2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение25.08.2013, 00:13 
Заслуженный участник


11/05/08
31889
Munin в сообщении #757458 писал(а):
"спор о струне" проходил 200 лет назад.

Тогда ещё понятие о вещественном числе было всё ещё крайне смутным. Даже у Коши оно было всё ещё крайне.

Munin в сообщении #757458 писал(а):
Не вижу вообще никакой разницы. Оба приводят к действительным.

Просто потому, что Вы не математик. Алгебраические числа для перехода к вещественным и впрямь не пришей кобыле хвост, тут принципиальны именно рациональные. Правда, то, что с точки зрения вещественности разницы между рациональными и алгебраическими никакой -- это правда. Только вот для преподавания эта правда бесполезна и даже вредна.

-- Вс авг 25, 2013 01:19:28 --

Munin в сообщении #757458 писал(а):
Нельзя ли подробнее, как именно этот пример это иллюстрирует?

Бал такой тов. А.Н.Крылов, я из него вольно и цитировал (в смысле цитировал его цитату Гексли). Очень просто иллюстрирует. Математика на практике никогда не способна дать абсолютно точный результат (за исключением некоторых отдельных случаев). И вот понятие вещественного числа -- прекрасная иллюстрация причин этой неспособности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение25.08.2013, 00:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72188
ewert в сообщении #757464 писал(а):
Тогда ещё понятие о вещественном числе было всё ещё крайне смутным.

Но именно оттуда оно и проистекает, разве нет? Важность непрерывных функций была осознана тогда, потому что альтернатива была рассматривать только полиномиальные, и брать производные от них чисто алгебраически. Ну а потом уже Дедекинд с Кантором...

ewert в сообщении #757464 писал(а):
Просто потому, что Вы не математик. Алгебраические числа для перехода к вещественным и впрямь не пришей кобыле хвост, тут принципиальны именно рациональные.

Я это знаю, но пополнение обоих множеств по одной и той же ("школьной") топологии приводит к одному и тому же результату. А почему я упомянул алгебраические, я уже сказал.

ewert в сообщении #757464 писал(а):
Только вот для преподавания эта правда бесполезна и даже вредна.

Имхо, просто бесполезна. Факт и факт. Про алгебраические числа можно рассказать мимоходом, что вот есть такие, не вводя их полноценно, и всё.

(Оффтоп)

Хотел было сказать, что правда вредной не бывает, но подумал, что наверное, всё-таки нет. Но не эта правда. Так, кирпичик картины мира. Не более и не менее значимый, чем то, что непрерывных функций континуум, а вообще функций - гораздо больше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение25.08.2013, 00:33 
Заслуженный участник


11/05/08
31889

(Оффтоп)

Munin в сообщении #757470 писал(а):
пополнение обоих множеств по одной и той же ("школьной") топологии приводит к одному и тому же результату.

Это оно формально приводит. С точки же зрения методики алгебраические числа тут -- откровенное издевательство. Ну да ладно, всем ежам всё понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение25.08.2013, 00:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72188

(Оффтоп)

ewert в сообщении #757474 писал(а):
С точки же зрения методики алгебраические числа тут -- откровенное издевательство.

Ну, их школьникам и не рассказывают обычно. Только любопытным на факультативе. К тому же, спотыкаются иногда на слове "трансцендентное", спрашивают, что это такое...


Кстати, если уж на то пошло, то надо ещё как-то объяснять, что комплексные в (том же) алгебраическом смысле "лучше" вещественных, а вот последующие обобщения (кватернионы, всякие клиффорды и кэли, вся бесконечная башня) - уже "хуже" предшественников. В силу чего, обычно на комплексных и останавливаются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение25.08.2013, 14:02 


10/02/11
6786
ewert в сообщении #757437 писал(а):
А вот это уже действительно непринципиальный ньюанец.

кстати, а расскажите плз, как Вы собираетесь вводить алгебраические числа, стартуя с рациональных?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение25.08.2013, 14:27 
Заслуженный участник


11/05/08
31889
Никак не собираюсь, они мне никогда не нужны. А понадобились бы -- вводил бы стандартно, как сужение вещественных, разумеется. Только это всё равно не имеет никакого значения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение25.08.2013, 14:36 


10/02/11
6786
Это Ваши слова:
ewert в сообщении #757437 писал(а):
А вот это уже действительно непринципиальный ньюанец. Munin просто снебрежничал.



Вот я и прошу Вас этот " непринципиальный ньюанец" прояснить. Или Вы не знаете как это делать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение25.08.2013, 15:03 
Заслуженный участник


11/05/08
31889
Oleg Zubelevich в сообщении #757555 писал(а):
Или Вы не знаете как это делать?

Не знаю. Не понимаю, что в точности Вы предлагаете прояснить, потому и не знаю, как.

Впрочем, потелепатировать могу попытаться. Слова "от алгебраических до вещественных шаг топологический, а не алгебраический" абсолютно верны в том смысле, что алгебраические числа суть именно алгебраическое замыкание рациональных. И неудачны лишь в том отношении, что этот переход как непосредственный невозможен (или как минимум затруднителен, не знаю) по чисто техническим причинам -- сначала надо всё-таки перейти к вещественным или комплексным и лишь потом сделать откат. Но это сугубо технический момент, и он никак не отменяет того факта, что расширения $\mathbb Q\subset \mathbb A$ и $\mathbb R\subset \mathbb C$ являются алгебраическими, в то время как $\mathbb A\subset \mathbb R$ (или $\mathbb C$, неважно) -- топологическим. Поэтому я и назвал этот нюанс непринципиальным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение25.08.2013, 15:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6241
Алгебраическое замыкание вполне себе строится без всяких вещественных чисел. Упорядочиваем все полиномы с рациональными коэффициентами, и по порядку добавляем недостающие корни к $\mathbb{Q}$, в итоге получаем алгебраическое замыкание.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение25.08.2013, 15:28 
Заслуженный участник


11/05/08
31889
Xaositect в сообщении #757565 писал(а):
Алгебраическое замыкание вполне себе строится без всяких вещественных чисел.

Я в этом не разбираюсь. Но, во всяком случае, при таком подходе к построении требуется достаточно изощрённая логическая конструкция, при отталкивании же от вещественных никакого построения вообще не нужно -- это множество у нас уже есть. И, конечно, никто не строит вещественные числа, отталкиваясь от алгебраических. И, разумеется, всё вышесказанное не имеет никакого значения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение25.08.2013, 16:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5670
По-моему, действительно, важный момент состоит в отличии алгебраического замыкания (алгебраическая конструкция+лемма Цорна) от пополнения (аналитическая конструкция; по-видимому, аксиома выбора не нужна). Кроме того, пополнения бывают разные, еще бывают $\mathbb Q_p$. Собственно, по теореме Островского других разумных пополнений нет.

Вещественные числа замечательны тем, что они почти алгебраически замкнуты, достаточно присоединить один элемент. Для $\mathbb Q_p$ это неверно, нужно присоединять бесконечное количество элементов. Забавно, кстати, что с помощью аксиомы выбора можно показать, что алгебраическое замыкание $\mathbb Q_p$ изоморфно $\mathbb C$.

Т. е. пополнение (по обычной норме) – это достаточно простая конструкция, позволяющая построить (почти) алгебраически замкнутое поле и удобная в тех случаях, когда не нужно заботиться о минимальности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение25.08.2013, 16:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72188
Ну вот, всё это обычно и рассказывают нестрого и на факультативе. Боюсь, даже матшкольникам нестрого - чтобы строго, это надо дать пару вузовских курсов. Хотя, не знаю, с матшкольниками не знаком.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение25.08.2013, 18:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72188
g______d в сообщении #757607 писал(а):
Если вернуться к исходному вопросу, то ясно, что он в том, как переходить от вещественных чисел к комплексным. На мой взгляд, это значительно проще, чем переход от рациональных к вещественным и даже чем от целых к рациональным :)

На мой взгляд, переход от целых к рациональным - ровно та же фигня. Даже результаты операции почти совпадают: и там, и там мы имеем дело со множеством пар.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение25.08.2013, 18:46 
Заслуженный участник


20/12/10
6518
Munin в сообщении #757627 писал(а):
На мой взгляд, переход от целых к рациональным - ровно та же фигня
Не та же, а хуже. Здесь нужно говорить о классах эквивалентности и операциях над ними.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение25.08.2013, 19:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72188
nnosipov в сообщении #757629 писал(а):
Не та же, а хуже. Здесь нужно говорить о классах эквивалентности и операциях над ними.

Да. Но о классах эквивалентности приходится говорить и при обсуждении бесконечных десятичных дробей.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 43 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group