Задачки из книги Зорича

[Denis Russkih]

arseniiv

Простите, совсем забыл, что надо объяснить появление этого $x$. :) Хорошо, давайте попробуем ещё раз:

$\begin{array}{l} x \in C_M(C_MA) \wedge x \in M\Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \neg (x \in C_MA) \wedge x \in M \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \neg (\neg (x \in A) \wedge x \in M) \wedge x \in M \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (\neg (\neg (x \in A)) \vee \neg (x \in M)) \wedge x \in M \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (x \in A \vee \neg (x \in M)) \wedge x \in M \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (x \in A \wedge x \in M) \vee (\neg (x \in M) \wedge x \in M) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow x \in A \wedge x \in M \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow x \in (A \cap M) \end{array}$

И что же дальше? :) Вопрос остаётся прежним. Как из $x \in (A \cap M)$ вывести, что $x \in A$, или это считается аксиомой? :)

У меня была мысль включить туда упоминание ещё одного обстоятельства: $A \subset M$. Тогда получается так:

$\begin{array}{l} x \in C_M(C_MA) \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \neg (x \in C_MA) \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \neg (\neg (x \in A) \wedge x \in M) \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (\neg (\neg (x \in A)) \vee \neg (x \in M)) \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (x \in A \vee \neg (x \in M)) \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow ((x \in A \wedge x \in M) \vee (\neg (x \in M) \wedge x \in M)) \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (x \in A \wedge x \in M) \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (x \in A \wedge x \in M) \wedge (x \in A \Rightarrow x \in M) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (x \in A \wedge x \in M) \wedge (\neg (x \in A) \vee x \in M) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (x \in A \wedge x \in M \wedge (\neg (x \in A))) \vee ((x \in A \wedge x \in M) \wedge x \in M) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (x \in A \wedge x \in M) \wedge x \in M \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow x \in A \wedge x \in M \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow x \in (A \cap M) \end{array}$

Дежавю. :) Мы по-прежнему получаем $x \in (A \cap M)$, но как же на основании этого доказать, что $x \in A$, если даже упоминание, что $A \subset M$, не помогло?..

gris в сообщении #770652 писал(а):

Denis Russkih, не надо пытаться быть святее Папы, то бишь, строже Зорича.

Я просто хочу понять, как из $x \in (A \cap M)$ можно вывести $x \in A$ при помощи логических операций, если на каждом этапе сохранять максимальную строгость записи.

Это для меня не только вопрос записи, но и принципиальный вопрос, касающийся логического мышления в целом.

Пока я не разобрался в этой задаче, я чувствую, что чего-то капитально не понимаю в математике и в устройстве мира. :)

Возможно, я где-то совершаю ошибку в рассуждениях, которая приводит меня в тупик?.. (Тогда где именно?) Или я просто не знаю какого-то математического приёма, который помог бы увидеть, что тупик вовсе не является тупиком?..

[Denis Russkih]

Кажется, дошло! :) Это, наверное, такое правило из логики?

$((A \wedge B) \Leftrightarrow (C \wedge B)) \Leftrightarrow (A \Leftrightarrow C)$

Я прав? Здесь именно такая штука используется, похоже! :) Но неужели она сама не нуждается в доказательствах?

[ex-math]

Denis Russkih
Во-первых, то, что $A\subset M$, действительно надо учитывать. Без этого у Вас будет не дополнение, а разность, и Вы придете к верному выводу $M\setminus(M\setminus A)=A\cap M$.
Во-вторых, Ваша ошибка в том, что вместо $A\subset M$ Вы ставите $(x\in A)\Rightarrow(x\in M)$, а надо бы $(\forall y)((y\in A)\Rightarrow(y\in M))$. Чувствуете разницу?
В-третьих, логические выражения нужно уметь не только упрощать, но и "усложнять". Посмотрите, чему равносильно $(x\in A)\wedge(A\subset M)$.

-- 04.10.2013, 23:24 --

А последнее вообще неверно. Пусть $A$ и $B$ ложны, а $C$ истинно.
В случае сомнений полезно строить таблицу истинности.

[Denis Russkih]

ex-math

Наконец-то реально бесценный комментарий! :) Огромное спасибо!

Я очень благодарен всем, кто отвечал мне здесь, но только после Вашего поста я наконец смог увидеть, где именно расположен главный пробел в моих знаниях.

Дело в том, что я понятия не имею, как быть с логическими выражениями, где присутствуют сразу две переменные (или как правильно называются эти буковки $x$ и $y$, я даже этого не знаю). И уж тем более я не способен от логического выражения с одной переменной как-то перейти к выражению с двумя переменными и что-то там дальше делать.

Надо будет основательно порыться в учебниках по математической логике. Похоже, я вообще ни черта не понимаю, как строятся доказательства. Увидел у Зорича пару трюков, подсмотрел в интернете ещё парочку... А это, оказывается, лишь вершина айсберга.

Ничего удивительного, что я чувствовал себя так, будто брежу бреду в тумане.

[arseniiv]

Только не утоните в формализме, как gris предупреждал.

[ex-math]

Denis Russkih
Для того,чтобы освоить анализ, Вам всего-то и надо, что научиться строить отрицания выражений, содержащих кванторы. Не стоит слишком глубоко залезать в логические дебри.
В Вашей задаче, если Вы хотите написать цепочку равносильностей, надо просто тащить за собой $A\subset M$ с начала и до конца, потому что когда вы заменяете произвольный $y$ конкретным $x$, вы совершаете не равносильный переход, а лишь получаете следствие. С конца будет так

$$(x\in A)\wedge(A\subset M)\Leftrightarrow(x\in A)\wedge((x\in A)\Rightarrow(x\in M))\wedge(A\subset M) \Leftrightarrow(x\in A)\wedge(x\in M)\wedge(A\subset M)$$

и далее это смыкается с Вашим началом.

[Denis Russkih]

ex-math в сообщении #770796 писал(а):

Для того,чтобы освоить анализ, Вам всего-то и надо, что научиться строить отрицания выражений, содержащих кванторы. Не стоит слишком глубоко залезать в логические дебри.

Просто мне очень нравится в этих дебрях, не могу никак оторваться. :) К тому же, я ведь не намерен ограничивать свои познания только матаном. И мне кажется, чем раньше я начну вникать в матлогику, тем лучше.

ex-math в сообщении #770796 писал(а):

В Вашей задаче, если Вы хотите написать цепочку равносильностей, надо просто тащить за собой $A\subset M$ с начала и до конца, потому что когда вы заменяете произвольный $y$ конкретным $x$, вы совершаете не равносильный переход, а лишь получаете следствие. С конца будет так

$$(x\in A)\wedge(A\subset M)\Leftrightarrow(x\in A)\wedge((x\in A)\Rightarrow(x\in M))\wedge(A\subset M) \Leftrightarrow(x\in A)\wedge(x\in M)\wedge(A\subset M)$$

и далее это смыкается с Вашим началом.

Вот так просто? :) Класс! Но я всё-таки маленько не врубаюсь...

Тогда получается, что цепочка рассуждений должна выглядеть так:

$\begin{array}{l} x \in C_M(C_MA) \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \neg (x \in C_MA) \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \neg (\neg (x \in A) \wedge x \in M) \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (\neg (\neg (x \in A)) \vee \neg (x \in M)) \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (x \in A \vee \neg (x \in M)) \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow ((x \in A \wedge x \in M) \vee (\neg (x \in M) \wedge x \in M)) \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow x \in A \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow x \in A \wedge (x \in A \Rightarrow x \in M) \wedge A \subset M \end{array}$

...После этого мы говорим: "А выкинем-ка половину выражения нафиг" — и таким образом получаем финальный результат:

$\begin{array}{l} x \in A \wedge (x \in A \Rightarrow x \in M) \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow x \in A \wedge A \subset M \end{array}$

Это очень здорово, если можно так делать, но я тогда вообще ничего не понимаю. :) Выглядит как чёрная магия.

Фактически, мы утверждаем, что $(A \wedge B \wedge C) \Leftrightarrow (A \wedge (A \Rightarrow B) \wedge C) \Leftrightarrow A \wedge C$. Давайте-ка проверим это калёным железом таблицей истинности:

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} A & B & C & A \Rightarrow B & A \wedge B \wedge C & A \wedge (A \Rightarrow B) \wedge C & A \wedge C \\ \hline 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} $

И что же мы видим?.. Опаньки! Последний столбик не совпадает с двумя предпоследними! Разве в этом случае можно говорить о равносильности?..

Походу, я чего-то капитально недопонимаю... И даже не знаю, как надо начать думать, чтобы понять. Спасите-помогите!

arseniiv в сообщении #770795 писал(а):

Только не утоните в формализме, как gris предупреждал.

Я не хочу тонуть в формализме, я хочу научиться плавать в нём, как рыба в воде. :) Мне это очень интересно. Люблю точность во всём. Математика нравится мне ещё и тем, что это самая точная наука из возможных. :)

[ex-math]

Смотрите, достаточно проверить $(A\subset M)\Leftrightarrow((A\subset M)\wedge(x\in A\Rightarrow x\in M))$. Если слева ложь, то конъюнкция справа также ложна. Если слева истина, то это значит, что для любого $y$ истинно $(y\in A)\Rightarrow(y\in M)$. Значит, эта импликация истинна и при $y=x$, следовательно, конъюнкция справа истинна.

-- 05.10.2013, 13:42 --

В таблице надо учесть, что $C$ не произвольно, а таково, что $A\Rightarrow B$ из него следует. Поэтому случай истинного $C$ при ложной импликации $A\Rightarrow B$, т.е. истинном $A$ и ложном $B$, не реализуется.

[Denis Russkih]

ex-math

А как это можно записать в формальном виде, в виде цепочки равносильностей?

Таблица истинности показывает, что в общем случае в цепочке $(A \wedge B \wedge C) \Leftrightarrow (A \wedge (A \Rightarrow B) \wedge C) \Leftrightarrow A \wedge C$ последний переход не является корректным.

Если в нашем частном случае равносильность соблюдается, то это означает, что существует ещё какое-то неявно подразумеваемое условие, которое мы должны добавить в выражение, чтобы наконец получить полностью корректную цепочку рассуждений. :) Вероятно, мы должны добавить его так же, как перед этим добавили $A \subset M$, а затем тащить до самого конца. Вот только что это может быть за утверждение, и как его правильно сформулировать и записать?.. Тут для меня начинается полная terra incognita, земля, где живут драконы...

-- 05.10.2013, 13:03 --

ex-math в сообщении #770906 писал(а):

В таблице надо учесть, что $C$ не произвольно, а таково, что $A\Rightarrow B$ из него следует. Поэтому случай истинного $C$ при ложной импликации $A\Rightarrow B$, т.е. истинном $A$ и ложном $B$, не реализуется.

Ах вот оно что! :) Спасибо, кажется, мозги начинают вставать на место... Это надо обдумать! Огромное спасибо!

[Deggial]

Следующая задача отделена сюда

[kavaivaleri]

Тогда получается, что цепочка рассуждений должна выглядеть так:

$\begin{array}{l} x \in C_M(C_MA) \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \neg (x \in C_MA) \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \neg (\neg (x \in A) \wedge x \in M) \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (\neg (\neg (x \in A)) \vee \neg (x \in M)) \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (x \in A \vee \neg (x \in M)) \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow ((x \in A \wedge x \in M) \vee (\neg (x \in M) \wedge x \in M)) \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow x \in A \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow x \in A \wedge (x \in A \Rightarrow x \in M) \wedge A \subset M \end{array}$

Насчёт этой задачи $C_{M}(C_{M}A) = 0$

Я решила так: $x \in C_{M}(C_{M}A)$ следовательно $x \notin (C_{M}A)$ следовательно $x \in A

[Lia]

kavaivaleri
На данном форуме не приветствуется размещение полного решения задач, если только Вы не топик-стартер.
А спустя 9 лет это тем более никому не нужно. Раздел архивный.

Замечание за некропостинг.