Отношения на множествах

[nnosipov]

Rebirther в сообщении #759528 писал(а):

Если взять $x=0.8$, а $y=0.6$, то условие выполняетcя и $x\not=y$.

А почему обязательно так брать? А если взять по-другому?

Вчитайтесь ещё раз в определение антирефлексивности, Вы пока его не поняли.

[Rebirther]

Если взять по-другому, то не будет выполняться первое условие.
Видимо весь секрет здесь был в слове "любых $x$ и $y$"... То есть получается, что кроме $0.8$ и $0.6$ больше нет чисел, которые бы подошли для выполнения первого условия.
nnosipov
Что скажете, правильно ли я теперь понял это свойство?:)

[nnosipov]

Rebirther в сообщении #759535 писал(а):

Видимо весь секрет здесь был в слове "любых $x$ и $y$"...

Да, это ключевые слова.

Rebirther в сообщении #759535 писал(а):

То есть получается, что кроме $0.8$ и $0.6$ больше нет чисел, которые бы подошли для выполнения первого условия.

Почему же нет? А как же $x=12/13$, $y=5/13$? И вообще, на окружности много точек.

Попробуйте ещё раз.

[provincialka]

На графике посмотрите. Свойства (а)рефлексивности и (а, анти)симметричности вполне наглядны. С транзитивностью это сложнее.

У вашего отношения есть нерефлексивность, но нет арефлексивности.

[Rebirther]

Не думайте что я бросил это, просто сегодня ну никак не могу понять почему не является мое отношение антирефлексивным.
Я обязательно завтра или позже разберусь с этим.
Всем огромное спасибо за помощь в столь простом как оказалось задании :)

[VAL]

Rebirther в сообщении #759528 писал(а):

Получается, что да. Если взять $x=0.8$, а $y=0.6$, то условие выполняетcя и $x\not=y$.

А если взять другие $x$ и $y$?

[provincialka]

Подсказка для рефлексивности/арефлексивности (кстати, я не привыкла писать здесь "анти-").
Если отношение рефлексивно, его график содержит диагональ $x=y$. Если оно арефлексивно - график не пересекается с этой диагональю.

[VAL]

provincialka в сообщении #759750 писал(а):

Подсказка для рефлексивности/арефлексивности (кстати, я не привыкла писать здесь "анти-")

И зря!
Частичка "а" означает отрицание. Я понимаю, что можно дать термину "арефлексивность" иное определение, но филологически получается, что "арефлексивность" - это просто отсутствие рефлексивности.

Термин "антирефлексивность" лишен такого недостатка (что однако не помешало ТС успешно запутаться ).

PS: В некоторых книжках (не помню, где именно) используются оба термина одновременно, причем "арефлексивность" означает именно отсутствие рефлексивности и ничего более.

[provincialka]

Про термины. Поиск в гугле показал, что в подавляющем случае пишут именно "анти-". Видимо, я не те книги читала. У меня - не- и а-, а в большинстве - а- и анти-.

А на симметрию это тоже распространяется? Там вроде есть именно асимметрия и антисимметрия.

А транзитивность? Я говорю про атранзитивность как более сильное условие, чем нетранзативность. Это тоже неправильно?

[VAL]

provincialka в сообщении #759853 писал(а):

Про термины. Поиск в гугле показал, что в подавляющем случае пишут именно "анти-". Видимо, я не те книги читала. У меня - не- и а-, а в большинстве - а- и анти-.
А на симметрию это тоже распространяется? Там вроде есть именно асимметрия и антисимметрия.

"Асимметрия" в бытовом смысле это, разумеется, отсутствие симметрии. "Асимметричность", как свойство бинарных отношений, не встречал ни разу. Но если встречу, пойму, как отсутствие симметричности. С антисимметричностью все несколько сложнее. Вопреки названию, это свойство двойственное, скорее, линейности, чем симметричности.

Цитата:

А транзитивность? Я говорю про атранзитивность как более сильное условие, чем нетранзативность. Это тоже неправильно?

Полагаю, и то и другое означает отсутствие транзитивновсти.

[provincialka]

Нет, асимметрия в гугле есть, это когда не может быть одновременно $a R b$ и $b R a$. В частности, такое отношение антирефлексивно. Пример - любое строгое отношение порядка, скажем, "меньше". А вот антисимметрично нестрогое отношение "меньше или равно".

Линейность тут не при чем, линейность связана с полнотой отношения. Но и асиметричное, и антисимметричное отношение может быть неполным, скажем, частичным порядком (строгим или нестрогим). Кстати, "полнота" отношения имеет наибольшее разнообразие в названиях (связанность, дихотомия - то, что встретилось мне). Думаю, при терминологических спорах лучший выход - точное определение.

Любое асимметричное отношение и антисимметрично, но в антисимметричное может быть включена диагональ (или часть ее).

Что касается атранзитивности, термин, может и необщепринятый, но понятный по аналогии с асимметрией. Он означает, что при $a R b$ и $b R c$ не может выполняться $a R c$. Мой любимый пример атранзитивного отношения - "быть вассалом", ведь, как известно, "вассал моего вассала не мой вассал".

Ну, или "быть матерью", так как мама мамы - это точно не мама (а бабушка).

А вот в качестве нетранзитивного отношения я привожу дружбу или родство. Или сходство (в общем, толерантности, не являющиеся эквивалентностями).

Добавление. Нашла свой "источник". Я тогда читала лекции гуманитариям, так что книжка для них: А.Д.Логвиненко. "Измерения в психологии: математические основы", изд-во МГУ, 1993 г. Вопреки обозначенному адресату, книга весьма математически строгая, гуманитариям явно "не по зубам".

[VAL]

provincialka в сообщении #760002 писал(а):

Нет, асимметрия в гугле есть, это когда не может быть одновременно $a R b$ и $b R a$. В частности, такое отношение антирефлексивно.

Действительно есть такое дело!
Но такая терминология представляется мне крайне неудачной.

Цитата:

Пример - любое строгое отношение порядка, скажем, "меньше". А вот антисимметрично нестрогое отношение "меньше или равно".

Этот пример, можно было и не приводить. Я понятливый

Цитата:

Линейность тут не при чем, линейность связана с полнотой отношения.

Не причем?!

Отношение антисимметрично тогда и только тогда, когда для любых различных $a$ и $b$ не более одной из пар $(a,b), (b,a)$ находится в данном отношении.

Отношение линейно тогда и только тогда, когда для любых различных $a$ и $b$ не менее одной из пар $(a,b), (b,a)$ находится в данном отношении.

Мне представляется, что определенное сходство все же есть

Цитата:

Кстати, "полнота" отношения имеет наибольшее разнообразие в названиях (связанность, дихотомия - то, что встретилось мне). Думаю, при терминологических спорах лучший выход - точное определение.

С этим обычно беда! Хорошо еще, когда хотя бы в пределах одной книжки (статьи) автор придерживается единой терминологии. Ждать чего-го более глобального пока нереально [..ликбез самонадеянно поскипан..]

[Joker_vD]

(Оффтоп)

VAL в сообщении #760009 писал(а):

Хорошо еще, когда хотя бы в пределах одной книжки (статьи) автор придерживается единой терминологии.

Из совместной книжки двух авторов:

Цитата:

It's difficult to find two different authors who would give identical Hilbert-style proof systems.^2 \mathstrut \hline ${\mathstrut}^2$ Unless they're {\it co-authors}, of course.