i},$$

$$\hat{M}_ij=\delta^p_i \delta_{jp} -\delta^p_j \delta_{ip} .$$

Указанные операторы позволяют вычислять значения полного действия, энергии-импульса и спинового момента поля. Однако в случае необходимости с помощью первого из указанных операторов можно перенормировать поле на один фотон или на произвольное число фотонов, в том числе и на дробное их число.

Ранее было указано, что ради сохранения релятивистской инвариантности мы не будем использовать поперечную калибровку поля. Однако, как показано в вышеназванной статье, в случае монохроматической волны исключение продольной и временной компоненты вектора-потенциала не изменяет значения плотности вероятности обнаружения фотона.

С уважением О.Львов

[Sergeevich]

Lvov в сообщении #772879 писал(а):

Принято считать, что волновой функции фотона в координатном представлении не существует,

Lvov в сообщении #772879 писал(а):

В данной теме нас будет интересовать только вихревая составляющая вектора-потенциала, при этом мы не будем использовать градиентное преобразование, оставив потенциальную составляющую $A^i_p$ для специалистов, разрабатывающих теорию продольного электродинамического поля.

Прошу прощения, может не совсем в тему.
Хороший вопрос на счет продольного поля. А как же это согласуется с теорией, что при скорости $c$ длина объекта (фотона) для наблюдателя обращается в нуль,
ведь мы же измеряем длину волны, на этих параметрах вся СВЧ техника работает и не только?

[Lvov]

Sergeevich в сообщении #772894 писал(а):

Прошу прощения, может не совсем в тему.
Хороший вопрос на счет продольного поля. А как же это согласуется с теорией, что при скорости $c$ длина объекта (фотона) для наблюдателя обращается в нуль,
ведь мы же измеряем длину волны, на этих параметрах вся СВЧ техника работает и не только?

Вы правильно сказали: вопрос не по теме. Да и пресловутого "продольного поля" он не касается.
Длина неподвижных объектов стремится к нулю в ИСО при приближении скорости движения последней к скорости света. Длина волны монохроматического светового потока изменяется несколько иначе. Она стремится к нулю при встречном движении новой ИСО, и стремится к бесконечности при попутном движении ИСО, если скорости рассматриваемых ИСО приближаются к скорости света.
При чем здесь СВЧ техника, я не уловил?

С уважением О.Львов

[warlock66613]

Я не понял, так где волновая функция-то?

[Lvov]

warlock66613 в сообщении #773134 писал(а):

Я не понял, так где волновая функция-то?

В роли волновой функции выступает положительно-частотная часть 4-вектора-потенциала ЭМП.

С уважением О.Львов

[VladimirKalitvianski]

Lvov в сообщении #773162 писал(а):

warlock66613 в сообщении #773134 писал(а):

Я не понял, так где волновая функция-то?

В роли волновой функции выступает положительно-частотная часть 4-вектора-потенциала ЭМП.

Если Вы имеете ввиду положительно-частотную Фурье-гармонику с определенной частотой (плоскую волну, короче), то чем это отличается от обычной трактовки волновой функции фотона в импульсном пространстве? Или Вы имеете ввиду произвольную суперпозицию положительно-частотных плоских волн?

[Lvov]

VladimirKalitvianski в сообщении #773193 писал(а):

Если Вы имеете ввиду положительно-частотную Фурье-гармонику с определенной частотой (плоскую волну, короче), то чем это отличается от обычной трактовки волновой функции фотона в импульсном пространстве? Или Вы имеете ввиду произвольную суперпозицию положительно-частотных плоских волн?

Имеется ввиду полный положительно-частотный спектр электромагнитного поля. Пр этом векторное волновое поле не обязательно должно быть записано в форме интегральной суммы частотных составляющих.

С уважением О.Львов.

[VladimirKalitvianski]

Lvov в сообщении #773302 писал(а):

При этом векторное волновое поле не обязательно должно быть записано в форме интегральной суммы частотных составляющих.

Это не понятно, ведь как тогда убедиться, что туда не влезли не положительно-частотные плоские волны?

[Lvov]

VladimirKalitvianski в сообщении #773586 писал(а):

Это не понятно, ведь как тогда убедиться, что туда не влезли не положительно-частотные плоские волны?

Надо выделить из обычной действительной функции вектора-потенциала ЭМП ее комплексную положительно-частотную составляющую. Это можно сделать с помощью прямого и обратного интегрального Фурье-преобразования. Если нам удастся найти аналитические выражения для обоих Фурье-преобразований, будем иметь конечный результат в аналитической форме. В противном случае придется работать с интегральными выражениями или довольствоваться вычислительными методами.
Известно интегральное преобразование Гильберта для вычисления интересующей нас составляющей функции одной координатной переменной. В нашем случае имеется 4 координатных переменных. Формула для такого варианта мне неизвестна, но, можно предположить, что таковая существует.

Следует заметить, что мои выражения в части волновой функции фотона имеют скорее теоретический, чем прикладной характер. Поэтому здесь для анализа результатов можно использовать относительно простые характерные варианты функции ЭМ поля.

С уважением О.Львов

[Sergeevich]

Фотон - это не только кванты света, которые регистрируется фотометрами, это и радиоволны, например 0.1-300 Гц.
Вы рассматриваете фотон с точки зрения энергетической составляющей, но это не только частотный спектр, импульс, поляризация и т.д. , он имеет еще и геометрическую размерность - длину волны.

Lvov в сообщении #773162 писал(а):

В роли волновой функции выступает положительно-частотная часть 4-вектора-потенциала ЭМП.

Хотелось бы все-таки увидеть координатное представление волновой функции.

Lvov в сообщении #773002 писал(а):

Длина волны монохроматического светового потока изменяется несколько иначе. Она стремится к нулю при встречном движении новой ИСО

Может в это каком-то виртуальном пространстве, но не в реальном.
В качестве "нового ИСО" можно считать приемопередающие антенны, относительно которых ЭМ волны (фотоны) движутся со скоростью света.
Если бы длина волны действительно стремилась к нулю, то мы бы с вами тут не беседовали

[Lvov]

Sergeevich в сообщении #773734 писал(а):

Фотон - это не только кванты света, которые регистрируется фотометрами, это и радиоволны, например 0.1-300 Гц.
Вы рассматриваете фотон с точки зрения энергетической составляющей, но это не только частотный спектр, импульс, поляризация и т.д. , он имеет еще и геометрическую размерность - длину волны.

Цитата:

Lvov в сообщении #773162
писал(а):
В роли волновой функции выступает положительно-частотная часть 4-вектора-потенциала ЭМП.

Хотелось бы все-таки увидеть координатное представление волновой функции.

Цитата:

Lvov в сообщении #773002
писал(а):
Длина волны монохроматического светового потока изменяется несколько иначе. Она стремится к нулю при встречном движении новой ИСО

Может в это каком-то виртуальном пространстве, но не в реальном.
В качестве "нового ИСО" можно считать приемопередающие антенны, относительно которых ЭМ волны (фотоны) движутся со скоростью света.
Если бы длина волны действительно стремилась к нулю, то мы бы с вами тут не беседовали

Конечно, во всем диапазоне ЭМ волн можно вести речь о фотонах. Действительно, я привел примеры детекторов фотонов для оптического диапазона. Я рассматриваю фотон, как квант действия волнового ЭМП величиной $\hbar.$ Геометрическая размерность фотону не присуща. Можно говорить о размерах цуга ЭМ волн, содержащих один фотон. Но это могут быть совершенно разные размеры, независящие от энергии и длины ЭМ волны цуга.

Запись волновой функции фотона в координатном представлении с комментариями Вы можете увидеть в моем стартовом сообщении. Еще раз повторю с небольшим уточнением: В качестве волновой функции фотона выступает положительно-частотная часть вихревого 4-вектора-потенциала ЭМП.

Корда в СТО ведется речь о сокращении размеров объектов, имеются ввиду размеры объектов в новых движущихся ИСО. Я все сказал правильно. У Вас же путаница в понимании основных положений СТО.

С уважением О.Львов

[Sergeevich]

Lvov в сообщении #773824 писал(а):

Я рассматриваю фотон, как квант действия волнового ЭМП величиной $\hbar.$ Геометрическая размерность фотону не присуща.

Ну тогда ясно, что это некая математическая абстракция, не имеющая аналогии с пространственными координатами.

Lvov в сообщении #773824 писал(а):

Можно говорить о размерах цуга ЭМ волн, содержащих один фотон.

Или о размере солитона - это ведь тоже фотон.

Lvov в сообщении #773824 писал(а):

Корда в СТО ведется речь о сокращении размеров объектов, имеются ввиду размеры объектов в новых движущихся ИСО. Я все сказал правильно. У Вас же путаница в понимании основных положений СТО.

Согласен 100% у меня уже путаница - какие новые и старые ИСО?
Извиняюсь за беспокойство, вопросов больше нет.

СТО теперь как библия, каждый находит в ней свое толкование.

[Lvov]

С вводом волновой функции фотона появляются новые методы вычисления распределенных и интегральных динамических показателей цуга электромагнитных волн при использовании полученных на основе лагранжиана поля фотона тензоров и операторов. Обсудим здесь особенности вычисляемых по новым формулам динамических показателей, и их отличие от показателей, вычисляемых по формулам классической электродинамики.
Первое отличие в том, что при кванто-механическом подходе появляется новый показатель - вектор плотности-потока действия ЭМ поля фотонов:

$$J_i=\frac i 2 (\frac {\partial A^k} {\partial x^i} \, A^*_k - \frac {\partial A^{*k}} {\partial x^i} \, A_k ),$$

временная компонента которого с точностью до коэффициента $\hbar^{-1}$ равна плотности вероятности обнаружения фотона в различных пространственных точках.
При квантово-механическом подходе указанный в стартовом сообщении канонический тензор энергии-импульса отличается от классического тензора энергии импульса. Так в случае монохроматической волны он, будучи пропорциональным квадрату амплитуды вектора-потенциала, монотонно изменяется в пространстве и времени, представляя собой усредненное на длине волны значение плотности энергии и импульса. В классической же электродинамике в случае линейно поляризованной волны энергия и импульс пульсируют во времени и пространстве.
Действительно, пусть в рассматриваемом случае имеется единственная компонента вектора-потенциала $A^1=\sin(\omega \,t -k \,x^3) .$ В этом случае напряженность электрического и магнитного поля отвечают выражениям

$$E^1=\omega \,\cos(\omega \,t -k \,x^3),\,\,\, H^2=\omega \,\cos(\omega \,t -k \,x^3).$$

Плотность энергии поля при этом отвечают соотношению $T_{00}=\omega^2 (1+\cos(2(\omega \,t -k \,x^3))/2).$
При квантово-механическом подходе в этом случае имеется одна положительно-частотная компонента вектора-потенциала $A^1=\exp(i \omega \,t -ik \,x^3)/2, $ и плотность энергии поля в соответствии с формулой, указанной в стартовом сообщении, равняется $T_{00}=\omega^2 /2.$

Кроме того, канонический тензор энергии-импульса содержит лишь составляющие, связанные с поступательным движением волнового пакета, и не содержит составляющих, связанных с неоднородным распределением спинового момента цуга фотона.

Рассматривается новая величина - тензор спинового момента фотона, который, будучи отличен от нуля, например при круговой поляризации ЭМ волны, распределен по всему объему волнового цуга, в отличие от классического локализованного ЭМ поля, где собственный момент создается периферийными составляющими импульса, направленными поперек движения волнового цуга.
Рассмотрим пример моночастотного кругополяризованного волнового ЭМ пучка с круговым сечением радиуса $R+\Delta.$ Пусть компоненты классического вектора-потенциала в основной части пучка $r \le R$ имеют значения

$$A^1=\sin(\omega \,t -k \,x^3),\,\,\,A^2=\cos(\omega \,t -k \,x^3).$$

В пределах же узкой периферийной части сечения пучка шириной $\Delta $ компоненты вектора-потенциала линейно уменьшаются от вышеуказанных значений при $r=R$ до нуля при $r=R+\Delta .$ Напряженность электрического поля $E^1$ в периферийной части пучка на оси $x^1$ уменьшается от некоторого максимального значения до нуля, характеризуясь средним значением

$$E^1_{cp}=\frac {\partial A^1_{cp}} {\partial t}=\omega \cos(\omega \,t -k \,x^3)/2.$$

Составляющая же напряженности магнитного поля $H^3$ здесь равна

$$H^3=\frac {\partial A^2} {\partial x^1}=A^2/\Delta=\cos(\omega \,t -k \,x^3)/\Delta. $$

Отсюда для линейной плотности момента периферийного импульса получаем следующее выражение

$$M_{12}=2\pi R^2 \, E^1_{cp} \, H^3=\pi R^2 \omega \,(1+ \cos(2 (\omega \,t -k \,x^3)))/2.$$

При квантово-механическом рассмотрении плотность спинового момента, зависящая от значения комплексных составляющих вектора-потенциала $A^1=\exp(i \omega -ik \,x^3)/2$ и $A^2= i\,\exp(i \omega -ik \,x^3)/2$ определяется выражением, приведенном в стартовом сообщении. В нашем случае эта величина равняется $M_{120}=\omega /2.$
Линейную плотность спинмомента получаем умножением выражения для объемной плотности на величину сечения пучка $S=\pi R^2.$ В результате имеем выражение для линейной плотности спинмомента $M_{12}=\pi R^2 \omega /2.$ Можно видеть, что в последнем случае получается постоянная линейная плотность спинового момента, равная среднему значению плотности пульсирующего момента рассматриваемого волнового пучка. Здесь, как и в случае плотности энергии, квантово-механическое описание дает среднее значения динамического показателя на длине волны ЭМ колебаний.

Что касается операторов динамических показателей фотона, то они еще менее пригодны для описания локальных динамических показателей волнового цуга, но дают заметное упрощение вычислений динамических показателей цуга, рассматриваемого, как некоторый квантовый объект.

Резюме: В случае волнового ЭМ цуга его квантово-механическое описание дает правильные значения интегральных динамических показателей последнего, но искажает картину локальных показателей рассматриваемого объекта. Автор предполагает, что та же особенность характерна и для квантового описания всех микрочастиц. Но в отличие от электромагнитного поля в последнем случае нам неизвестны точные уравнения микрообъектов, и мы пока не в состоянии понять их детальную структуру.

С уважением О.Львов

[Lvov]

Sergeevich в сообщении #774988 писал(а):

Цитата:

Lvov в сообщении #773824 писал(а):
Можно говорить о размерах цуга ЭМ волн, содержащих один фотон.

Или о размере солитона - это ведь тоже фотон.

СТО теперь как библия, каждый находит в ней свое толкование.

Солитон в электродинамике? Я такого не знаю. Можно подробнее?

Мое толкование СТО изложено в статье, и обсуждалось на настоящем форуме по теме Сущность специальной теории относительности .

С уважением О.Львов

[fizeg]

Самосопряженный оператор координаты фотона, его собственные состояния и доказательство того, что ваша волновая функция описывает именно нужные амплитуды вероятностей, в студию!