Для того,чтобы освоить анализ, Вам всего-то и надо, что научиться строить отрицания выражений, содержащих кванторы. Не стоит слишком глубоко залезать в логические дебри.
Просто мне очень нравится в этих дебрях, не могу никак оторваться. :) К тому же, я ведь не намерен ограничивать свои познания только матаном. И мне кажется, чем раньше я начну вникать в матлогику, тем лучше.
В Вашей задаче, если Вы хотите написать цепочку равносильностей, надо просто тащить за собой
![$A\subset M$ $A\subset M$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/3/1/a313a730a43b7f9829bcb8eb92bdbe6682.png)
с начала и до конца, потому что когда вы заменяете произвольный
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
конкретным
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
, вы совершаете не равносильный переход, а лишь получаете следствие. С конца будет так
![$$(x\in A)\wedge(A\subset M)\Leftrightarrow(x\in A)\wedge((x\in A)\Rightarrow(x\in M))\wedge(A\subset M) \Leftrightarrow(x\in A)\wedge(x\in M)\wedge(A\subset M)$$ $$(x\in A)\wedge(A\subset M)\Leftrightarrow(x\in A)\wedge((x\in A)\Rightarrow(x\in M))\wedge(A\subset M) \Leftrightarrow(x\in A)\wedge(x\in M)\wedge(A\subset M)$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/6/6c6b748767d724a8c1c82e0c308cb5c982.png)
и далее это смыкается с Вашим началом.
Вот так просто? :) Класс! Но я всё-таки маленько не врубаюсь...
Тогда получается, что цепочка рассуждений должна выглядеть так:
![$\begin{array}{l}
x \in C_M(C_MA) \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow \neg (x \in C_MA) \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow \neg (\neg (x \in A) \wedge x \in M) \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow (\neg (\neg (x \in A)) \vee \neg (x \in M)) \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow (x \in A \vee \neg (x \in M)) \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow ((x \in A \wedge x \in M) \vee (\neg (x \in M) \wedge x \in M)) \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow x \in A \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow x \in A \wedge (x \in A \Rightarrow x \in M) \wedge A \subset M
\end{array}$ $\begin{array}{l}
x \in C_M(C_MA) \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow \neg (x \in C_MA) \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow \neg (\neg (x \in A) \wedge x \in M) \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow (\neg (\neg (x \in A)) \vee \neg (x \in M)) \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow (x \in A \vee \neg (x \in M)) \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow ((x \in A \wedge x \in M) \vee (\neg (x \in M) \wedge x \in M)) \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow x \in A \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow x \in A \wedge (x \in A \Rightarrow x \in M) \wedge A \subset M
\end{array}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/a/a/4aaeb5fe72308ff30d395158771abf1082.png)
...После этого мы говорим: "А выкинем-ка половину выражения нафиг" — и таким образом получаем финальный результат:
![$\begin{array}{l}
x \in A \wedge (x \in A \Rightarrow x \in M) \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow x \in A \wedge A \subset M
\end{array}$ $\begin{array}{l}
x \in A \wedge (x \in A \Rightarrow x \in M) \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow x \in A \wedge A \subset M
\end{array}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/d/b4dfe22c3ed0d3644161998fb5d8c51382.png)
Это очень здорово, если можно так делать, но я тогда вообще ничего не понимаю. :) Выглядит как чёрная магия.
Фактически, мы утверждаем, что
![$(A \wedge B \wedge C) \Leftrightarrow (A \wedge (A \Rightarrow B) \wedge C) \Leftrightarrow A \wedge C$ $(A \wedge B \wedge C) \Leftrightarrow (A \wedge (A \Rightarrow B) \wedge C) \Leftrightarrow A \wedge C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/0/9309846744d9278c864e7028daeb783282.png)
. Давайте-ка проверим это
калёным железом таблицей истинности:
![$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}
A & B & C & A \Rightarrow B & A \wedge B \wedge C & A \wedge (A \Rightarrow B) \wedge C & A \wedge C \\
\hline 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
\hline 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
\hline 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
\hline 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
\hline 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\hline 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\hline 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
\hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1
\end{array}
$ $\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}
A & B & C & A \Rightarrow B & A \wedge B \wedge C & A \wedge (A \Rightarrow B) \wedge C & A \wedge C \\
\hline 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
\hline 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
\hline 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
\hline 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
\hline 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\hline 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\hline 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
\hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1
\end{array}
$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/8/8/488125fb6d6d545c5ecba32929ba8d8782.png)
И что же мы видим?.. Опаньки! Последний столбик не совпадает с двумя предпоследними! Разве в этом случае можно говорить о равносильности?..
Походу, я чего-то капитально недопонимаю... И даже не знаю, как надо начать думать, чтобы понять. Спасите-помогите!
Только не утоните в формализме, как gris предупреждал.
Я не хочу тонуть в формализме, я хочу научиться плавать в нём, как рыба в воде. :) Мне это очень интересно. Люблю точность во всём. Математика нравится мне ещё и тем, что это самая точная наука из возможных. :)