О введении действительных чисел

[ewert]

Munin в сообщении #757458 писал(а):

"спор о струне" проходил 200 лет назад.

Тогда ещё понятие о вещественном числе было всё ещё крайне смутным. Даже у Коши оно было всё ещё крайне.

Munin в сообщении #757458 писал(а):

Не вижу вообще никакой разницы. Оба приводят к действительным.

Просто потому, что Вы не математик. Алгебраические числа для перехода к вещественным и впрямь не пришей кобыле хвост, тут принципиальны именно рациональные. Правда, то, что с точки зрения вещественности разницы между рациональными и алгебраическими никакой -- это правда. Только вот для преподавания эта правда бесполезна и даже вредна.

-- Вс авг 25, 2013 01:19:28 --

Munin в сообщении #757458 писал(а):

Нельзя ли подробнее, как именно этот пример это иллюстрирует?

Бал такой тов. А.Н.Крылов, я из него вольно и цитировал (в смысле цитировал его цитату Гексли). Очень просто иллюстрирует. Математика на практике никогда не способна дать абсолютно точный результат (за исключением некоторых отдельных случаев). И вот понятие вещественного числа -- прекрасная иллюстрация причин этой неспособности.

[Munin]

ewert в сообщении #757464 писал(а):

Тогда ещё понятие о вещественном числе было всё ещё крайне смутным.

Но именно оттуда оно и проистекает, разве нет? Важность непрерывных функций была осознана тогда, потому что альтернатива была рассматривать только полиномиальные, и брать производные от них чисто алгебраически. Ну а потом уже Дедекинд с Кантором...

ewert в сообщении #757464 писал(а):

Просто потому, что Вы не математик. Алгебраические числа для перехода к вещественным и впрямь не пришей кобыле хвост, тут принципиальны именно рациональные.

Я это знаю, но пополнение обоих множеств по одной и той же ("школьной") топологии приводит к одному и тому же результату. А почему я упомянул алгебраические, я уже сказал.

ewert в сообщении #757464 писал(а):

Только вот для преподавания эта правда бесполезна и даже вредна.

Имхо, просто бесполезна. Факт и факт. Про алгебраические числа можно рассказать мимоходом, что вот есть такие, не вводя их полноценно, и всё.

(Оффтоп)

Хотел было сказать, что правда вредной не бывает, но подумал, что наверное, всё-таки нет. Но не эта правда. Так, кирпичик картины мира. Не более и не менее значимый, чем то, что непрерывных функций континуум, а вообще функций - гораздо больше.

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #757470 писал(а):

пополнение обоих множеств по одной и той же ("школьной") топологии приводит к одному и тому же результату.

Это оно формально приводит. С точки же зрения методики алгебраические числа тут -- откровенное издевательство. Ну да ладно, всем ежам всё понятно.

[Munin]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #757474 писал(а):

С точки же зрения методики алгебраические числа тут -- откровенное издевательство.

Ну, их школьникам и не рассказывают обычно. Только любопытным на факультативе. К тому же, спотыкаются иногда на слове "трансцендентное", спрашивают, что это такое...

Кстати, если уж на то пошло, то надо ещё как-то объяснять, что комплексные в (том же) алгебраическом смысле "лучше" вещественных, а вот последующие обобщения (кватернионы, всякие клиффорды и кэли, вся бесконечная башня) - уже "хуже" предшественников. В силу чего, обычно на комплексных и останавливаются.

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #757437 писал(а):

А вот это уже действительно непринципиальный ньюанец.

кстати, а расскажите плз, как Вы собираетесь вводить алгебраические числа, стартуя с рациональных?

[ewert]

Никак не собираюсь, они мне никогда не нужны. А понадобились бы -- вводил бы стандартно, как сужение вещественных, разумеется. Только это всё равно не имеет никакого значения.

[Oleg Zubelevich]

Это Ваши слова:

ewert в сообщении #757437 писал(а):

А вот это уже действительно непринципиальный ньюанец. Munin просто снебрежничал.

Вот я и прошу Вас этот " непринципиальный ньюанец" прояснить. Или Вы не знаете как это делать?

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #757555 писал(а):

Или Вы не знаете как это делать?

Не знаю. Не понимаю, что в точности Вы предлагаете прояснить, потому и не знаю, как.

Впрочем, потелепатировать могу попытаться. Слова "от алгебраических до вещественных шаг топологический, а не алгебраический" абсолютно верны в том смысле, что алгебраические числа суть именно алгебраическое замыкание рациональных. И неудачны лишь в том отношении, что этот переход как непосредственный невозможен (или как минимум затруднителен, не знаю) по чисто техническим причинам -- сначала надо всё-таки перейти к вещественным или комплексным и лишь потом сделать откат. Но это сугубо технический момент, и он никак не отменяет того факта, что расширения $\mathbb Q\subset \mathbb A$ и $\mathbb R\subset \mathbb C$ являются алгебраическими, в то время как $\mathbb A\subset \mathbb R$ (или $\mathbb C$, неважно) -- топологическим. Поэтому я и назвал этот нюанс непринципиальным.

[Xaositect]

Алгебраическое замыкание вполне себе строится без всяких вещественных чисел. Упорядочиваем все полиномы с рациональными коэффициентами, и по порядку добавляем недостающие корни к $\mathbb{Q}$, в итоге получаем алгебраическое замыкание.

[ewert]

Xaositect в сообщении #757565 писал(а):

Алгебраическое замыкание вполне себе строится без всяких вещественных чисел.

Я в этом не разбираюсь. Но, во всяком случае, при таком подходе к построении требуется достаточно изощрённая логическая конструкция, при отталкивании же от вещественных никакого построения вообще не нужно -- это множество у нас уже есть. И, конечно, никто не строит вещественные числа, отталкиваясь от алгебраических. И, разумеется, всё вышесказанное не имеет никакого значения.

[g______d]

По-моему, действительно, важный момент состоит в отличии алгебраического замыкания (алгебраическая конструкция+лемма Цорна) от пополнения (аналитическая конструкция; по-видимому, аксиома выбора не нужна). Кроме того, пополнения бывают разные, еще бывают $\mathbb Q_p$. Собственно, по теореме Островского других разумных пополнений нет.

Вещественные числа замечательны тем, что они почти алгебраически замкнуты, достаточно присоединить один элемент. Для $\mathbb Q_p$ это неверно, нужно присоединять бесконечное количество элементов. Забавно, кстати, что с помощью аксиомы выбора можно показать, что алгебраическое замыкание $\mathbb Q_p$ изоморфно $\mathbb C$.

Т. е. пополнение (по обычной норме) – это достаточно простая конструкция, позволяющая построить (почти) алгебраически замкнутое поле и удобная в тех случаях, когда не нужно заботиться о минимальности.

[Munin]

Ну вот, всё это обычно и рассказывают нестрого и на факультативе. Боюсь, даже матшкольникам нестрого - чтобы строго, это надо дать пару вузовских курсов. Хотя, не знаю, с матшкольниками не знаком.

[Munin]

g______d в сообщении #757607 писал(а):

Если вернуться к исходному вопросу, то ясно, что он в том, как переходить от вещественных чисел к комплексным. На мой взгляд, это значительно проще, чем переход от рациональных к вещественным и даже чем от целых к рациональным :)

На мой взгляд, переход от целых к рациональным - ровно та же фигня. Даже результаты операции почти совпадают: и там, и там мы имеем дело со множеством пар.

[nnosipov]

Munin в сообщении #757627 писал(а):

На мой взгляд, переход от целых к рациональным - ровно та же фигня

Не та же, а хуже. Здесь нужно говорить о классах эквивалентности и операциях над ними.

[Munin]

nnosipov в сообщении #757629 писал(а):

Не та же, а хуже. Здесь нужно говорить о классах эквивалентности и операциях над ними.

Да. Но о классах эквивалентности приходится говорить и при обсуждении бесконечных десятичных дробей.