2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ... 32  След.
 
 
Сообщение01.09.2007, 20:30 


05/08/07
206
Someone писал(а):
$a=16$ и $b=9$ взаимно простые, $a-b=7$ не кратно $n=3$, $\frac{a^n-b^n}{a-b}=481=13\cdot 37$, $\frac{(a+1)^n-(b+1)^n}{a-b}=559=13\cdot 43$ и др.

Во-первых, рад Вас приветствовать!
Во-вторых, восхищен Вашими контр-примерами. И как только Вы их находите?..
Неверна и лемма в условиях ВТФ: «Остаток от деления числа $a_2$ на $V$ меньше $a_1$, а остаток от деления числа $b_2$ на $V$ меньше $b_1$».
Таким образом, из верных вспомогательных лемм остается та, где $c+d$ делится на $a^n+b^n$. Сегодня нашел еще одну, но не успел записать и… забыл. Но в принципе вопрос проясняется:
1) Судя по всему, лемма-теорема в обиходе не известна.
2) С учетом верных лемм и Ваших контпримеров (за которые Вам большое спасибо!) ответ на главный вопрос опять находится на лезвии ножа.
Но я надеюсь, что П.Ферма даст подсказку и здесь. Кое-что уже просматривается.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.09.2007, 09:53 


05/08/07
206
В.Сорокин писал(а):
С учетом верных лемм и Ваших контпримеров (за которые Вам большое спасибо!) ответ на главный вопрос опять находится на лезвии ножа.
Но я надеюсь, что П.Ферма даст подсказку и здесь. Кое-что уже просматривается.

Поскольку при одних дополнительных условиях интересующая нас главная Лемма выполняется, а при других дополнительных условиях нет (с числами $\frac{a^n-b^n}{a-b}$ и $\frac{(a+1)^n-(b+1)^n}{a-b}$- случай, на базе которого я надеялся доказать Лемму и опровергнутый контр-примерами Someone), то прежде всего следует выявить специфичное ОТЛИЧИЕ между условиями Леммы и условиями вспомогательной леммы, опровергнутой контр-примерами.
Первое, бросающееся в глаза отличие, состоит в том, что в Лемме (в новых обозначениях для всех лемм) число $V$ меньше чисел $a+1$ и $b+1$, а в лемме с контр-примерами $V$ значительно больше чисел $a+1$ и $b+1$. Насколько это существенно, следует выяснить.
Вот один из путей доказательства Леммы:
С помощью линейных диофантовых уравнений преобразовать число $c+d$ к виду $c+d=KV+1$ (что сделать очень легко), а числа $c$ и $d$ к виду:
$c=kV+c'$ и $d=kV+d'$, где $c'<a$ и $d'<b$.
Если это удастся, то Лемма доказана.
+++++++++++++
Нет, решабельнее будет так:
С помощью линейного диофантового уравнения преобразовать число $c$ к виду $c=kV+1$, а потом подобрать параметры диафантового уравнения так, чтобы $d=kV+d'$, где $d'<b$. Например, $d'=2$.
+++++++++++++++++
Также следует проверить аналогичную гипотезу:
С помощью умножения равенства 1° на некоторое $x$ числа $c$ и $b$ можно привести к виду:
$c=kP+1$ и $b=kP+2$. И верность ВТФ налицо. (Здесь все числа взяты из основого текста доказательства.)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.09.2007, 01:11 


05/08/07
206
В.Сорокин писал(а):
Вот один из путей доказательства Леммы:
С помощью линейных диофантовых уравнений преобразовать число $c+d$ к виду $c+d=KV+1$ (что сделать очень легко), а числа $c$ и $d$ к виду:
$c=kV+c'$ и $d=kV+d'$, где $c'<a$ и $d'<b$.
Если это удастся, то Лемма доказана.

+++++++++
Похоже, что это удастся. И условие $V<c$ и $V<d$ является необходимым. С этим условием контр-пример создать не удастся.
Итак, заново:

Лемма. Если $V<c$, $V<d$ и число $cdV$ не делится на $2$ и $3$, то число $W$ НЕ делится на $V$, где
$ V=\frac{a^n+b^n}{a+b}$ и $W=\frac{c^n+d^n}{c+d}$.

Доказательство.
Составим два линейных диофантовых уравнения для двух пар взимопростых чисел $(c, V) и $(d, V)$:
$cx_c-Vy_c=1 и $dx_d-Vy_d=1 с их общими решениями:
$(x_c=x_c_*+kV; y_c=y_c_*+kc) и $(x_d=x_d_*+tV; y_d=y_d_*+td).
Очевидно, мы должны выбрать такие частные решения, чтобы после умножения чисел a^n+b^n$ и $c^n+d^n$ соответственно на $x_c^n$ и $x_d^n$ получить равенство:
(11°) $ x_c_*+kV = x_d_*+tV$.
Очевидно также, что для целочисленного решения равенства 11° необходимо равенство $ x_c_* = x_d_*$.
Покажем, как это можно осуществить.

(Окончание следует)

Примечание: из-за поверхностного знания линейных диофантовых уравнений возможны всякие корявости в изложении.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.09.2007, 10:43 


05/08/07
206
В.Сорокин писал(а):
Окончание следует.

К сожалению, Лемму удалось доказать лишь при дополнительном условии, что числа $a_2$ и $b_2$ имеют по одному (максиму по два) основанию, чего явно недостаточно для доказательства ВТФ.
Возможно, что-то может дать использование факта, что каждый простой сомножитель чисел $V, a_2$ и $b_2$ имеют вид $en+1$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.09.2007, 21:45 


05/08/07
206
В.Сорокин писал(а):

(Окончание следует).

Как ни странно, но как будто обнаружился просвет в этом самом Окончании…
Напомню Лемму:
Лемма для взаимопростых $a, b, c, d, V, W$.
Если $V<c$, $V<d$ и число $cdV$ не делится на $2$ и $3$, то число $W$ НЕ делится на $V$, где
$ V=\frac{a^n+b^n}{a+b}$ и $W=\frac{c^n+d^n}{c+d}$.

Для ее доказательства нам понадобится вспомогательная лемма 1:
Существуют такие целые $k$ и $t$, что числа $a+kg$ и $b+tg$, где $g$ нечетно и [добавка] числа в парах $a, g$ и $b, g$ взаимопростые, являются взаимопростыми.
Мне представляется эта лемма верной. Прав ли я?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.09.2007, 01:04 


05/08/07
206
В.Сорокин писал(а):
... Прав ли я?

++++++++
В ожидании ответа на этот вопрос у меня нашлось несколько минут для записи доказательства. Вот:

Доказательство.
Составим два линейных диофантовых уравнения для двух пар взаимопростых чисел $(c, V) и $(d, V)$:
(12°) $cx_c-Vy_c=1 и $dx_d-Vy_d=1 с их общими решениями:
(13°) $(x_c=x_c_*+kV; y_c=y_c_*+kc) и $(x_d=x_d_*+tV; y_d=y_d_*+td).
Если при некоторых значениях $k и $t$ мы имеем равенство $x_c= x_d, то, умножив число $c+d$ (следовательно, и числа $c$ и $d$) на $x_c [а число $c^n+d^n$ на $x_c^n], мы можем ЗАМЕНИТЬ (см. 12°) полученные произведения $cx_c$ и $dx_c$ (заметим, второе равное $dx_d$ ) на $Vy_c+1$ и $Vy_d+1$.
И теперь, как легко видеть, число $W в НОВОМ значении представимо в виде:
(14°) $W=VH+1, которое на $V НЕ ДЕЛИТСЯ.

Пусть теперь равенство $x_c= x_d не достигается ни при каких значениях $k и $t$.
Тогда – согласно лемме 1 [см. также выступление bot'а от Пн Июл 23, 2007 12:15:26] - выберем значения чисел $k и $t$ таковыми, чтобы числа $x_c и $x_d оказались бы ВЗАИМОПРОСТЫМИ. И теперь мы можем составить следующее диофантово уравнение:
(15°) $x_cX-x_dY=1.
И теперь после умножения чисел $c$ и $d$ на $x_cX (при этом произведение $dx_cX опять заменим на равное ему $d(x_dY+1)) они – в НОВОМ их значении - могут быть представлены в виде:
(16°)$c^*=VG+1 ; d^*=VF+d)
И также, как и в первом случае, число $W [=Vs+Z]$ НЕ ДЕЛИТСЯ на $V$ (т.к. $Z$ НЕ ДЕЛИТСЯ на $V$).

Конечно, форму изложения еще надо будет оттачивать и оттачивать. Но есть вероятность, что Лемма в принципе доказана.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.09.2007, 21:41 


05/08/07
206
В.Сорокин писал(а):
...есть вероятность, что Лемма в принципе доказана.


Замена заключительного вывода от формулы 16°.

(16°) $c^*=VG+1 ; d^*=VF+d)
И теперь новое значение числа $W$ число $W^* =Vs+Z$, где $Z=\frac{d^n+1}{d+1}$.
С другой стороны, из «симметричного» диофантового уравнения
(15'°) $x_cX-x_dY=-1 мы имеем:
(16'°)$c^*=VG'-1; d^*=VF'+d)
И в этом случае новое значение числа $W$ число $W^*' =Vs'+Z'$, где $Z'=\frac{d^n-1}{d-1}$.
И мы пришли к противоречию: два ВЗАИМОПРОСТЫХ (относительно нечетных делителей) числа $Z=\frac{d^n+1}{d+1}$ и $Z'=\frac{d^n-1}{d-1}$ делятся на нечетное $V>1$.
============
Некоторое сомнение в доказательстве у меня вызывает пока только переход от формул (15°) к формулам (16°). Нет ли здесь путаницы?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.09.2007, 01:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17989
Москва
В.Сорокин писал(а):
Лемма для взаимопростых $a, b, c, d, V, W$.
Если $V<c$, $V<d$ и число $cdV$ не делится на $2$ и $3$, то число $W$ НЕ делится на $V$, где
$ V=\frac{a^n+b^n}{a+b}$ и $W=\frac{c^n+d^n}{c+d}$.


У Вас тут лишнего условия нет? Если $V$ и $W$ взаимно простые, то, разумеется, $W$ не делится на $V$.

$n=3$, $a=5$, $b=11$, $V=91$, $c=97$, $d=151$, $W=17563=193V$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.09.2007, 09:39 


05/08/07
206
Someone писал(а):
В.Сорокин писал(а):
Лемма для взаимопростых $a, b, c, d, V, W$.
Если $V<c$, $V<d$ и число $cdV$ не делится на $2$ и $3$, то число $W$ НЕ делится на $V$, где
$ V=\frac{a^n+b^n}{a+b}$ и $W=\frac{c^n+d^n}{c+d}$.


У Вас тут лишнего условия нет? Если $V$ и $W$ взаимно простые, то, разумеется, $W$ не делится на $V$.

К сожалению, есть: из перечня $a, b, c, d, V, W$ число $W$ следует исключить.
Однако окончание доказательства - от формулы 14° - мне представляется ошибочным, и неделимость $W$ на $V$ - ЕСЛИ она существует, должна объясняться какими-то дополнительными свойствами чисел $a, b, c, d, V$.
Так что "досуг" продолжается...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.09.2007, 00:32 


05/08/07
206
В.Сорокин писал(а):
...Так что "досуг" продолжается...


Обнаруженная утром ошибка показалась мне неисправимой. Однако к вечеру обнаружилось обстоятельство, позволяющее отсрочить неисправимость. Оно состоит в тождестве: $m(c+d)=[m(a+b)]w. И теперь с учетом этого ВМЕСТЕ с увеличеним числа $Z'=\frac{d^n-1}{d-1}$ в той же степени увеличивается и число $V$. Так что нужно более тщательно проверить расчеты.
Но сначала необходимо уяснить два важных свойства Линейных Диофантовых Уравнений, или ЛДУ.
О первом из них речь шла на стр. 1:
bot писал(а):
При стандартном нахождении $x_0, \ y_0$ они не окажутся взаимно простыми, однако если на то будет желание, его легко удовлетворить выбором t, так как взаимно просты a и b.

Но для уравнения $ax-by=1$ это неверно, поскольку в этом случае правая единица должна делиться на некоторое число, отличное от единицы.
Второе. Введем понятие Минимального Положительного Решения ЛДУ – МПР.
Тогда для МПР $x=x_0, \ y=y_0$ (из общего решения $x=x_0 + bt, \ y=y_0 + at$) уравнения $ax-by=1$ верны соотношения:
$x_0 < b, y_0 < a$ (в противном случае числа $x_0, \ y_0$ можно ученьшить на $bt, \ at$).
В моем анализе Леммы для ВТФ важны именно МИНИМАЛЬНЫЕ решения ЛДУ. И потому везде ниже под ЧАСТНЫМ решением ЛДУ имеется в виду именно МПР $x=x_0, \ y=y_0$ – с наличием у них двух свойств, рассмотренных выше.
Теперь надлежит проверить расчеты формул 14°-16° с учетом этих обстоятельств. И при первой прикидке число $W$ на $V$ все-таки, как будто, НЕ делится.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.09.2007, 21:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17989
Москва
В.Сорокин писал(а):
И при первой прикидке число $W$ на $V$ все-таки, как будто, НЕ делится.


Виктор, так я всё-таки не понял, вот этот пример каким условиям не удовлетворяет?

$n=3$, $a=5$, $b=11$, $V=91$, $c=97$, $d=151$, $W=17563=193V$.

Здесь $W$ на $V$ благополучно делится. Я Вас могу легко сотнями таких примеров обеспечить, причём, с небольшими числами. Только набирать их тут муторно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.09.2007, 23:59 


05/08/07
206
Someone писал(а):
Виктор, так я всё-таки не понял, вот этот пример каким условиям не удовлетворяет?
$n=3$, $a=5$, $b=11$, $V=91$, $c=97$, $d=151$, $W=17563=193V$.
…Только набирать их тут муторно.


Вот гипотетическая Лемма, нужная для доказательства ВТФ:
Если (все числа целые)
- простое $n>2$,
- числа $a, b, c, d, V$, где $ V=\frac{a^n+b^n}{a+b}$, взаимно простые,
- числа $a, b, c, d, W$, где $W=\frac{c^n+d^n}{c+d}$, взаимно простые,
- $V<c$, $V<d$,
[- запасное условие: $1 < \frac{c}{d} < \frac{n+1}{n}$],
[- запасное условие: каждый отличный от $n$ простой делитель $e$ чисел $c, d, V, W$ может быть записан в виде $e=gn+1$],
то число $W$ на $V$ НЕ делится.

Ваш великолепный пример не удовлетворяет только дополнительным («запасным») условиям. Но в любом случае он отсекает множество бесплодных иллюзий. Большое Вам спасибо! (Я считаю Ваши примеры достойными публикации – они впечатляют!)

Теперь можно подумать над дополнительными условями к Лемме.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.09.2007, 02:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17989
Москва
В.Сорокин писал(а):
Вот гипотетическая Лемма, нужная для доказательства ВТФ:
Если (все числа целые)
- простое $n>2$,
- числа $a, b, c, d, V$, где $ V=\frac{a^n+b^n}{a+b}$, взаимно простые,
- числа $a, b, c, d, W$, где $W=\frac{c^n+d^n}{c+d}$, взаимно простые,
- $V<c$, $V<d$,
[- запасное условие: $1 < \frac{c}{d} < \frac{n+1}{n}$],
[- запасное условие: каждый отличный от $n$ простой делитель $e$ чисел $c, d, V, W$ может быть записан в виде $e=gn+1$],
то число $W$ на $V$ НЕ делится.


Ну, пусть будет
$n=3$, $a=7$, $b=37$, $V=1159=19\cdot 61$, $c=1381$, $d=1201$, $W=1690981=19\cdot 61\cdot 1459=1459V$.

Числа $1381$, $1201$ и $1459$ - простые.

В.Сорокин писал(а):
Я считаю Ваши примеры достойными публикации – они впечатляют!


Да ладно, я же их не вручную подбираю, а компьютер железный, справляется он одну-две минуты, мне только некоторое время приходится потратить на программирование, так что совершенно нечего здесь публиковать. И никому, кроме Вас, это не интересно.

В.Сорокин писал(а):
Теперь можно подумать над дополнительными условями к Лемме.


Чем больше дополнительных условий придумаете, тем труднее это будет использовать. И больше вероятность того, что для доказательства Теоремы Ферма этой Леммы не хватит.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.09.2007, 22:53 


05/08/07
206
Someone писал(а):
1. Да ладно, я же их не вручную подбираю, а компьютер железный, справляется он одну-две минуты, мне только некоторое время приходится потратить на программирование, так что совершенно нечего здесь публиковать. И никому, кроме Вас, это не интересно.
2. Чем больше дополнительных условий придумаете, тем труднее это будет использовать. И больше вероятность того, что для доказательства Теоремы Ферма этой Леммы не хватит.

1. Редкий программист возьмется за такую бесплатную работу. А красота - категория всеохватывающая. Вы красиво выполнили работу. Ну а мне вдобавок повезло насладиться красотой результата - независимо от его прагматики.

2. Впрочем, два дополнительных условия к Лемме слишком обнадеживающими не кажутся (и Ваш пример как будто это подтверждает). Но вот еще одно, более интересное:
- число $c+d$ делится на $a^2-b^2$.
Возможно, присутствие сопряженного сомножителя сместит число $W$ в сторону невозможности его деления на $V$.
Может ли Ваш алгоритм справиться с этой задачей (первые два дополнительных условия можно не соблюдать)?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.09.2007, 00:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17989
Москва
В.Сорокин писал(а):
1. Редкий программист возьмется за такую бесплатную работу.


Я ведь это не в машинных кодах программирую. У меня есть система компьютерной математики Mathematica 5.1. На её языке подбор по Вашим условиям программируется за 10-20 минут, которые уходят в основном на набор текста, ещё какое-то время уходит на отладку. Так что я пока не перегружаюсь.

В.Сорокин писал(а):
2. Впрочем, два дополнительных условия к Лемме слишком обнадеживающими не кажутся (и Ваш пример как будто это подтверждает). Но вот еще одно, более интересное:
- число $c+d$ делится на $a^2-b^2$.
Возможно, присутствие сопряженного сомножителя сместит число $W$ в сторону невозможности его деления на $V$.
Может ли Ваш алгоритм справиться с этой задачей (первые два дополнительных условия можно не соблюдать)?


Ну, пусть будет
$a=7$, $b=3$, $a^2-b^2=40$, $V=37$, $c=103$, $d=97$, $c+d=200=5(a^2-b^2)$, $W=10027=271V$.

А Вы уверены, что Вы сможете доказать, что для решений уравнения $a^n+b^n=c^n$ придуманные Вами дополнительные условия будут выполняться? И не окажутся ли они несовместными сами по себе, независимо от теоремы Ферма? Между прочим, я нашёл всего $8$ решений, удовлетворяющих всем трём Вашим дополнительным условиям (перечисляются четвёрки $(a,b,c,d)$):

1) $(3,1,67,61)$,
2) $(3,1,79,73)$,
3) $(3,1,97,79)$,
4) $(3,2,127,103)$,
5) $(4,3,73,67)$,
6) $(5,3,67,61)$,
7) $(7,3,103,97)$,
8) $(17,15,367,337)$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 466 ]  На страницу Пред.  1 ... 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ... 32  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group