неравноточные измерения

[Александрович]

_hum_ в сообщении #768373 писал(а):

Вот только строгого мат. обоснования пока не видно (книгу я в нете в свободном доступе не нашел).

Какую книгу? Доказательство этого настолько очевидно, что даже нигде и не приводилось.

[_hum_]

Александрович в сообщении #768377 писал(а):

_hum_ в сообщении #768373 писал(а):

Вот только строгого мат. обоснования пока не видно (книгу я в нете в свободном доступе не нашел).

Какую книгу?

вот эту

Александрович в сообщении #767971 писал(а):

Д.Д. Грибанов. Основы метрологии, сертификации и стандартизации.

Цитата:

Доказательство этого настолько очевидно, что даже нигде и не приводилось.

Я вел речь про математическое доказательство оптимальности этой оценки ( в каком-то естественном смысле), а не про соображения наподобие "чем больше зашумлено значение, тем меньше вес ему нужно придавать".

[--mS--]

_hum_ в сообщении #768373 писал(а):

Да, этот вариант более похож на "разумный" :)

Только тем, что он несмещённый. Но какой смысл обсуждать оценку, которая даже не состоятельна? Во всяком случае никаких причин для её состоятельности кроме крайних ситуаций одинаковых дисперсий не вижу.

[Александрович]

_hum_ в сообщении #768380 писал(а):

Александрович в сообщении #768377 писал(а):

_hum_ в сообщении #768373 писал(а):

Вот только строгого мат. обоснования пока не видно (книгу я в нете в свободном доступе не нашел).

Какую книгу?

вот эту

Александрович в сообщении #767971 писал(а):

Д.Д. Грибанов. Основы метрологии, сертификации и стандартизации.

А там только формула, на которую я сослался.

--mS-- в сообщении #768383 писал(а):

Только тем, что он несмещённый. Но какой смысл обсуждать оценку, которая даже не состоятельна?

А мы и не обсуждаем. Была поставлена задача, была предложена одна известная оценка. У Вас есть иной вариант?

--mS-- в сообщении #768363 писал(а):

Что написано в "посте номер 2"? Вот это:

$$a^*=\dfrac{1}{n}\sum\dfrac{X_i}{\sigma_i^2}\,?$$

В посте 2 сказано о средневзвешенном значении. В каком учебном заведении средневзвешенное значение принято находить по приведённой Вами формуле?

[_hum_]

--mS-- в сообщении #768383 писал(а):

_hum_ в сообщении #768373 писал(а):

Да, этот вариант более похож на "разумный" :)

Только тем, что он несмещённый. Но какой смысл обсуждать оценку, которая даже не состоятельна? Во всяком случае никаких причин для её состоятельности кроме крайних ситуаций одинаковых дисперсий не вижу.

Если $\sup_i \sigma_i < +\infty$, то по закону больших чисел для схемы случаев вроде бы состоятельность все же получается...

Александрович в сообщении #768384 писал(а):

А там только формула, на которую я сослался.

Кхм...Так просто формула не дает право говорить о корректности ее применения. Я тоже могу понапридумывать правдоподобных, например, вместо коэффициентов $\alpha_i = d_i/\sum_{i}d_i$ использовать $\alpha_i = \sigma_i/\sum_{i}\sigma_i$ и проч.

[Александрович]

_hum_ в сообщении #768411 писал(а):

Александрович в сообщении #768384 писал(а):

А там только формула, на которую я сослался.

Кхм...Так просто формула не дает право говорить о корректности ее применения. Я тоже могу понапридумывать правдоподобных, например, вместо коэффициентов $\alpha_i = d_i/\sum_{i}d_i$ использовать $\alpha_i = \sigma_i/\sum_{i}\sigma_i$ и проч.

Если сможете, то придумывайте, но предложенная оценка эффективная и это элементарно доказывается.

[_hum_]

Александрович в сообщении #768420 писал(а):

Если сможете, то придумывайте, но предложенная оценка эффективная и это элементарно доказывается.

Хотелось бы увидеть это доказательство (если под эффективной понимается оценка, имеющая минимальную дисперсию в классе всех несмещенных).

[Александрович]

Эта формула и выведена из условия минимума дисперсии.

[_hum_]

Александрович в сообщении #768430 писал(а):

Эта формула и выведена из условия минимума дисперсии.

Вот.. С этого и надо было начинать. А где можно данный вывод глянуть?

[Александрович]

Я лет 20 тому назад сам себя это доказал, поэтому не думаю что для вас это будет слишком сложно.

[--mS--]

Александрович в сообщении #768384 писал(а):

А мы и не обсуждаем. Была поставлена задача, была предложена одна известная оценка. У Вас есть иной вариант?

Разумеется, очевидный. Выборочное среднее - и несмещённая, и состоятельная.

_hum_ в сообщении #768411 писал(а):

Если $\sup_i \sigma_i < +\infty$, то по закону больших чисел для схемы случаев вроде бы состоятельность все же получается...

Незнакомые термины. Вы имеете в виду "по ЗБЧ в схеме серий"? Согласна, но ограниченность последовательности сигм - слишком жёстко. Например, при $\sigma^2_i=i$ состоятельность тоже есть. В отличие от $i^2$.

Да какой смысл обсуждать эффективность какой-либо оценки, когда достаточных статистик короче, чем $n$-мерных, просто нет :) Если же искать в классе линейных комбинаций элементов выборки, то коэффициенты у иксов в оценке, дающей минимум дисперсии, от неизвестного $\sigma_0$ обязаны зависеть.

[_hum_]

--mS-- в сообщении #768437 писал(а):

Незнакомые термины. Вы имеете в виду "по ЗБЧ в схеме серий"?

Да. Это я оговорился.

--mS-- в сообщении #768437 писал(а):

но ограниченность последовательности сигм - слишком жёстко.

Если исходить из содержательной постановки задачи, то может быть и не очень - например, когда эти сигмы - погрешности измерения разных приборов (или одного прибора, но в разных условях, например, температурных и т.п.)...

--mS-- в сообщении #768437 писал(а):

Да какой смысл обсуждать эффективность какой-либо оценки, когда достаточных статистик короче, чем $n$-мерных, просто нет :)

А это откуда вытекает? (И вообще, эти понятия "достаточная статистика", "эффективная оценка" и т.п. можно с тем же смыслом переносить на случаи неоднородных выборок, как у нас?)

Александрович в сообщении #768435 писал(а):

Я лет 20 тому назад сам себя это доказал, поэтому не думаю что для вас это будет слишком сложно.

Так не честно. Сказали, что это элементарно, а сами даже ход доказательства не приводите :(

[--mS--]

Следует откуда? Из факторизационной теоремы Неймана - Фишера, например :)
А никакой разницы ни для достаточных статистик, ни для эффективных оценок нет в однородности или неоднородности выборки.

Да бросьте, есть ли смысл добиваться от имярека доказательства того, чего нет. Возьмите выборку объёма 2 с $\sigma_0^2=1$, $\sigma^2_1=1/9$, $\sigma_2^2=4$ и проверьте, например, что у оценки

$$\dfrac{\frac{X_1}{\sigma_1}+\frac{X_2}{\sigma_2}}{\frac{1}{\sigma_1}+\frac{1}{\sigma_2}}=\dfrac67X_1+\dfrac{X_2}{7}$$

дисперсия и то меньше, чем у вышеобсуждаемой $\dfrac{36}{37}X_1+\dfrac{X_2}{37}$. А у оценки $\dfrac{9}{11}X_1+\dfrac{2}{11}X_2$ дисперсия самая маленькая.

[_hum_]

--mS-- в сообщении #768455 писал(а):

Следует откуда? Из факторизационной теоремы Неймана - Фишера, например :)

А как из нее можно увидеть, что функцию правдоподобия относительно параметров $a, d_0$ нельзя представить в нужном факторизационном виде со статистикой размерности меньше $n$?

--mS-- в сообщении #768455 писал(а):

Да бросьте, есть ли смысл добиваться от имярека доказательства того, чего нет.

Просто, возможно, он что-то не допонял или подзабыл. Вот и интересно было бы увидеть "исходники".

[--mS--]

_hum_ в сообщении #768461 писал(а):

А как из нее можно увидеть, что функцию правдоподобия относительно параметров $a, d_0$ нельзя представить в нужном факторизационном виде со статистикой размерности меньше $n$?

Напрямую. Например, взять отношение при двух выборках и убедиться, что оно постоянно тогда и т.т., когда $X_{i,1}^2=X_{i,2}^2$ при всех $i$, и никогда больше.

(Оффтоп)

Вообще, вопросы интересные. А для распределения Коши, например, Вам такой факт известен? Доказывать его умеете? Так вот, для этого распределения все ровно так же.