2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Проиллюстрировать геометрически декартово произведение
Сообщение06.10.2013, 10:48 
Аватара пользователя


05/01/13

3968
Ещё одна взрывающая мой мозг задачка из Зорича. :)

Цитата:
4. Проиллюстрируйте геометрически декартово произведение:
[...]
e) двух окружностей (тор);

Честно скажу, я понятия не имею, что хотел сказать автор, когда писал "проиллюстрируйте геометрически". Что конкретно я должен изобразить? В уме нарисовалось два варианта:

Изображение

Какой из них более правилен? Следует ли "тащить" окружность $X$ вдоль окружности $Y$, "продевая" окружность $Y$ через центр окружности $X$ (верхний рисунок), или же в качестве точки контакта надо взять одну из точек на окружности $X$ (нижний рисунок)? Если да, то какую?.. Правильно ли я выбрал, и чем должен быть обусловлен такой выбор?

И ещё такой вопрос. А вдруг окружности расположены не в перпендикулярных плоскостях, а под углом?.. Тогда тор получится приплюснутый? :) Странно, что их взаимное расположение никак не оговорено в задаче.

А изображать полагается в изометрической проекции или в перспективе?.. И достаточно ли той информации, что я поместил на рисунок, или надо было написать/нарисовать ещё что-то?

 i  Deggial: отделено от этой темы

 Профиль  
                  
 
 Re: Проиллюстрировать геометрически декартово произведение
Сообщение06.10.2013, 11:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Вторая картинка. Ведь ответом будет поверхность тора.
Как располагать окружности - перпендикулярно, или под углом - неважно, ведь речь идет, скорее всего, о топологической эквивалентности, а не метрической. Тор - это вложение искомого декартова произведения в трехмерное пространство. Одно из вложений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проиллюстрировать геометрически декартово произведение
Сообщение06.10.2013, 12:03 
Аватара пользователя


05/01/13

3968
provincialka

Большое спасибо за ответ!

provincialka в сообщении #771337 писал(а):
ведь речь идет, скорее всего, о топологической эквивалентности, а не метрической

Вот оно что! Тогда понятно. :) А то я не мог врубиться: если окружности должны соприкасаться, то в какой именно точке?.. От этого же существенно зависит радиус и объём тора! А оказывается, можно рисовать любой бублик, лишь бы был похож на тор. :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Проиллюстрировать геометрически декартово произведение
Сообщение06.10.2013, 13:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Конечно! Отдельную окружность можно вложить в метрическое пространство (плоскость), где она приобретет форму и размеры. Но если перемножить эти плоскости, получится четырехмерное пространство, которое изобразить довольно затруднительно. Вот и "проецируем" его на наше, трехмерное. А уж как именно, "под каким углом" и с какими искажениями - это не важно.

Тем более, что в том 4-мерном пространстве, вообще говоря, метрика автоматически не появляется, хотя ее можно туда достаточно разумно "перенести".

 Профиль  
                  
 
 Re: Проиллюстрировать геометрически декартово произведение
Сообщение06.10.2013, 13:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Попробуйте рассмотреть тор в четырёхмерном пространстве. При этом будет и топологическая эквивалентность, и метрическая. Каждая окружность - круглая в своём двумерном пространстве, потом вы берёте произведение и этих окружностей, и пространств, которые их содержат.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group