Однородность и изотропность в физике и геометрии

[Утундрий]

Ну, кубическая какая-нибудь симметрия, предположим. Формально оно анизотропное, но мы-то энтого не наблюдаем, потому как внутре.

[diletto]

alcoholist в сообщении #759957 писал(а):

читал-читал, но так и не понял, что имеется ввиду под "глобальной (ан)изотропностью"(((
и при чем тут однородность

Заголовок темы поспешил: до однородности пока ручонки не дошли... Могу только поделиться соображением (которое казалось мне глубоким, а здесь наверняка выяснится его тривиальность), что на сфере из однородности вытекает изотропность, а вот на 4-сфере - уже нет. Как следствие тех самых причёсываний...

"Глобальная анизотропность" - это была попытка ввести термин для некоторого топологического свойства, выражающего неравноправие различных направлений в пространстве и выводимого из знаний об этом пространстве в целом.
Скажем, локальная анизотропия могла бы означать, что на плоскости есть маленькая радиально несимметричная "горка". Плоскость в целом остается изотропной - "глобально изотропной". В отличие от, например, поверхности тора.
Меня в основном заинтриговала попытка построить двумерное поле точечного заряда на поверхности тора. Я не могу себе представить, как это сделать.

[Munin]

diletto в сообщении #759763 писал(а):

линии поля одиночного электрического заряда тоже рисуем по геодезическим

В общем, сами линии поля играют только очень незначительную, вспомогательную роль. Если они превратятся в "тарелку спагетти" - то лучше их не рисовать (или рисовать не до конца, например). Плясать надо от скалярного поля потенциала, векторного поля напряжённости и тому подобных вещей (например, можно рассматривать не векторные поля, а дифференциальные формы: $dE=0$ в электростатическом случае, $d(\varepsilon\mathbin{*}E)=\rho,$ $E=-d\varphi$ в топологически тривиальном случае).

casualvisitor в сообщении #759886 писал(а):

Потенциальные поля на торе, конечно, есть - задаем произвольную гладкую функцию («потенциал») и рассматриваем поле ее градиента ... Непотенциальные поля на торе тоже есть

Теория дифференциальных форм позволяет понять, что все непотенциальные поля на торе - суть потенциальное слагаемое, плюс два фиксированных слагаемых, взятых с произвольными коэффициентами. Одно фиксированное слагаемое имеет ненулевую циркуляцию вокруг "одной дырки тора", а другое - вокруг "другой дырки" (скажем, "по параллелям" и "по меридианам") (можно выбрать и другой базис). Это выражается такими словами:
- всякая точная форма (потенциальное поле) есть замкнутая (с нулевым ротором);
- фактор группы замкнутых форм по группе точных форм есть группа когомологий [де Рама] (векторное пространство, натянутое на эти два фиксированных слагаемых, в данном случае);
- группа когомологий определяется однозначно топологией тора, и даже не зависит в некоторой степени от его размерности: когомологии 1-форм (1-мерные когомологии) одинаковы и у тора, и у плоскости с двумя выколотыми точками, и у пространства с двумя выколотыми прямыми, и т. п.
Если я нигде не запутался.

-- 03.09.2013 00:08:57 --

diletto в сообщении #759986 писал(а):

Меня в основном заинтриговала попытка построить двумерное поле точечного заряда на поверхности тора. Я не могу себе представить, как это сделать.

Ну, точно так же, как и на сфере, нужен где-то другой заряд. Суммарный заряд должен быть нулевым.

[alcoholist]

diletto в сообщении #759986 писал(а):

что на сфере из однородности вытекает изотропность, а вот на 4-сфере - уже нет

однородность и изотропность чего?

-- Вт сен 03, 2013 15:07:55 --

diletto в сообщении #759986 писал(а):

"Глобальная анизотропность" - это была попытка ввести термин для некоторого топологического свойства, выражающего неравноправие различных направлений в пространстве

в топологическом пространстве нет никаких направлений

[Munin]

alcoholist в сообщении #760145 писал(а):

однородность и изотропность чего?

Для начала, как я понимаю, самой сферы.

alcoholist в сообщении #760145 писал(а):

в топологическом пространстве нет никаких направлений

На эту тему уже была оговорка: речь о римановых многообразиях.

[diletto]

alcoholist в сообщении #760145 писал(а):

diletto в сообщении #759986 писал(а):

что на сфере из однородности вытекает изотропность, а вот на 4-сфере - уже нет

однородность и изотропность чего?

Боюсь, комментарий будет многословным...

Я не знаю логически идеального ответа. Принято говорить, что пространства.

А вы можете сформулировать, изотропность чего? изучается/обсуждается/упоминается где бы то ни было? В любом контексте на ваш выбор? Казалось бы, проще всего ответить - "физической среды". Но ведь "изотропность" есть краткое обозначение того факта, что "некий процесс протекает одинаково вне зависимости от поворота системы координат". Если говорить о среде, то разные процессы ведут себя по-разному. То есть, свойство изотропности взаимно: "изотропность процесса А в среде Б" звучит не хуже и даже короче, чем "изотропность среды Б относительно процесса А".

Если же мы хотим отвязаться от сред, то, быть может, самая честная формулировка для физика - "изотропное протекание любых процессов в данном пространстве".

Цитата:

diletto в сообщении #759986 писал(а):

"Глобальная анизотропность" - это была попытка ввести термин для некоторого топологического свойства, выражающего неравноправие различных направлений в пространстве

в топологическом пространстве нет никаких направлений

Пространство метрическое. Это же не мешает ему иметь топологические свойства.

[casualvisitor]

diletto в сообщении #760301 писал(а):

"изотропность" есть краткое обозначение того факта, что "некий процесс протекает одинаково вне зависимости от поворота системы координат"

Наконец, слово «процесс» сказано! Этим абстрактные математические идеи, наконец, могут быть связаны с физикой. Описывать физический процесс Вы будете при помощи, скажем, лагранжиана (задание которого будет с математической точки зрения «дополнительной структурой», о которой речь шла выше). «Изотропность процесса», конечно, изобразится инвариантностью лагранжиана ... И дальше все покатится по знакомой дорожке ...

Поэтому размышления о «зарядах» в «тороидальной вселенной» начнут относиться к физике только тогда, когда Вы опишете «процесс», который хотите изучать. ... Или все присутствующие, кроме меня, и так понимают как взаимодействуют эти «заряды» в этой «вселенной»? ...

diletto в сообщении #760301 писал(а):

Если же мы хотим отвязаться от сред, то, быть может, самая честная формулировка для физика - "изотропное протекание любых процессов в данном пространстве".

Эта формулировка получит право существования только после того, как Вы изучите симметрии всех фундаментальных «процессов» в Вашей «вселенной».

diletto в сообщении #760301 писал(а):

А вы можете сформулировать, изотропность чего? изучается/обсуждается/упоминается где бы то ни было? В любом контексте на ваш выбор?

1. В любом контексте изучается «изотропность» (правильнее сказать «инвариантность») математической модели (напр., лагранжиана).
2. Не изучает никто «изотропность пространства». Изучают «процессы», физические взаимодействия. И при этом обнаруживают их свойства, выражаемые словами «пространство изотропно». Только записывая мат. модель «процессов», мы придаем точный смысл интуитивным (т.е. из опыта происходящим) представлениям об изотропности пространства. Правильность и «интуитивных представлений», и мат. моделей проверяется только наблюдениями и экспериментами.

[Munin]

diletto в сообщении #760301 писал(а):

А вы можете сформулировать, изотропность чего? изучается/обсуждается/упоминается где бы то ни было?

Всё дело в том, что в разных контекстах - обсуждается изотропоность разных вещей. Я могу привести несколько примеров:
- в СТО обсуждается изотропность законов физики. Обратите внимание, не конкретных явлений и процессов, а именно законов, по которым они протекают. Процесс может быть анизотропным, например, струя газа. Но законы этой струи (здесь - законы газодинамики) не изменятся от того, что эта струя будет повёрнута в пространстве под другим углом.
- в физике твёрдого тела - тоже изотропность законов физики. Здесь она может уже и отсутствовать. Например, столкновение электрона с фононом - будет зависеть от того, в какую сторону повёрнуты начальные скорости электрона и фонона - потому что при этом меняется их расположение по отношению к осям кристаллической решётки. Но иногда изотропность присутствует.
- в космологии обсуждается однородность и изотропность Вселенной. Здесь речь о том, что конкретное вещество Вселенной, где бы оно ни было расположено, вызывает вокруг себя искривление пространства-времени. И поэтому, важен не только общий закон, но и конкретное явление, протекающее по этому закону. Считается, что Вселенная заполнена веществом равномерно и изотропно, и именно поэтому само пространство-время Вселенной - тоже однородно и изотропно, уже в смысле геометрической формы. То есть, оно образует риманово многообразие, форма которого симметрична по отношению к сдвигам и поворотам определённого вида. (Они не являются сдвигами и поворотами в смысле СТО, подчёркиваю.)

casualvisitor в сообщении #760318 писал(а):

Поэтому размышления о «зарядах» в «тороидальной вселенной» начнут относиться к физике только тогда, когда Вы опишете «процесс», который хотите изучать. ... Или все присутствующие, кроме меня, и так понимают как взаимодействуют эти «заряды» в этой «вселенной»? ...

Ну, не знаю, как насчёт всех, но насколько я понимаю, в теорфизике обычно рассматривается стандартная электростатика (если не оговариваются какие-то электродинамические явления, для чего уже надо говорить о пространстве-времени, а не только о пространстве; или если не оговаривается квантование):

$$\operatorname{div}\mathbf{E}=4\pi\rho\qquad\operatorname{rot}\mathbf{E}=0$$

откуда в топологически тривиальном случае можно ввести

$$\mathbf{E}=-\operatorname{grad}\varphi$$

Она же совпадает с гравитацией Ньютона. Удобная такая toy theory. От неё можно перейти к "электростатике Янга-Миллса", к электродинамике, к квантовой теории - чего султан пожелает.

В этом смысле я и понимал произносимые слова про заряды.

Точный смысл $\operatorname{div},\operatorname{rot},\operatorname{grad}$ на многообразии с кривизной задаётся через смысл соответствующих операций с дифференциальными формами (см. выше post759998.html#p759998 ). Если вместо вектора $\mathbf{E}$ оперировать 1-формой $E,$ то можно даже не требовать римановой метрики на многообразии (хотя звёздочка Ходжа всё равно требует формы объёма). На языке тензорного исчисления а-ля Ландау-Лифшиц, можно рассматривать $E_i$ как "контравариантный вектор" (ковектор), и избавиться от использования метрического тензора $\gamma_{ij}$ в формулах, хотя всё равно придётся использовать тензор Леви-Чивиты $\varepsilon_{ijk}.$

casualvisitor в сообщении #760318 писал(а):

2. Не изучает никто «изотропность пространства».

Это странное заявление. Будто пространства, симметричные относительно вращений вокруг точки, не существуют или неинтересны.

[casualvisitor]

Munin в сообщении #760545 писал(а):

casualvisitor в сообщении #760318 писал(а):

2. Не изучает никто «изотропность пространства».

Это странное заявление.

... Если бы Вы сократили мое "заявление" более, оно бы выглядело еще более странно ... . Поэтому, извините, я его повторю:

casualvisitor в сообщении #760318 писал(а):

Не изучает никто «изотропность пространства». Изучают «процессы», физические взаимодействия. И при этом обнаруживают их свойства, выражаемые словами «пространство изотропно».

Так вот, мне кажется, что Ваши "заявления"

Munin в сообщении #760545 писал(а):

- в СТО обсуждается изотропность законов физики. ...
- в физике твёрдого тела - тоже изотропность законов физики. ...
- в космологии обсуждается однородность и изотропность Вселенной. Здесь ... важен не только общий закон, но и конкретное явление, протекающее по этому закону. Считается, что Вселенная заполнена веществом равномерно и изотропно, и именно поэтому само пространство-время Вселенной - тоже однородно и изотропно, уже в смысле геометрической формы.

только подтверждают мое "заявление". Вы так не находите?

Munin в сообщении #760545 писал(а):

... в теорфизике обычно рассматривается стандартная электростатика (если не оговариваются какие-то электродинамические явления, для чего уже надо говорить о пространстве-времени, а не только о пространстве; или если не оговаривается квантование):

$$\operatorname{div}\mathbf{E}=4\pi\rho\qquad\operatorname{rot}\mathbf{E}=0$$

откуда в топологически тривиальном случае можно ввести

$$\mathbf{E}=-\operatorname{grad}\varphi$$

Она же совпадает с гравитацией Ньютона. Удобная такая toy theory. От неё можно перейти к "электростатике Янга-Миллса", к электродинамике, к квантовой теории - чего султан пожелает.

В этом смысле я и понимал произносимые слова про заряды.

Вооооот! Именно об этом и речь! Вы поступаете правильно - начинаете не с геометрии, а с физики, не с "силовых линий", почему-то проведенных по геодезическим, а с МОДЕЛИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

$$\operatorname{div}\mathbf{E}=4\pi\rho\qquad\operatorname{rot}\mathbf{E}=0$$

И если при уточнении или исследовании Вашей модели возникнут геометрические или топологические вопросы, то они наверняка будут иными, чем вопросы diletto, во всяком случае, более ясными и более конкретными. О "глобальной изотропности топологических пространств" Вам вряд ли придется задумываться.

А вот какова модель diletto:

diletto в сообщении #759135 писал(а):

Если представить обычную сферическую поверхность как двумерный мир, в котором существует точечный "заряд", и "электростатическое поле" этого заряда описать силовыми линиями, идущими по сфере вдоль геодезических, то пересечение силовых линий в диаметрально противоположной точке сферы будет означать, что в этой противоложной точке с необходимостью наличествует "заряд" противоположного знака.

diletto в сообщении #759763 писал(а):

Мы привыкли (классически) считать, что свободнолетящее тело в пустоте движется по геодезической, линии поля одиночного электрического заряда тоже рисуем по геодезическим...

Пожелает султан-физик перейти от модели $\operatorname{div}\mathbf{E}=4\pi\rho$, \operatorname{rot}\mathbf{E}=0$ к модели «силовые линии поля направлены по геодезическим»?

[Munin]

casualvisitor в сообщении #760662 писал(а):

Так вот, мне кажется, что Ваши "заявления"... только подтверждают мое "заявление". Вы так не находите?

Разумеется, нет. Во-первых, я привёл не исчерпывающий список. Во-вторых, для решений ОТО в вакууме, рассматривается именно изотропность пространства самого по себе. Например, именно так получаются решения Де Ситтера и Шварцшильда.

casualvisitor в сообщении #760662 писал(а):

Вооооот! Именно об этом и речь! Вы поступаете правильно - начинаете не с геометрии, а с физики

Я - ни с чего не начинаю. Я всего лишь перевожу для вас слова, которые вы не поняли. Разумеется, слово "заряд" подразумевает физику, и что?

casualvisitor в сообщении #760662 писал(а):

И если при уточнении или исследовании Вашей модели возникнут геометрические или топологические вопросы, то они наверняка будут иными, чем вопросы diletto, во всяком случае, более ясными и более конкретными.

Я не diletto. Вопросы от него, а не от меня.

casualvisitor в сообщении #760662 писал(а):

Пожелает султан-физик перейти от модели $\operatorname{div}\mathbf{E}=4\pi\rho$, $\operatorname{rot}\mathbf{E}=0$ к модели «силовые линии поля направлены по геодезическим»?

Открываем ЛЛ-2 § 90 Задачу, и читаем:

Цитата:

Можно сказать, что в отношении своего воздействия на электромагнитное поле статическое гравитационное поле играет роль среды с электрической и магнитной проницаемостями $\varepsilon=\mu=1/\sqrt{h}.$

Отсюда видно (из $h=g_{00}\nsim\gamma_{ij}$), что силовые линии поля направлены не по геодезическим трёхмерного пространства, а по "своим геодезическим"; известный физический метод проверки геометрии пространства с помощью лучей света даст некие третьи "световые геодезические" (в силу того, что законы преломления света и силовых линий поля различны).

[casualvisitor]

Munin в сообщении #760696 писал(а):

для решений ОТО в вакууме, рассматривается именно изотропность пространства самого по себе. Например, именно так получаются решения Де Ситтера и Шварцшильда

Во-первых, уравнения Эйнштейна никто бы никогда не решал, и даже не записывал, если бы эти уравнения не моделировали тяготение.
Во-вторых, разве наличие симметрии в задаче значит, что мы «изучаем изотропность пространства»?

[Munin]

casualvisitor в сообщении #761658 писал(а):

Во-первых, уравнения Эйнштейна никто бы никогда не решал, и даже не записывал, если бы эти уравнения не моделировали тяготение.

Ну и что? С того момента, как они его моделируют, их решать стало интересной задачей самой по себе.

(Кстати, их самих по себе, возможно, тоже бы записали и стали решать - до потока Риччи-то как-то математики додумались, например, хотя он к физике не имеет ни малейшего отношения.)

casualvisitor в сообщении #761658 писал(а):

Во-вторых, разве наличие симметрии в задаче значит, что мы «изучаем изотропность пространства»?

Ну, на языке, принятом в физике и космологии, значит. Может, для математика это звучит как что-то нецензурное, не знаю.

[casualvisitor]

Munin в сообщении #761659 писал(а):

... до потока Риччи-то как-то математики додумались, например, хотя он к физике не имеет ни малейшего отношения.

Повторю Ваши слова: "... к физике не имеет ни малейшего отношения".

Munin в сообщении #761659 писал(а):

casualvisitor в сообщении #761658 писал(а):

Во-вторых, разве наличие симметрии в задаче значит, что мы «изучаем изотропность пространства»?

Ну, на языке, принятом в физике и космологии, значит. Может, для математика это звучит как что-то нецензурное, не знаю.

Если я правильно понял, то у Вас получается, что из того, что Шварцшильд рассмотривал сферически-симметричное тело, следует, что он «изучал изотропность пространства». ...

[Munin]

Я не понимаю, в чём ваше возражение-то состоит?

[casualvisitor]

(Munin)

Munin в сообщении #761771 писал(а):

Я не понимаю, в чём ваше возражение-то состоит?

Помилуйте, какое "мое возражение"? Это же Вы возразили мне, назвав мое (почти банальное) утверждение "странным заявлением" ...
О малосодержательности последовавшего диалога сожалею.