2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Задачки из книги Зорича
Сообщение04.10.2013, 18:52 
Аватара пользователя


05/01/13

3968
arseniiv

Простите, совсем забыл, что надо объяснить появление этого $x$. :) Хорошо, давайте попробуем ещё раз:

$\begin{array}{l}
x \in C_M(C_MA) \wedge x \in M\Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow \neg (x \in C_MA) \wedge x \in M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow \neg (\neg (x \in A) \wedge x \in M) \wedge x \in M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow (\neg (\neg (x \in A)) \vee \neg (x \in M)) \wedge x \in M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow (x \in A \vee \neg (x \in M)) \wedge x \in M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow (x \in A \wedge x \in M) \vee (\neg (x \in M) \wedge x \in M) \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow x \in A \wedge x \in M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow x \in (A \cap M) 
\end{array}$

И что же дальше? :) Вопрос остаётся прежним. Как из $x \in (A \cap M)$ вывести, что $x \in A$, или это считается аксиомой? :)

У меня была мысль включить туда упоминание ещё одного обстоятельства: $A \subset M$. Тогда получается так:

$\begin{array}{l}
x \in C_M(C_MA) \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow \neg (x \in C_MA) \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow \neg (\neg (x \in A) \wedge x \in M) \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow (\neg (\neg (x \in A)) \vee \neg (x \in M)) \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow (x \in A \vee \neg (x \in M)) \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow ((x \in A \wedge x \in M) \vee (\neg (x \in M) \wedge x \in M)) \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow (x \in A \wedge x \in M) \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow (x \in A \wedge x \in M) \wedge (x \in A \Rightarrow x \in M) \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow (x \in A \wedge x \in M) \wedge (\neg (x \in A) \vee x \in M) \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow (x \in A \wedge x \in M \wedge (\neg (x \in A))) \vee ((x \in A \wedge x \in M) \wedge x \in M) \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow (x \in A \wedge x \in M) \wedge x \in M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow x \in A \wedge x \in M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow x \in (A \cap M) 
\end{array}$

Дежавю. :) Мы по-прежнему получаем $x \in (A \cap M)$, но как же на основании этого доказать, что $x \in A$, если даже упоминание, что $A \subset M$, не помогло?..



gris в сообщении #770652 писал(а):
Denis Russkih, не надо пытаться быть святее Папы, то бишь, строже Зорича.

Я просто хочу понять, как из $x \in (A \cap M)$ можно вывести $x \in A$ при помощи логических операций, если на каждом этапе сохранять максимальную строгость записи.

Это для меня не только вопрос записи, но и принципиальный вопрос, касающийся логического мышления в целом.

Пока я не разобрался в этой задаче, я чувствую, что чего-то капитально не понимаю в математике и в устройстве мира. :)

Возможно, я где-то совершаю ошибку в рассуждениях, которая приводит меня в тупик?.. (Тогда где именно?) Или я просто не знаю какого-то математического приёма, который помог бы увидеть, что тупик вовсе не является тупиком?..

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки из книги Зорича
Сообщение04.10.2013, 22:13 
Аватара пользователя


05/01/13

3968
Кажется, дошло! :) Это, наверное, такое правило из логики?

$((A \wedge B) \Leftrightarrow (C \wedge B)) \Leftrightarrow (A \Leftrightarrow C)$

Я прав? Здесь именно такая штука используется, похоже! :) Но неужели она сама не нуждается в доказательствах?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки из книги Зорича
Сообщение04.10.2013, 22:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Denis Russkih
Во-первых, то, что $A\subset M$, действительно надо учитывать. Без этого у Вас будет не дополнение, а разность, и Вы придете к верному выводу $M\setminus(M\setminus A)=A\cap M$.
Во-вторых, Ваша ошибка в том, что вместо $A\subset M$ Вы ставите $(x\in A)\Rightarrow(x\in M)$, а надо бы $(\forall y)((y\in A)\Rightarrow(y\in M))$. Чувствуете разницу?
В-третьих, логические выражения нужно уметь не только упрощать, но и "усложнять". Посмотрите, чему равносильно $(x\in A)\wedge(A\subset M)$.

-- 04.10.2013, 23:24 --

А последнее вообще неверно. Пусть $A$ и $B$ ложны, а $C$ истинно.
В случае сомнений полезно строить таблицу истинности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки из книги Зорича
Сообщение04.10.2013, 22:54 
Аватара пользователя


05/01/13

3968
ex-math

Наконец-то реально бесценный комментарий! :) Огромное спасибо!

Я очень благодарен всем, кто отвечал мне здесь, но только после Вашего поста я наконец смог увидеть, где именно расположен главный пробел в моих знаниях.

Дело в том, что я понятия не имею, как быть с логическими выражениями, где присутствуют сразу две переменные (или как правильно называются эти буковки $x$ и $y$, я даже этого не знаю). И уж тем более я не способен от логического выражения с одной переменной как-то перейти к выражению с двумя переменными и что-то там дальше делать.

Надо будет основательно порыться в учебниках по математической логике. Похоже, я вообще ни черта не понимаю, как строятся доказательства. Увидел у Зорича пару трюков, подсмотрел в интернете ещё парочку... А это, оказывается, лишь вершина айсберга.

Ничего удивительного, что я чувствовал себя так, будто брежу бреду в тумане.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки из книги Зорича
Сообщение04.10.2013, 23:02 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Только не утоните в формализме, как gris предупреждал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки из книги Зорича
Сообщение04.10.2013, 23:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Denis Russkih
Для того,чтобы освоить анализ, Вам всего-то и надо, что научиться строить отрицания выражений, содержащих кванторы. Не стоит слишком глубоко залезать в логические дебри.
В Вашей задаче, если Вы хотите написать цепочку равносильностей, надо просто тащить за собой $A\subset M$ с начала и до конца, потому что когда вы заменяете произвольный $y$ конкретным $x$, вы совершаете не равносильный переход, а лишь получаете следствие. С конца будет так
$$(x\in A)\wedge(A\subset M)\Leftrightarrow(x\in A)\wedge((x\in A)\Rightarrow(x\in M))\wedge(A\subset M) \Leftrightarrow(x\in A)\wedge(x\in M)\wedge(A\subset M)$$
и далее это смыкается с Вашим началом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки из книги Зорича
Сообщение05.10.2013, 12:23 
Аватара пользователя


05/01/13

3968
ex-math в сообщении #770796 писал(а):
Для того,чтобы освоить анализ, Вам всего-то и надо, что научиться строить отрицания выражений, содержащих кванторы. Не стоит слишком глубоко залезать в логические дебри.

Просто мне очень нравится в этих дебрях, не могу никак оторваться. :) К тому же, я ведь не намерен ограничивать свои познания только матаном. И мне кажется, чем раньше я начну вникать в матлогику, тем лучше.

ex-math в сообщении #770796 писал(а):
В Вашей задаче, если Вы хотите написать цепочку равносильностей, надо просто тащить за собой $A\subset M$ с начала и до конца, потому что когда вы заменяете произвольный $y$ конкретным $x$, вы совершаете не равносильный переход, а лишь получаете следствие. С конца будет так
$$(x\in A)\wedge(A\subset M)\Leftrightarrow(x\in A)\wedge((x\in A)\Rightarrow(x\in M))\wedge(A\subset M) \Leftrightarrow(x\in A)\wedge(x\in M)\wedge(A\subset M)$$
и далее это смыкается с Вашим началом.

Вот так просто? :) Класс! Но я всё-таки маленько не врубаюсь...

Тогда получается, что цепочка рассуждений должна выглядеть так:

$\begin{array}{l}
x \in C_M(C_MA) \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow \neg (x \in C_MA) \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow \neg (\neg (x \in A) \wedge x \in M) \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow (\neg (\neg (x \in A)) \vee \neg (x \in M)) \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow (x \in A \vee \neg (x \in M)) \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow ((x \in A \wedge x \in M) \vee (\neg (x \in M) \wedge x \in M)) \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow x \in A \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow x \in A \wedge (x \in A \Rightarrow x \in M) \wedge A \subset M
\end{array}$

...После этого мы говорим: "А выкинем-ка половину выражения нафиг" — и таким образом получаем финальный результат:

$\begin{array}{l}
x \in A \wedge (x \in A \Rightarrow x \in M) \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow x \in A \wedge A \subset M 
\end{array}$

Это очень здорово, если можно так делать, но я тогда вообще ничего не понимаю. :) Выглядит как чёрная магия.

Фактически, мы утверждаем, что $(A \wedge B \wedge C) \Leftrightarrow (A \wedge (A \Rightarrow B) \wedge C) \Leftrightarrow A \wedge C$. Давайте-ка проверим это калёным железом таблицей истинности:

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}
A & B & C & A \Rightarrow B & A \wedge B \wedge C & A \wedge (A \Rightarrow B) \wedge C & A \wedge C \\
\hline 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 
\hline 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 
\hline 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 
\hline 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 
\hline 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 
\hline 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 
\hline 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
\hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1
\end{array}
$

И что же мы видим?.. Опаньки! Последний столбик не совпадает с двумя предпоследними! Разве в этом случае можно говорить о равносильности?..

Походу, я чего-то капитально недопонимаю... И даже не знаю, как надо начать думать, чтобы понять. Спасите-помогите!



arseniiv в сообщении #770795 писал(а):
Только не утоните в формализме, как gris предупреждал.

Я не хочу тонуть в формализме, я хочу научиться плавать в нём, как рыба в воде. :) Мне это очень интересно. Люблю точность во всём. Математика нравится мне ещё и тем, что это самая точная наука из возможных. :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки из книги Зорича
Сообщение05.10.2013, 12:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Смотрите, достаточно проверить $(A\subset M)\Leftrightarrow((A\subset M)\wedge(x\in A\Rightarrow x\in M))$. Если слева ложь, то конъюнкция справа также ложна. Если слева истина, то это значит, что для любого $y$ истинно $(y\in A)\Rightarrow(y\in M)$. Значит, эта импликация истинна и при $y=x$, следовательно, конъюнкция справа истинна.

-- 05.10.2013, 13:42 --

В таблице надо учесть, что $C$ не произвольно, а таково, что $A\Rightarrow B$ из него следует. Поэтому случай истинного $C$ при ложной импликации $A\Rightarrow B$, т.е. истинном $A$ и ложном $B$, не реализуется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки из книги Зорича
Сообщение05.10.2013, 13:01 
Аватара пользователя


05/01/13

3968
ex-math

А как это можно записать в формальном виде, в виде цепочки равносильностей?

Таблица истинности показывает, что в общем случае в цепочке $(A \wedge B \wedge C) \Leftrightarrow (A \wedge (A \Rightarrow B) \wedge C) \Leftrightarrow A \wedge C$ последний переход не является корректным.

Если в нашем частном случае равносильность соблюдается, то это означает, что существует ещё какое-то неявно подразумеваемое условие, которое мы должны добавить в выражение, чтобы наконец получить полностью корректную цепочку рассуждений. :) Вероятно, мы должны добавить его так же, как перед этим добавили $A \subset M$, а затем тащить до самого конца. Вот только что это может быть за утверждение, и как его правильно сформулировать и записать?.. Тут для меня начинается полная terra incognita, земля, где живут драконы...

-- 05.10.2013, 13:03 --

ex-math в сообщении #770906 писал(а):
В таблице надо учесть, что $C$ не произвольно, а таково, что $A\Rightarrow B$ из него следует. Поэтому случай истинного $C$ при ложной импликации $A\Rightarrow B$, т.е. истинном $A$ и ложном $B$, не реализуется.

Ах вот оно что! :) Спасибо, кажется, мозги начинают вставать на место... Это надо обдумать! Огромное спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки из книги Зорича
Сообщение06.10.2013, 11:16 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  Следующая задача отделена сюда

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки из книги Зорича
Сообщение11.08.2022, 20:16 


11/08/22
1
Тогда получается, что цепочка рассуждений должна выглядеть так:

$\begin{array}{l}
x \in C_M(C_MA) \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow \neg (x \in C_MA) \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow \neg (\neg (x \in A) \wedge x \in M) \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow (\neg (\neg (x \in A)) \vee \neg (x \in M)) \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow (x \in A \vee \neg (x \in M)) \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow ((x \in A \wedge x \in M) \vee (\neg (x \in M) \wedge x \in M)) \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow x \in A \wedge x \in M \wedge A \subset M \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow x \in A \wedge (x \in A \Rightarrow x \in M) \wedge A \subset M
\end{array}$

Насчёт этой задачи $C_{M}(C_{M}A) = 0$

Я решила так: $x \in C_{M}(C_{M}A)$ следовательно $x \notin (C_{M}A)$ следовательно $x \in A

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки из книги Зорича
Сообщение11.08.2022, 21:31 


20/03/14
12041
kavaivaleri
На данном форуме не приветствуется размещение полного решения задач, если только Вы не топик-стартер.
А спустя 9 лет это тем более никому не нужно. Раздел архивный.

Замечание за некропостинг.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group