ЛУМ, изоморфизм и сумма

[arseniiv]

Manticore в сообщении #772789 писал(а):

Нет, я не понимаю, как это делать.

Примерьте в качестве изоморфизма какие-нибудь «простые» функции $\mathbb R\to\mathbb R$, ограниченные на рациональные числа.

Manticore в сообщении #772789 писал(а):

Может быть, Вы могли бы объяснить в удобное для Вас время, как это делать, хотя бы на совсем другом примере?

Так вы здесь пишите!

[Manticore]

Представим $\mathbb{Q}\times\{0\} \cup \mathbb Q\times\{1\}$ так:
$f_1: (q,0) \rightarrow (-\infty;\sqrt 2)\cap \mathbb Q$ - сопоставим этой функции последовательность $A$ рациональных чисел до $\sqrt 2$, не включая его.
$f_2: (q, 1) \rightarrow (\sqrt 2;+\infty)\cap \mathbb Q$ - последовательность $B$ рациональных чисел от выколотого $\sqrt 2$
$A\cap B = \varnothing$
Введём отношение: $(q,0) < (q,1)$ Учитывая это, получаем, что такое разбиение корректно, т.к. $A<B$ и:
$(A)+(B)=(A+B)$

Это совсем не то?

[arseniiv]

Стоп-стоп-стоп… это к чему? (Я лучше временно отключусь.)

[provincialka]

Трудная задача. Интуитивно ясно, что можно "ужать" рациональную прямую так, чтобы она стала "вдвое короче". Но как это реализовать?

[Aritaborian]

Любое рациональное число имеет либо нечётный знаменатель, либо чётный. И с одним из этих классов можно, э-э... что-нибудь сделать... Наверное, глупость какую-то сказал.

[arseniiv]

Так я же описал всё. А последовательность, так уж и быть, пусть будет десятичными или двоичными приближениями $\sqrt2$ (а в другую сторону от нуля те же целые числа).

[Aritaborian]

Невнимательно читал; прошу прощения.

[provincialka]

Нет, нам порядок нужно сохранить. Нужно отобразить все рациональные числа в меньшие, чем, скажем, $\pi$.

Конечно, можно построить отображение"поинтервально". но нельзя ли более простое отображение?

[arseniiv]

Так всё же сохраняется.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Кстати, насчет того, что порядок, который описал arseniiv, будет прямой суммой в категории линейно упорядоченных множеств — это я погорячился. Не будет хотя бы потому что $A+B\not\simeq B+A$. Похоже, там вообще прямые суммы существуют лишь по праздникам. Ну ладно, не теорией категорий единой...

[provincialka]

arseniiv в сообщении #773103 писал(а):

Так всё же сохраняется.

да я не вам отвечала, тут быстро все меняется, диалог активный

[arseniiv]

Ясно.

[Manticore]

Не понимаю. Я должен доказать, что левой и правой половинам, т.е. $(q,0)$ и $(q,1)$ сопоставляются куски из $\mathbb Q$ так, что сохраняется порядок. Ну так почему нельзя $(q,0)$ (которые до $\sqrt 2$) сопоставить $(\sqrt 2, \infty)\cup \mathbb Q$? Т.е. в таком случае получится, что мы маленьким $q$ опять сопоставляем большие, и порядок сохраняется.
Или я совсем превратно понимаю?

[provincialka]

Совсем превратно. Надо один экземпляр рациональной прямой "загнать" в множество до $\sqrt2$, а другой - в после.

[Manticore]

provincialka
И как это сделать? Ведь это множество до $\sqrt 2$, например, содержится в рациональной прямой

-- 09.10.2013, 21:45 --

Пусть есть две прямые:
$\mathbb Q$:
$n_1, n_2, n_3, n_4$, где $n_1<n_2<n_3<n_4$ и $n \in \mathbb N$
Отобразим на прямую $\mathbb Q + \mathbb Q$:
$n'_1, n'_2, n'_3, n'_4$ так, что
$n_1$ сопоставим $n'_1$, $n_3$ сопоставим $n'_2$
Тогда $n_2$ можно перевести в какое-то рациональное число между $n'_1$ и $n'_2$, верно?

-- 09.10.2013, 21:59 --

Или я сейчас подумал...скажите пожалуйста, а при таком переходе сохраняется порядок?
И если, скажем, я напишу так:
1-ая прямая: $1, 2, 3, 4$
2-ая прямая: $1, 2 | 3, 4$ (тут | - это, например, граничное иррациональное число какое-то)
это справедливо? Или это неверно/не очевидно?