Квантовые осцилляторы Клейна-Гордона и Дирака

[Lvov]

Munin в сообщении #759418 писал(а):

Нельзя. Он квантован. Но не находится в собственном состоянии наблюдаемой "число фотонов".

VladimirKalitvianski в сообщении #759422 писал(а):

Совершенно верно! Полностью согласен. Я так и написал, что это точное решение КЭД (см. тот же параграф у Ахиезера-Берестецкого).

Господа, спасибо за разъяснения. Но нельзя ли Вас еще немного помучить. Мой вопрос таков: если в волновом пакете антенны число фотонов неопределенное, то какой показатель в этом случае квантован?
Извиняюсь, что не попытался найти ответ у Ахиезера-Берестецкого "Квантовая электродинамика" за 1981 год (§ 2.4), но понимать книгу, читая ее с середины трудновато.
С уважением О.Львов

[VladimirKalitvianski]

Lvov в сообщении #759495 писал(а):

Мой вопрос таков: если в волновом пакете антенны число фотонов неопределенное, то какой показатель в этом случае квантован?

Энергия каждого фотона "квантована" - это $\hbar\omega_{\mathbf{k}}$. Если антенна очень далеко, то поток энергии от нее будет представлен редкими фотонами, а не непрерывным классическим полем.

[npduel]

VladimirKalitvianski в сообщении #759498 писал(а):

Lvov в сообщении #759495 писал(а):

Мой вопрос таков: если в волновом пакете антенны число фотонов неопределенное, то какой показатель в этом случае квантован?

Энергия каждого фотона "квантована" - это $\hbar\omega_{\mathbf{k}}$. Если антенна очень далеко, то поток энергии от нее будет представлен редкими фотонами, а не непрерывным классическим полем.

Вопрос ещё: что он считает волновым пакетом. Если это ограниченный по времени одиночный импульс свободно распространяющейся электромагнитной волны, то в нём с разными вероятностями будут фотоны с любыми квантованными энергиями от нуля до бесконечности.

[VladimirKalitvianski]

npduel в сообщении #759531 писал(а):

Вопрос ещё: что он считает волновым пакетом. Если это ограниченный по времени одиночный импульс свободно распространяющейся электромагнитной волны, то в нём с разными вероятностями будут фотоны с любыми квантованными энергиями от нуля до бесконечности.

Да, это так для классического излучающего тока ибо он не учитывает потерянную энергию (считается, что все потери компенсируются внешним источником энергии, двигающим заряды в токе).

Если ток квантовый (нет внешнего источника энергии, вся энергия конечна), то закон сохранения обрежет высшие частоты в излученном спектре.

[npduel]

VladimirKalitvianski в сообщении #759534 писал(а):

Если ток квантовый (нет внешнего источника энергии, вся энергия конечна), то закон сохранения обрежет высшие частоты в излученном спектре.

Неважно, каким источником сформирован поток фотонов, если из него вырезать прямоугольный имульс, то спектр частот фотонов станет непрерывным и бесконечным.

[VladimirKalitvianski]

npduel в сообщении #759542 писал(а):

VladimirKalitvianski в сообщении #759534 писал(а):

Если ток квантовый (нет внешнего источника энергии, вся энергия конечна), то закон сохранения обрежет высшие частоты в излученном спектре.

Неважно, каким источником сформирован поток фотонов, если из него вырезать прямоугольный имульс, то спектр частот фотонов станет непрерывным и бесконечным.

Но при вырезании придется совершить работу, она-то и даст бесконечную энергию фотонов. И потом, вероятность найти такой фотон очень и очень мала. Может оказаться, что за разумное время мы его не дождемся.

[Munin]

Lvov в сообщении #759495 писал(а):

Мой вопрос таков: если в волновом пакете антенны число фотонов неопределенное, то какой показатель в этом случае квантован?

Боюсь, вы недопонимаете смысл слова "квантован".

Возьмём, например, непрерывную функцию на промежутке. Разложим её в ряд Фурье. Функция произвольная, но ряд частот - дискретен. Какую бы функцию ни брать. Просто в этой функции будут присутствовать вклады (слагаемые) с разными дискретными частотами, а не только одна частота. Точно так же, и в волновом пакете антенны, присутствуют вклады с разными числами фотонов, а не только одно (определённое) число фотонов.

А квантование проявляется в другом - в том, что волновой пакет от антенны (и вообще любое состояние электромагнитного поля) - вообще не функция. Это более сложный математический объект. Вот всего лишь краешек его сложности:

$$\mathbf{E}(t)=2\mathscr{E}\hat{\varepsilon}(X_1\cos\nu t+X_2\sin\nu t),$$

где $\mathscr{E}$ - нормировка (амплитуда поля одного фотона), а $\hat{\varepsilon}$ - вектор поляризации.

Lvov в сообщении #759495 писал(а):

понимать книгу, читая ее с середины трудновато.

А и не надо читать её с середины. Читайте её с начала.

[npduel]

VladimirKalitvianski в сообщении #759599 писал(а):

Но при вырезании придется совершить работу, она-то и даст бесконечную энергию фотонов. И потом, вероятность найти такой фотон очень и очень мала. Может оказаться, что за разумное время мы его не дождемся.

Дело не в теоретической возможности бесконечной энергии фотона и не в работе затвора, формирующего импульс. Я писал об особенности модели фотонов. Эта особенность не раз эксериментально иллюстрировалась. Берём поток когерентных фотонов с практически одинаковыми частотами и пропускаем его через затвор, формирующим из потока короткий прямоугольный импульс. И из КЭД, и из экспериментов известно, что на выходе затвора будут наблюдаться фотоны с любыми частотами. Вероятность появления той или иной частоты будет определяться Фурье-спектром импульса. Откуда же взялась энергия фотонов, во много раз превышающая энергию исходных фотонов?
Дело здесь в неопределённости количества фотонов. Распределение числа фотонов в единичном промежутке времени на выходе лазера подчиняется закону Пуассона. В соответствии с этим законом, даже в очень коротком импульсе, может оказаться весьма большое количество фотонов, поэтому закон сохранения энергии затвор не нарушает, даже если не учитывать энергию, затрачиваемую на его работу.

[Munin]

npduel в сообщении #759618 писал(а):

Откуда же взялась энергия фотонов, во много раз превышающая энергию исходных фотонов?

А чем не годится ответ VladimirKalitvianski о работе, совершаемой затвором? Вы отвечаете на вопрос "действительно ли там есть такие фотоны", а не "откуда они взялись".

npduel в сообщении #759618 писал(а):

В соответствии с этим законом, даже в очень коротком импульсе, может оказаться весьма большое количество фотонов

Но откуда там возьмётся хоть один фотон с энергией, превышающей суммарную энергию импульса?

[VladimirKalitvianski]

npduel в сообщении #759618 писал(а):

Дело не в теоретической возможности бесконечной энергии фотона и не в работе затвора, формирующего импульс. Я писал об особенности модели фотонов. Эта особенность не раз эксериментально иллюстрировалась. Берём поток когерентных фотонов с практически одинаковыми частотами и пропускаем его через затвор, формирующим из потока короткий прямоугольный импульс. И из КЭД, и из экспериментов известно, что на выходе затвора будут наблюдаться фотоны с любыми частотами. Вероятность появления той или иной частоты будет определяться Фурье-спектром импульса. Откуда же взялась энергия фотонов, во много раз превышающая энергию исходных фотонов?

Когда Вы думаете только о потоке фотонов, то в самом деле, какое имеет отношение затвор к энергии фотонов в этом потоке? Обрезание потока не должно же изменить энергию каждого фотона?

Но такое рассуждение не правильное. Посмотрите на электромагнитное поле, как на результат действия всех зарядов источника, а в качестве источника рассмотрите и материал затвора. И не забудем, что в источнике заряды и поле сильно взаимодействуют. Материал затвора должен очень быстро двигаться, чтобы отсечь именно прямоугольный импульс. Ну и вот, Вы видите, что материал источника должен иметь колоссальную энергию, чтобы "излучить" (сформировать) прямоугольный импульс. Вот оттуда и энергия.

[Munin]

Не обязательно настаивать на строгой прямоугольности, но в любом случае, затвор испортит монохроматичность, и значит, изменит состав фотонов в поле.

[Lvov]

VladimirKalitvianski в сообщении #759498 писал(а):

Lvov в сообщении #759495
писал(а):

Цитата:

Мой вопрос таков: если в волновом пакете антенны число фотонов неопределенное, то какой показатель в этом случае квантован?

Энергия каждого фотона "квантована" - это $\hbar\omega_{\mathbf{k}}$. Если антенна очень далеко, то поток энергии от нее будет представлен редкими фотонами, а не непрерывным классическим полем.

Г.VladimirKalitvianski, можно ли Ваши слова понимать так:
Пусть антенной или лазером периодически испускаются одинаковые волновые пакеты (радио- или световые импульсы) ограниченной длительности. Тогда в каждом таком импульсе мы будем регистрировать разное число фотонов с разными энергиями, по с одинаковой суммарной энергией.

Munin в сообщении #759617 писал(а):

Боюсь, вы недопонимаете смысл слова "квантован".
Возьмём, например, непрерывную функцию на промежутке. Разложим её в ряд Фурье. Функция произвольная, но ряд частот - дискретен. Какую бы функцию ни брать. Просто в этой функции будут присутствовать вклады (слагаемые) с разными дискретными частотами, а не только одна частота. Точно так же, и в волновом пакете антенны, присутствуют вклады с разными числами фотонов, а не только одно (определённое) число фотонов.

Г.Munin, извините, но я не понял, какие вклады (слагаемые) с разными числами фотонов присутствуют в волновом пакете? Если это слагаемые с разной частотой фотонов, то откуда все же неопределенность числа фотонов?

И еще вопрос, касающийся Ваших рисунков-графиков 2.7, где изображены "размазанные" синусоиды, а с правой стороны в координатах $X_1, X_2$ эллипсы "размазывания". Вопрос, что значит это "размазывание"? Может быть это шумы квантования? И каков смысл переменных $X_1, X_2$?

VladimirKalitvianski в сообщении #759672 писал(а):

Посмотрите на электромагнитное поле, как на результат действия всех зарядов источника, а в качестве источника рассмотрите и материал затвора. И не забудем, что в источнике заряды и поле сильно взаимодействуют. Материал затвора должен очень быстро двигаться, чтобы отсечь именно прямоугольный импульс. Ну и вот, Вы видите, что материал источника должен иметь колоссальную энергию, чтобы "излучить" (сформировать) прямоугольный импульс. Вот оттуда и энергия.

Г.VladimirKalitvianski, почему для получение короткого волнового пакета надо использовать затвор, который требует большой энергии для обрезания потока фотонов. Ведь на практике волновой импульс получают включением и выключением тока антенны или питания полупроводникового лазера.

И еще вопрос ко всем. В любом случае конечный волновой пакет имеет в спектре составляющие очень высоких частот. Значит, пусть и с малой вероятностью, однако будут встречаться ситуации, когда энергия обнаруженного фотона будет превышать суммарную энергию импульса и затвора. Более вероятно, такая ситуация будет иметь место при коротких волновых пакетах с достаточно крутыми фронтами.

С уважением О.Львов

[VladimirKalitvianski]

Lvov в сообщении #760048 писал(а):

Г.VladimirKalitvianski, почему для получение короткого волнового пакета надо использовать затвор, который требует большой энергии для обрезания потока фотонов. Ведь на практике волновой импульс получают включением и выключением тока антенны или питания полупроводникового лазера.

Наивно думать, что простым включением/выключением питания можно получить прямоугольный волновой пакет. В простейшей электрической схеме есть свои RLC цепи, которые делают переходные процессы достаточно длительными и волновые фронты пологими. Надо придумывать ухищрения. И кроме того, источник питания у Вас тоже достаточно мощный, он и служит источником энергии.

[Munin]

Lvov в сообщении #760048 писал(а):

Пусть антенной или лазером периодически испускаются одинаковые волновые пакеты (радио- или световые импульсы) ограниченной длительности. Тогда в каждом таком импульсе мы будем регистрировать разное число фотонов с разными энергиями, по с одинаковой суммарной энергией.

Начать с того, что свет лазера отличается от излучения антенны. Вот иллюстрация:


Далее, раз будет разное число фотонов, то и суммарная энергия будет разной (потому что у каждого фотона энергия $\hbar\omega$).

Lvov в сообщении #760048 писал(а):

Г.Munin, извините, но я не понял, какие вклады (слагаемые) с разными числами фотонов присутствуют в волновом пакете? Если это слагаемые с разной частотой фотонов, то откуда все же неопределенность числа фотонов?

Неопределённость эта квантовая. Вы должны вспомнить, что квантовые состояния по своей природе могут иметь неопределённость физических величин, характеризующих их, даже если для некоторых состояний эти величины могут принимать точные значения - для других состояний эти величины будут иметь неопределённость.

Когда я вам приводил пример, я не имел в виду, чтобы вы непосредственно его сопоставили с волновыми пакетами, обсуждавшимися рядом. Я привёл пример только как демонстрацию математической ситуации, в которой некоторая величина может принимать либо точное значение, либо быть неопределённой (в данном случае, частота функции). Эта неопределённость аналогична квантовой.

Lvov в сообщении #760048 писал(а):

И еще вопрос, касающийся Ваших рисунков-графиков 2.7, где изображены "размазанные" синусоиды, а с правой стороны в координатах $X_1, X_2$ эллипсы "размазывания". Вопрос, что значит это "размазывание"? Может быть это шумы квантования?

Вам надо разобраться, что такое квантование, по любому учебнику. Вы напрасно путаете квантование и шумы - это принципиально разные вещи. "Размазывание" условно показывает ширину квантового волнового пакета, показанного сверху на "рис. 2.1" (это рисунки из Скалли-Зубайри), этот волновой пакет движется, как волновая функция, в квантовом осцилляторе поля, который вы назвали абстрактным математическим. В частности, именно так будет изменяться со временем одномодовая составляющая электрического поля. Надо понимать, что электрическое поле в квантовом случае принципиально не имеет точного значения (которое отображалось бы движением точки в осцилляторе, и графиками в виде тонкой линии), и даже не является суммой точного неслучайного значения и точного случайного значения (шума). Оно принципиально описывается функцией - в данном случае, собранной в волновой пакет (не путать его с волновым пакетом, излучаемым лазером).

Lvov в сообщении #760048 писал(а):

И каков смысл переменных $X_1, X_2$?

Я же написал формулу. Это просто другая визуализация той же картинки: составляющие по синусу и по косинусу.

Lvov в сообщении #760048 писал(а):

И еще вопрос ко всем. В любом случае конечный волновой пакет имеет в спектре составляющие очень высоких частот. Значит, пусть и с малой вероятностью, однако будут встречаться ситуации, когда энергия обнаруженного фотона будет превышать суммарную энергию импульса и затвора. Более вероятно, такая ситуация будет иметь место при коротких волновых пакетах с достаточно крутыми фронтами.

Ну а в чём вопрос? Я вижу утверждение, а не вопрос.

-- 03.09.2013 12:37:46 --

VladimirKalitvianski в сообщении #760059 писал(а):

Наивно думать, что простым включением/выключением питания можно получить прямоугольный волновой пакет.

Да нам, вообще-то, низачем не сдалась эта прямоугольность.

[VladimirKalitvianski]

Munin в сообщении #760075 писал(а):

Да нам, вообще-то, низачем не сдалась эта прямоугольность.

А товарищ Lvov интересуется, как обрезание увеличивает наблюдаемые энергии фотонов. Я думаю, что за счет энергии/работы такого "быстрого" источника.