ЛУМ, изоморфизм и сумма

[Manticore]

Всю ночь решал задачи, не с кем обсудить возникшие вопросы, поэтому в какой раз обращаюсь за вашей помощью.
1) Непустое ограниченное сверху подмножество вполне упорядоченного множества $X$ имеет $sup(Y)$. Когда в данном случае может не быть максимального элемента? Я думаю, что подходит пример $[0;1)$. А более обще можно как-то сформулировать?
2) Изоморфизм и сумма множеств. Я так понимаю, что если существует изоморфизм, то существует биекция, а если существует биекция, то множества необязательно изоморфны?
С суммой вообще не понимаю - разве объединение не эквивалентно сумме? Что за манипуляции проделываются с множествами? Дорисовывается что-то, ограничивается.
Например, надо доказать, что $\mathbb{Q}+\mathbb{Q}$ изоморфны $\mathbb{Q}$, а то же самое утверждение для $\mathbb{R}+\mathbb{R}$ и $\mathbb{R}$ - неверно.
Не понимаю алгоритм решения.
Есть прямая $\mathbb{Q}$, продлим её на $\mathbb{Q}$, установим биекцию между этой новой прямой $\mathbb{Q'}$ и $\mathbb{Q}$. А почему это возможно?

[iifat]

Manticore в сообщении #772292 писал(а):

если существует биекция, то множества необязательно изоморфны?

Изоморфизм — биекция, сохраняющая некую структуру, сиречь некий набор отношений.

[bot]

Manticore в сообщении #772292 писал(а):

С суммой вообще не понимаю - разве объединение не эквивалентно сумме?

А что понимается под суммой множеств? Иногда объединение обозначают знаком $+$, бывает и так $A+B=\{a+b | a\in A, b\in B\}$ - это если $ A$ и $ B$ являются подмножествами некоторого множества, в котором определена операция $+$. Ещё бывает декартова сумма.

[iifat]

bot в сообщении #772307 писал(а):

Ещё бывает декартова сумма

Вроде не встречал её обозначения простым плюсом, хотя не поручусь. Плюс в круге, произведение, произведение в круге...
В любом случае, последние три строки ТС совершенно не понимаю.

[arseniiv]

Manticore в сообщении #772292 писал(а):

1) Непустое ограниченное сверху подмножество вполне упорядоченного множества $X$ имеет $sup(Y)$. Когда в данном случае может не быть максимального элемента? Я думаю, что подходит пример $[0;1)$. А более обще можно как-то сформулировать?

Что именно сформулировать — когда множество имеет супремум и не имеет максимума? Когда супремум ему не принадлежит. Или не так понял вопрос.

[Manticore]

iifat в сообщении #772303 писал(а):

Изоморфизм — биекция, сохраняющая некую структуру, сиречь некий набор отношений.

А в чём отличие от биекции? Т.е. есть пример биекции, не сохраняющей структуру?

bot в сообщении #772307 писал(а):

А что понимается под суммой множеств? Иногда объединение обозначают знаком $+$, бывает и так $A+B=\{a+b | a\in A, b\in B\}$ - это если $ A$ и $ B$ являются подмножествами некоторого множества, в котором определена операция $+$. Ещё бывает декартова сумма.

Вот определение:
$(x_1, <_1) + (x_2, <_2)$
$x:=x_1 \sqcup x_2= x_1 \times \{0\} \cup x_2 \times \{1\}=\{<x_1, 0>\} \cup \{x_2, 1>\}$
Так же мне объясняли на примере задания: Почему $\mathbb{Q}+1$ не изоморфно $\mathbb{Q}$
Переписали как $\mathbb{Q} + \{1\}$, сказали, что давайте вот построим биекцию, и получится, что "справа от единицы ничего нет и некуда отображать". Я правда не понимаю, откуда это берётся.

arseniiv в сообщении #772479 писал(а):

Что именно сформулировать — когда множество имеет супремум и не имеет максимума? Когда супремум ему не принадлежит. Или не так понял вопрос.

Нет, Вы правильно поняли. Я не понимаю, как обосновать это утверждение - просто привести пример? А почему тогда при других условиях такого не может быть?

[Aritaborian]

Manticore в сообщении #772629 писал(а):

есть пример биекции, не сохраняющей структуру?

Отображение $x\to2x$ проводит биекцию между отрезками $(0;1)$ и $(0;2)$ и сохраняет порядок. Отображение $x\to (2x+1) \bmod 2$ тоже осуществляет биекцию, но не сохраняет порядок.

[Manticore]

Aritaborian
Ну а, скажем, для двух колец изоморфизм - это просто биекция?

[provincialka]

Так у вас складываются не множества, а порядки на них?

Manticore в сообщении #772629 писал(а):

Вот определение:
$(x_1, <_1) + (x_2, <_2)$
$x:=x_1 \sqcup x_2= x_1 \times \{0\} \cup x_2 \times \{1\}=\{<x_1, 0>\} \cup \{x_2, 1>\}$

В определении принято объяснять, что означают все использованные значки. Мои предположения. $x_1, x_2$ - некоторые множества, на которых заданы порядки $<_1, <_2$. Кстати, эти порядки какие - линейные?

$x$ - то ли просто множество, то ли какая-то заданная на множестве структура (?) Больше похоже на множество. А $\times$ - это декартово умножение? Дальше написаны угловые и фигурные скобки, это вообще непонятно.

И причем тут отношения порядка, которые были заданы на $x_1, x_2$? По идее, на их основе должно было строиться какое-то отношение на $x$.
А для какого отображения проверять биективность? Изоморфизм?

[provincialka]

Aritaborian в сообщении #772640 писал(а):

Отображение $x\to2x$ проводит биекцию между отрезками $(0;1)$ и $(0;2)$ и сохраняет порядок. Отображение $x\to (2x+1) \bmod 2$ тоже осуществляет биекцию, но не сохраняет порядок.

Не совсем так. В образе не содержится точка 1, но содержится 0. Надо подправить: например, заменить интервалы полуинтервалами (включить 0).

-- 08.10.2013, 20:19 --

Manticore в сообщении #772645 писал(а):

Aritaborian
Ну а, скажем, для двух колец изоморфизм - это просто биекция?

Нет, конечно! Сумма должна переходить в сумму, а произведение - в произведение.

[Manticore]

provincialka
Дело в том, что я вообще не понимаю само определение. Но порядки $<_1, <_2$ линейные.
И не понимаю, что требуется.

provincialka в сообщении #772653 писал(а):

Не совсем так. В образе не содержится точка 1, но содержится 0. Надо подправить: например, заменить интервалы полуинтервалами (включить 0).

И вот этот пример вроде понятен, спасибо.

[arseniiv]

Manticore в сообщении #772629 писал(а):

А в чём отличие от биекции? Т.е. есть пример биекции, не сохраняющей структуру?

Конечно. Например, вот возьмём множество $A = \{0, 1\}$ и множество $B = \{-1, 1\}$. Между ними есть две биекции, но ни одна из них — не изоморфизм между $(A, \cdot)$ и $(B, \cdot)$ (с умножением).

Биекция — это изоморфизм «голых» множеств, без дополнительных отношений или операций на них.

Manticore в сообщении #772629 писал(а):

Нет, Вы правильно поняли. Я не понимаю, как обосновать это утверждение - просто привести пример?

Пусть у линейно упорядоченного множества $A$ есть $\sup A = a$. Можно показать, что если у него есть максимум, он равен супремуму, и из этого следует $a\in A$. Значит, если $a\notin A$, максимум не может быть равен супремуму, и, значит, максимума у $A$ нет.

Manticore в сообщении #772629 писал(а):

А почему тогда при других условиях такого не может быть?

Ээ… не совсем понятно. Если из другого условия следует приведённое, то из него следует и несуществование максимума при имеющемся супремуме. Например, если множество — интервал, то супремум ему не принадлежит, и максимума у него нет. Или если множество — бесконечное подмножество натуральных чисел, тоже. Можно много всякого напридумывать, но эти условия не будут необходимыми.

-- Вт окт 08, 2013 23:36:38 --

Manticore в сообщении #772629 писал(а):

Вот определение:
$(x_1, <_1) + (x_2, <_2)$
$x:=x_1 \sqcup x_2= x_1 \times \{0\} \cup x_2 \times \{1\}=\{<x_1, 0>\} \cup \{x_2, 1>\}$

Кажется, его надо передописать так:
$(x_1, <_1) \sqcup (x_2, <_2) = (x_1 \times \{0\} \cup x_2 \times \{1\}, <)$, где
$(a, b) < (a', b') = b < b' \vee b = b' \wedge ((b = 0 \to a <_1 a') \vee (b = 1 \to a <_2 a'))$, т. е. $<$ — лексикографический порядок, по которому все элементы $(a,0)$ идут раньше элементов $(a,1)$. (Такое определение выглядит разумнее всего для такого дизъюнктного объединения с участием порядка.)

То, что вы писали дальше с угловыми скобками, можно и не писать. Если же писать, правильным будет равенство $x_1 \times \{0\} \cup x_2 \times \{1\} = \{(a,0):a\in x_1\}\cup\{(a,1):a\in x_2\}$.

UPD. Исправил определение порядка.

-- Вт окт 08, 2013 23:45:15 --

(Нигде не напортачил?)

[Manticore]

arseniiv
С изоморфизмом и супремумом вроде разобрался.
А вот с порядком - не очень.
Вот например $\mathbb{Q} + \mathbb{Q}$
Нужно записать это как $\mathbb{Q}\times \{0\} \cup \mathbb{Q} \times \{1\}$? Но ведь это бессмысленная запись?

[provincialka]

Manticore в сообщении #772682 писал(а):

Нужно записать это как $\mathbb{Q}\times \{0\} \cup \mathbb{Q} \times \{1\}$? Но ведь это бессмысленная запись?

Почему бессмысленная? Нормальная запись. Элементами этого множества будут пары $(q,0)$ и $(q,1)$. Можно сказать, что в него входят по два экземпляра каждого рационального числа. Причем они пронумерованы.

Дело не в этом, а в том, что по смыслу задания в этом множестве нужно ввести некоторый порядок между элементами, о котором вам говорил arseniiv. Он предложил "расположить" два экземпляра множества $\mathbb Q$ друг за другом.

[arseniiv]

(Извините за повторения, сообщение долго писалось.)
(Стоп! Почему у вас то $+$, то $\sqcup$? Это одно и то же? Видимо, $\sqcup$ — это дизъюнктное объединение, а $+$ — это уже и с участием порядков? Тогда у меня получается некорректная запись, ну ладно.)

С чего бессмысленная? Она соответствует определению. Получится множество $\mathbb Q\times \{0, 1\}$ с порядком, описанным выше. Это интуитивно выглядит как склеивание двух рациональных прямых на бесконечности, одна слева от другой.

Давайте лучше про

Manticore в сообщении #772629 писал(а):

Так же мне объясняли на примере задания: Почему $\mathbb{Q}+1$ не изоморфно $\mathbb{Q}$
Переписали как $\mathbb{Q} + \{1\}$, сказали, что давайте вот построим биекцию, и получится, что "справа от единицы ничего нет и некуда отображать". Я правда не понимаю, откуда это берётся.

и про

Manticore в сообщении #772292 писал(а):

Например, надо доказать, что $\mathbb{Q}+\mathbb{Q}$ изоморфны $\mathbb{Q}$, а то же самое утверждение для $\mathbb{R}+\mathbb{R}$ и $\mathbb{R}$ - неверно.
Не понимаю алгоритм решения.

Первое: $(\mathbb Q,<)+\{1\}$ ($\mathbb Q+1$ выглядит странновато, если только у вас лекция была не по теории множеств и представлении натуральных чисел множествами) действительно не изоморфно $(\mathbb Q, <)$ (дальше порядок буду опускать, так обычно и делается — может, потому вы немного смешались в различии биекции и изоморфизма). Если взять рациональное число, для него всегда найдётся число больше него; если же взять элемент из $\mathbb Q+\{1\}$, то не всегда: возьмём $(1, 1)$ — больше него ничего нет, оно по построению получается максимумом. А у $\mathbb Q$ максимума нет. Можно быстро доказать, что изоморфизм упорядоченных множеств «сохраняет максимум» — если $(A,<)\sim(A',<')$, то $\exists\max\limits_< A \Leftrightarrow \exists\max\limits_{<'} A'$ (это неформальная запись, конечно). А раз у нас у одного множества есть максимум, а у другого — тю-тю, изоморфизма между ними нет.

Почему $\mathbb R+\mathbb R\not\sim\mathbb R$? Вы знаете, что $\mathbb R$ равномощно множеству $(0; +\infty)$. Оно так же изоморфно ему с порядком (ограничением обычного порядка $<$ на $\mathbb R$ на этот интервал), изоморфизмом будет, например, экспонента. А ещё изоморфно $(-\infty; 0)$. Значит, $\mathbb R+\mathbb R\sim\mathbb R\setminus\{0\}$. В нём есть дырка, которую можно заполнить, а в $\mathbb R$ таких дырок нет. Но это вообще не доказательство, а только иллюстрация, потому что если мы провалились с одним изоморфизмом, может существовать какой-то другой. (Но здесь никакого не будет.) Напротив, $\mathbb Q+\mathbb Q\sim\mathbb Q$, потому что при склеивании двух $\mathbb Q$ таких различительных дырок не получается. В общем, тут кто-нибудь топологически всё распишет, надеюсь, а я пас.