2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение22.08.2013, 19:06 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Oleg Zubelevich в сообщении #756542 писал(а):
Sonic86 писал(а):
Только до алгебраических свойств потом ходить далеко.
в каком смысле "далеко"? По-моему наоборот. Очень удобно расписывать $(a+ib)(u+iv)$, подставляя $ii=-1$. Из коммутативности умножения на базисных векторах следует коммутативность на любых векторах. И ассоциативность тоже самое.
Да, согласен.
Надо только тогда, наверное, показать, что числа вида $(a;0)$ - обычные вещественные числа и тогда новые числа включают старые. Ну это несложно.

Oleg Zubelevich в сообщении #756669 писал(а):
Произведение векторов определим следующим образом.
1) для любого $z$ положим $z\cdot 0=0\cdot z=0$
2) произведением векторов $z_1$ и $z_2,\quad z_1,z_2\ne 0$ называется вектор $z_1z_2$ определенный следующими условиями $|z_1z_2|=|z_1||z_2|,\quad \arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2$
(Последнее равенство понимается в смысле сравнимости по указанному выше модулю)
Алгебраические свойства умножения, тригонометрическая форма комплекусного числа, формула Муавра и много другое после этого просто очевидны. А заодно, кстати, не возникает ощущения, что определение умножения сняли с потолка.
:shock:
Хотя тоже вариант :roll:

В общем, всем спасибо за ответы :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение22.08.2013, 19:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Oleg Zubelevich в сообщении #756654 писал(а):
warlock66613 в сообщении #756645 писал(а):
Если повернуть систему координат, вектор не изменится, а его координаты и соответсвующее комплексное число изменятся


это вам только так кажется :mrgreen:

-- Чт авг 22, 2013 17:26:47 --

warlock66613 в сообщении #756645 писал(а):
Поэтому векторы и комплексные числа - всё-таки разные вещи. Иначе говоря, комплексное число - это вообще не геометрический объект.

это сильно
Тут warlock66613 прав. Комплексная плоскость имеет дополнительную структуру, кроме геометрической. В частности, на комплексной плоскости есть выделенное направление. А геометрически комплексные числа это скорее не векторы, а преобразования подобия. И такая интерпретация в анализе полезна для понимания производной в ТФКП, как мне кажется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение22.08.2013, 21:20 


10/02/11
6786
Xaositect в сообщении #756696 писал(а):
Тут warlock66613 прав.


в чем именно прав? В том, что "комплексное число - это вообще не геометрический объект" ?
Xaositect в сообщении #756696 писал(а):
Комплексная плоскость имеет дополнительную структуру, кроме геометрической. В частности, на комплексной плоскости есть выделенное направление

Да, есть выделенное направление. И евклидову метрику тоже надо задать и ориентацию. Вот этими вещами и определяется произвол при превращении двумерного линейного пространства в поле комплексных чисел.
Непонятно только почему эта дополнительная структура (выделенное направление+метрика+ориентация) в линейном пространстве не является геометрической.



Xaositect в сообщении #756696 писал(а):
А геометрически комплексные числа это скорее не векторы, а преобразования подобия

Преобразования подобия это еще одна интерпретация. Чем она лучше векторов мне непонятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение22.08.2013, 21:53 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
Oleg Zubelevich в сообщении #756733 писал(а):
почему эта дополнительная структура (выделенное направление+метрика+ориентация) в линейном пространстве не является геометрической

Нет, я такого не утверждаю. Вся эта структура безусловно геометрическая. Но всё-таки это только одна из возможных геометрических интерпретаций. Собственно же комплексные числа геометрическими объектами не являются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение22.08.2013, 22:00 


10/02/11
6786
warlock66613 в сообщении #756741 писал(а):
Собственно же комплексные числа геометрическими объектами не являются.

Вы не используете геометрический язык при построении поля комплексных чисел, для Вас оно не являентся геометрическитм объектом. А я использую. Не надо отрицать ни ту ни другую возможность. Только и всего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение22.08.2013, 22:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Oleg Zubelevich в сообщении #756742 писал(а):
Не надо отрицать ни ту ни другую возможность.

Если $A$ можно сделать без $B,$ то $A$ не является $B.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение22.08.2013, 23:07 


10/02/11
6786
Munin в сообщении #756753 писал(а):
Если $A$ можно сделать без $B,$ то $A$ не является $B.$

$A$ как раз является $B$. Обе модели комплексных чисел изоморфны друг другу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение23.08.2013, 12:49 


19/05/10

3940
Россия
Oleg Zubelevich в сообщении #756542 писал(а):
...Вы, очевидно, кроме Шарыгина не читали ничего...

А вы видимо школьникам ничего не преподавали.

-- Пт авг 23, 2013 12:54:04 --

Sonic86 в сообщении #756527 писал(а):
...а формулу Муавра и тригонометрическое представление дают? Т.е. после 10-го класса? Или там школьники уже навороченные?...

Обязательно, и тригонометрическое представление и формулу Муавра, а школьников достаточно обычных)
Тема "Комплексные числа" очень долго была школьной, там все хорошо разработано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение23.08.2013, 15:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Sonic86 в сообщении #756434 писал(а):
Просто интересно, что школьник должен знать, чтобы ему можно было объяснить, что можно делать с комплексными числами, и чтобы школьник смог их освоить.

А каких школьниках идёт речь? Насколько я знаю (если что не так, так я не из России) математика может быть в школе обычным предметом, профильным и есть школы со специализацией по математике. В обычных школах математика нужна по минимуму. А если математика - профильный предмет, то может не стоит изобретать велосипед, а посмотреть школьные учебники? В некоторых из них всё-таки комплексные числа есть (несмотря на мнение Колмогорова).

 Профиль  
                  
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение23.08.2013, 15:44 


15/05/05
351
Россия
Может быть имеет смысл обратиться к опыту изложения темы "Комплексные числа" Д. К. Фаддеевым и И. С. Соминским http://lib.mexmat.ru/books/81519 ?
И в качестве продолжения начатого разговора о комплексных числах перейти на следующий уровень изложения материала: http://lib.mexmat.ru/books/13829
Для учителей может быть имеет смысл познакомиться с пособием И. К. Андронова "Математика действительных и комплексных чисел" М. 1975 г. ("Доставая ту или иную нужную для него книгу, Иван Козьмич хлопал ею по своей ладошке и говорил отворачивающимся ученикам: «Не отворачивайтесь. Это пыль не простая; она – ученая, вдыхайте ее и умнейте».")

 Профиль  
                  
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение24.08.2013, 23:14 


10/02/11
6786
Munin в сообщении #757427 писал(а):
А вот от алгебраических до вещественных шаг топологический, а не алгебраический

вообще-то , грамотные люди, которые читают учебники, шагают не от алгебраических чисел , а от рациональных

 Профиль  
                  
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение25.08.2013, 14:51 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Sonic86 в сообщении #756527 писал(а):
А не подскажете литературу?
Я посмотрел по ссылке выше Понарина - там предполагается, что человек уже знает, что такое комплексные числа, причем - алгебраически.
Посмотрел Яглома http://ilib.mccme.ru/djvu/yaglom/compl_num.htm - мне понравилось.
Можно добавить ещё Моденов П.С. Задачи по геометрии. М.: Наука, 1979. Но эти книги, наверное, для тех школьников, которые уже более-менее освоились с алгебраическими действиями над комплексными числами. Вот книжка попроще: Комплексные числа Ю.А.Глазков 2012-600R.djvu (точную ссылку не помню).

 Профиль  
                  
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение25.08.2013, 17:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Это было скорее оффтопиком. Если вернуться к исходному вопросу, то ясно, что он в том, как переходить от вещественных чисел к комплексным. На мой взгляд, это значительно проще, чем переход от рациональных к вещественным и даже чем от целых к рациональным :)

Последовательным подходом было бы добавить операцию извлечения корня из отрицательного числа "по аналогии с тем, как мы добавляли разность при переходе к $\mathbb Z$ и частное при переходе к $\mathbb Q$". Но на практике так никто не делает; операция извлечения корня слишком сложная, чтобы ее формально добавить и за всем следить (например, в силу многозначности).

Обычно (во всех курсах для матшкольников, с которыми я имел дело) они вводятся как пары вещественных чисел. Операции вводят аксиоматически. Потом отождествляют вещественные числа с парами $(x,0)$, а пару $(0,1)$ обзывают $i$ и переходят к записи $a+bi$. А уж потом долго рассказывают про то, какие эти числа замечательные, сколько всего с ними можно делать, про геометрическую интерпретацию и т. д.

Я наверное просто повторил написанное кем-то выше, т. к. в курсах для взрослых они вводятся так же. Но не вижу смысла придумывать какое-то специальное детское определение. Матшкольники могут освоить нормальное определение после 8 класса. Обычные школьники, наверное, позднее, но не позже 10-го.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение25.08.2013, 19:16 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
nnosipov в сообщении #757560 писал(а):
Можно добавить ещё Моденов П.С. Задачи по геометрии. М.: Наука, 1979. Но эти книги, наверное, для тех школьников, которые уже более-менее освоились с алгебраическими действиями над комплексными числами. Вот книжка попроще: Комплексные числа Ю.А.Глазков 2012-600R.djvu (точную ссылку не помню).
Спасибо! Посмотрю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как давать школьникам комплексные числа
Сообщение26.08.2013, 18:14 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  Обсуждение введения действительных чисел отделено в отдельную тему О введении действительных чисел.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 61 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group