Проиллюстрировать геометрически декартово произведение

[Denis Russkih]

Ещё одна взрывающая мой мозг задачка из Зорича. :)

Цитата:

4. Проиллюстрируйте геометрически декартово произведение:
[...]
e) двух окружностей (тор);

Честно скажу, я понятия не имею, что хотел сказать автор, когда писал "проиллюстрируйте геометрически". Что конкретно я должен изобразить? В уме нарисовалось два варианта:



Какой из них более правилен? Следует ли "тащить" окружность $X$ вдоль окружности $Y$, "продевая" окружность $Y$ через центр окружности $X$ (верхний рисунок), или же в качестве точки контакта надо взять одну из точек на окружности $X$ (нижний рисунок)? Если да, то какую?.. Правильно ли я выбрал, и чем должен быть обусловлен такой выбор?

И ещё такой вопрос. А вдруг окружности расположены не в перпендикулярных плоскостях, а под углом?.. Тогда тор получится приплюснутый? :) Странно, что их взаимное расположение никак не оговорено в задаче.

А изображать полагается в изометрической проекции или в перспективе?.. И достаточно ли той информации, что я поместил на рисунок, или надо было написать/нарисовать ещё что-то?

Deggial: отделено от этой темы

[provincialka]

Вторая картинка. Ведь ответом будет поверхность тора.
Как располагать окружности - перпендикулярно, или под углом - неважно, ведь речь идет, скорее всего, о топологической эквивалентности, а не метрической. Тор - это вложение искомого декартова произведения в трехмерное пространство. Одно из вложений.

[Denis Russkih]

provincialka

Большое спасибо за ответ!

provincialka в сообщении #771337 писал(а):

ведь речь идет, скорее всего, о топологической эквивалентности, а не метрической

Вот оно что! Тогда понятно. :) А то я не мог врубиться: если окружности должны соприкасаться, то в какой именно точке?.. От этого же существенно зависит радиус и объём тора! А оказывается, можно рисовать любой бублик, лишь бы был похож на тор. :)

[provincialka]

Конечно! Отдельную окружность можно вложить в метрическое пространство (плоскость), где она приобретет форму и размеры. Но если перемножить эти плоскости, получится четырехмерное пространство, которое изобразить довольно затруднительно. Вот и "проецируем" его на наше, трехмерное. А уж как именно, "под каким углом" и с какими искажениями - это не важно.

Тем более, что в том 4-мерном пространстве, вообще говоря, метрика автоматически не появляется, хотя ее можно туда достаточно разумно "перенести".

[Munin]

Попробуйте рассмотреть тор в четырёхмерном пространстве. При этом будет и топологическая эквивалентность, и метрическая. Каждая окружность - круглая в своём двумерном пространстве, потом вы берёте произведение и этих окружностей, и пространств, которые их содержат.