О введении действительных чисел

[ewert]

nnosipov в сообщении #757629 писал(а):

Не та же, а хуже. Здесь нужно говорить о классах эквивалентности и операциях над ними.

Это правда, если быть строгим; но вот по отношению к школьникам-то подобная строгость ни разу и не нужна -- что мат, что немат. Они на рациональные числа и так уже многие годы как надрессированы, чего ж ещё и желать (если, конечно, не заниматься специально аксиоматиками). С комплексными числами хуже: там при любом подходе (если честном) требуется некая абстрактная морока. Конечно, предварительно нужна некая мотивация в виде корня из отрицательного числа на эвристическом уровне; но только ею одной никак не обойтись -- морока в любом случае понадобится (если честно).

-- Вс авг 25, 2013 20:45:47 --

Munin в сообщении #757642 писал(а):

Но о классах эквивалентности приходится говорить и при обсуждении бесконечных десятичных дробей.

Как говорил классик, "формально -- верно, а фактически -- издевательство". Пристегнуть сюда эквивалентности при желании, конечно, можно; но необходимости в этом никакой. Достаточно просто запретить кое-что заранее, тем более что этот запрет возникает автоматически при соответствующей аккуратной реализации.

[nnosipov]

ewert в сообщении #757644 писал(а):

Это правда, если быть строгим; но вот по отношению к школьникам-то подобная строгость ни разу и не нужна -- что мат, что немат.

Это да. Я и студентам эти вещи рассказывал бы не на первом курсе, к абстракциям надо привыкать постепенно. Впрочем, это зависит от специализации.

ewert в сообщении #757644 писал(а):

С комплексными числами хуже: там при любом подходе (если честном) требуется некая абстрактная морока.

Типа как объяснить, почему вещественные числа можно считать частью комплексных? Ничего другого что-то не вижу.

[g______d]

ewert в сообщении #757644 писал(а):

Достаточно просто запретить кое-что заранее, тем более что этот запрет возникает автоматически при соответствующей аккуратной реализации.

Что такое аккуратная реализация бесконечных десятичных дробей? По-моему, там есть некоторые проблемы с аккуратным определением арифметических операций.

[ewert]

nnosipov в сообщении #757652 писал(а):

Ничего другого что-то не вижу.

Как это ничего?... А что такое корень из минус единицы, если его не существует -- и всё тут?... Неизбежно придётся для формализации переходить к парам; уж в какой угодно интерпретации, но придётся, а это в любом случае сильный удар по мозгам. На фоне этого типо проблемы с отождествлением -- уже семечки, к этому моменту моск уже взорван.

g______d в сообщении #757657 писал(а):

По-моему, там есть некоторые проблемы с аккуратным определением арифметических операций.

И опять же: это -- уже следующий, уже чисто технический вопрос (хотя и неприятный, да, почему и вейерштрассов (якобы) подход для формального определения далеко не оптимален).

-- Вс авг 25, 2013 21:30:37 --

g______d в сообщении #757657 писал(а):

Что такое аккуратная реализация бесконечных десятичных дробей?

Ну там, по-моему, достаточно квадратные-круглые скобки расставить аккуратно -- и девятки исчезнут. Хотя утверждать наверное не берусь; возможно, проще тупо запретить.

[Munin]

ewert в сообщении #757661 писал(а):

к этому моменту моск уже взорван.

Взрыв мозга - вещь, происходящая настолько часто (при изучении физики и математики), что к ней просто привыкать надо.

— Чудес не бывает!
— Вот я упал с крыши, и не разбился, что это?
— Случайность!
— Другой раз упал, и не разбился?
— Совпадение!
— Третий раз упал, и не разбился?
— Привычка!

[nnosipov]

ewert в сообщении #757661 писал(а):

На фоне этого типо проблемы с отождествлением -- уже семечки, к этому моменту моск уже взорван.

Да как-то всё обыденно происходит. Во всяком случае, со мной так было: читал в детстве книжку
Абрамов, А.М.; Виленкин, Н.Я.; Дорофеев, Г.В. и др. Избранные вопросы математики: 10 класс. Факультативный курс
довольно интересно было. После этого потянуло почитать уже про функции комплексного аргумента. Как-то пережил.

Вообще, тема для занятий со школьниками хорошая. Да и задач хватает интересных и содержательных.

[ewert]

Да, я всё-таки дополню. Почему необходима (формально) факторизация в случае рациональных чисел -- и почему нет такой необходимости для десятичных (например) дробей?...

Очень просто. Потому, что в случае дробей десятичных факторизация сводится к тупому запрету чего-то явно выписываемого, и тут проще тупо и запретить. В случае же дробей рациональных для отождествления требуется некая процедура, и тут проще факторизовать.

[g______d]

ewert в сообщении #757661 писал(а):

И опять же: это -- уже следующий, уже чисто технический вопрос (хотя и неприятный, да, почему и вейерштрассов (якобы) подход для формального определения далеко не оптимален).

Что в вейерштрассовом подходе, что в дедекиндовом, сразу понятно, что такое сумма двух вещественных чисел. В вейерштрассовом нужно еще доказывать корректность, а в дедекиндовом даже этого не нужно. А вот в подходе с десятичными дробями я просто не умею писать определение суммы без апелляции к эквивалентности с каким-то другим подходом.

[nnosipov]

Про десятичные дроби неплохо (как мне когда-то казалось, давно не перечитывал) написано у Лелон-Ферран Ж. Основания геометрии. Мир, 1989.

[ewert]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #757672 писал(а):

читал в детстве книжку

"Виленкина не читал, но скажу". Не исключено, что Вы просто восприняли эти числа на сугубо интуитивном уровне, чего для дальнейшей работы вполне и достаточно. Однако одно дело -- личное восприятие, и совсем другое -- формальное определение.

(как я сам познакомился с комплексными числами -- не скажу категорически, ибо не помню в упор)

[g______d]

nnosipov в сообщении #757676 писал(а):

Про десятичные дроби неплохо (как мне когда-то казалось, давно не перечитывал) написано у Лелон-Ферран Ж. Основания геометрии. Мир, 1989.

Спасибо. Действительно, там сложение определено достаточно аккуратно.

[Munin]

ewert в сообщении #757674 писал(а):

Очень просто. Потому, что в случае дробей десятичных факторизация сводится к тупому запрету чего-то явно выписываемого, и тут проще тупо и запретить. В случае же дробей рациональных для отождествления требуется некая процедура, и тут проще факторизовать.

Классе где-то в третьем - "тупо запрещают" выписывать дроби с не взаимно простыми числителем и знаменателем. Так что, "проще" - это спорно.

ewert в сообщении #757681 писал(а):

Однако одно дело -- личное восприятие, и совсем другое -- формальное определение.

И уж школьников последнее ну никак не касается. Может, и хватит его уже тащить в тему за уши?

[Oleg Zubelevich]

С десятичными дробями вроде бы должны возникать такого же сорта проблемы, что и при координатном определении объекта в дифференциальной геометрии. Системы счисления ,ведь, бывают еще и двоичные и троичные... Должны, как-будто появляться дополнительные вопросы о корректностях инвариантностях, изоморфизмах.