О "последнем" утверждении П. Ферма

[bot]

Yarkin писал(а):

Рассматривать треугольник при доказательстве ВТФ нельзя - его в условии нет

Как всегда - пальцем в ... , нет, даже не в небо.
Вот специально для Вас
Задачка. Доказать, что для любого $x\in \mathbb{R} $ выполняется неравенство
$\sqrt{x^2+(x-4)^2}+\sqrt{x^2+(x-3)^2} \ge 5$

Если кто здесь вздумает треугольник рассмотреть, гневаться будете?

[Yarkin]

bot писал(а):

Как всегда - пальцем в ... , нет, даже не в небо.
Вот специально для Вас
Задачка. Доказать, что для любого $x\in {\mathbb{R}} $ выполняется неравенство

Здесь нельзя использовать $ x\in {\mathbb{C}}$ и надо читать до конца - на той же с. я писал, когда можно использовать треугольник.

[bot]

Yarkin писал(а):

Здесь нельзя использовать $ x\in {\mathbb{C}}$

Ещё раз пальцем туда же! Выходит, если по условию в задаче участвуют только действительные числа, то использовать комплексные числа уже нельзя? А как, к примеру, Вы станете доказывать разложимость многочлена с действительными коэффициентами на неприводимые над полем $ \mathbb{R}$, то есть на линейные множители и квадратные трёхчлены?
Впрочем в данной задачке я и не призывал использовать комплексные числа, хотя и не запрещал как Вы со своим табу на треугольник.
Я не стану выискивать в ваших измышлизмах, где Вы формулируете (и формулируете ли?) условия, при которых использовать треугольник можно, а при каких нельзя.
Лучше ответьте на прямой вопрос без увиливания - в решении этой задачке можно использовать треугольник или нет? Иначе говоря, признаёте Вы законным или нет решение, которое дал Руст в соседней ветке?

[Yarkin]

bot писал(а):

Лучше ответьте на прямой вопрос без увиливания - в решении этой задачке можно использовать треугольник или нет? Иначе говоря, признаёте Вы законным или нет решение, которое дал Руст в соседней ветке?

В любом соотношении, где участвуют три слагаемых, можно использовать треугольник! Мое молчание означало согласие с Руст ом. И давайте не спорить на чужой ветке.

[ljubarcev]

Yarkin писал(а):

В любом соотношении, где участвуют три слагаемых, можно использовать треугольник! Мое молчание означало согласие с Руст ом. И давайте не спорить на чужой ветке.

Господин "Yarkin" ! Считаю необходимым уточнить: в любом - только и только если слагаемые отвечают условию существования треугольнака: $A+B>C$. Именно поэтому, когда мы рассматриваем ВТФ при $n=4$, для $x^4+y^4=z^4$ справедливо $x+y>z$; $x^2+y^2>z^2$: $x^3+y^3>z^3$. Из этого следует, что должны существовать треугольники со сторонами $(x:y;z)$, $(x^2;y^2;z^2)$; $(x^3:y^3;z^3)$, причем, ни один из них не является прямоугольным. В то же время вводя новые обозначения $x^2=a$; $y^2=b$; $z^2=c$, получаем равенство $a^2+b^2=c^2$, доказывающее что должен существовать прямоугольный треугольник со сторонами $(a;b;c)$. Это противоречие и доказывает верность утверждения Ферма при $n=4$.
Дед.

[Yarkin]

ljubarcev писал(а):

Господин "Yarkin" ! Считаю необходимым уточнить: в любом - только и только если слагаемые отвечают условию существования треугольнака

Я по другой причине считаю, что для трех слагаемых можно рассматривать треугольник и ее трудно объяснить, поскольку я придерживаюсь определения числа по Пифагору. Для сторон прямоугольного треугольника выполняются пять неравенств. которые считаются основными. Так, например, для соотношения $ x^4 + y^4 = z^4 $, неравенство $ x^2 + y^2 > z^2 $- основное, а $ x + y >z $ - производное. Поскольку для каждой степени таких неравенств тоже будет пять, то треугольники будут прямоугольными.

[ljubarcev]

В теме доказано, что если $x^3+y^3=z^3$ при $(x;y;z)=1$ и $x$ делящемся на $3$, то
должно быть $x=3mx_1$; $z-y=9m^3$; и $x_1^3=zy+\frac{(z-y)^2}{3}$ (1).
Теперь обратим внимание на тот простой факт, что если существует равенство $x^3+y^3=z^3$ (что мы предполагаем), то существует и равенство $(3x)^3+(3y)^3=(3z)^3$ . Но тогда в равенстве (1) число $zy$ возрастёт в $9$ раз, число $z-y$ в 3 раза, а число слева в 27 раз.
Равенство (1) примет при этом вид: $27x_1^3=9zy+\frac{(3z-3y)^2}{3}$ и после деления всего равенство на 27 получим, что должно быть в целых числах
$x_1^3=\frac{zy}{3}+9m^6$. Так как $zy$ на $3$ не делится, то равенство в целых числах невозможно и исходное предположение не верно. чтд.
Дед.

[TOTAL]

ljubarcev писал(а):

В теме доказано, что если $x^3+y^3=z^3$ при $(x;y;z)=1$ и $x$ делящемся на $3$, то
должно быть $x=3mx_1$; $z-y=9m^3$; и $x_1^3=zy+\frac{(z-y)^2}{3}$ (1).
Теперь обратим внимание на тот простой факт, что если существует равенство $x^3+y^3=z^3$ (что мы предполагаем), то существует и равенство $(3x)^3+(3y)^3=(3z)^3$ . Но тогда в равенстве (1) число $zy$ возрастёт в $9$ раз,

Равенство (1) заявлено для взаимно простых

[Батороев]

ljubarcev писал(а):

В теме доказано, что если $x^3+y^3=z^3$ при $(x;y;z)=1$ и $x$ делящемся на $3$, то
должно быть $x=3mx_1$; $z-y=9m^3$; и $x_1^3=zy+\frac{(z-y)^2}{3}$ (1).

У Вас:
$z-y=9m^3$;
$x_1^3=zy+\frac{(z-y)^2}{3} = \frac{z^2+zy+y^2}{3}$

$x^3=z^3 - y^3 = (z-y)(z^2+zy+y^2) = (z-y)3(zy+\frac{(z-y)^2}{3}) = 9m^3 3x_1^3 = 27m^3x_1^3$

ljubarcev писал(а):

Теперь обратим внимание на тот простой факт, что если существует равенство $x^3+y^3=z^3$ (что мы предполагаем), то существует и равенство $(3x)^3+(3y)^3=(3z)^3$ .

Получается:
$(3x)^3=(3z)^3 - (3y)^3 = 3(z-y) 9(z^2+zy+y^2) = 3(z-y)^327 (zy+\frac{(z-y)^2}{3}) = 27m^3 27x_1^3 = 27x^3 $
т.е. тройки "перераспределяются" между числами и никаких противоречий нет.

[ljubarcev]

Батороев писал(а):

Получается:
$(3x)^3=(3z)^3 - (3y)^3 = 3(z-y) 9(z^2+zy+y^2) = 3(z-y)^327 (zy+\frac{(z-y)^2}{3}) = 27m^3 27x_1^3 = 27x^3 $
т.е. тройки "перераспределяются" между числами и никаких противоречий нет.

Уважаемый господин Батороев ! Приведенные Вами рассуждения по сути не что иное, как доказательство того очевидного факта: если $(3x)^3+(3y)^3=(3z)^3$ в целых числах $x;y;z$, то $x^3+y^3=z^3$ тоже имеет место в тех же числах. ..
Я же имею ввиду другое.
Если имеет место в целых числах равенство $x^3+y^3=z^3$ при $(x;y,z)=1$ и
$x=3x_1$, то должно существовать в целых числах равенство (запишем его в том же виде как у Вас): $x_1^3=\frac{z^2+zy+y^2}{3}$. Из него очевидно, что если взять $x;y;z$ все в три раза большими, то придем к тому, что должно существовать равенство $3^3x_1^3=\frac{9z^2+9zy+9y^2}{3}=3(z^2+zy+y^2)$. После деления всего равенства на $3^3$ получаем: для того чтобы существовало равенство $(3x)^3+(3y)^3=(3z)^3$ должно быть $x_1^3=\frac{z^2+zy+y^2}{9}$. Ранее же было доказано, что $z^2+zy+y^2$ должно делиться на $3$ и только на $3$. Это и есть второй вид того же противоречия.
Дед.

[Батороев]

То, что Ваши рассуждения в данном случае не верны, можно показать на том, что действительно выполняется, а именно, на БТФ для n = 2:
$ x^2 = z^2 - y^2$
$ 4^2 = 5^2-3^2 $

$ x^2 = x_1^2x_2^2 $
$ 4^2 = 2^2 2^2 $,
где
$ x_1^2 = 2(z-y) $
$ 2^2 = 2(5-3) $

$ x_2^2 = \frac{(z+y)}{2} $
$ 2^2 = \frac{(5+3)}{2} $

При увеличении $ x, y, z $ в 2 раза, мы по Вашим рассуждениям должны были бы получить:
$ (x_1)^2 = 2(2z - 2y) $
$ (x_1)^2 = 2(10-6) = 8 $
$ (x_2)^2 = \frac{(2z+2y)}{2} $
$ (x_2)^2 = \frac{(10+6)}{2} = 8 $

Как видим - те же "противоречия", но вместе с тем, равенство
$ (2x)^2 = (2z)^2 - (2y)^2 $
$ (2\times 4)^2 = (2\times 5)^2 - (2\times 3)^2 $
выполняется.

ljubarcev писал(а):

Ранее же было доказано, что $z^2+zy+y^2$ должно делиться на $3$ и только на $3$.

Да как такое можно доказать?
Выражение $z^2+zy+y^2$ делится на много чего.
Например, $10^2+10+1$ делится на 3 и 37.

[ljubarcev]

Батороев писал(а):

ljubarcev писал(а):

Ранее же было доказано, что $z^2+zy+y^2$ должно делиться на $3$ и только на $3$.

Да как такое можно доказать?
Выражение $z^2+zy+y^2$ делится на много чего.
Например, $10^2+10+1$ делится на 3 и 37.

Уважаемый господин Батороев! В нешем случае, когда $x$ делится на $3$ а числа $z:y$ на три не делятся и равноостаточны при делении на $3$ имеем $z=3z_1+1$; $y=3y_1+1$ и $z^2+zy+y^2=3(3(z_1^2+z_1+z_1y_1+y_1^2+y_1)+1)$. Отсюда очевидно, что $z^2+zy+y^2$ делится на $3$ итолько на $3$, Ну и ,конечно на многое другое.
Я не могу понять, почему по Вашему может быть не верно моё утверждение о том, что при увеличении в три раза чисел $x;y;z$ получающееся рвенство $x_1^3=\frac{z^2+zy+y^2}{9}$ не верно. В чём здесь может быть ошибка?
Разница между случаями $n=2$ и $n=3$ состоит в том ,что при $n=2$ при $a^2+b^2=c^2$ всегда существует $(kx)^2+(ky)^2=(kz)^2$, а свойства чисел $x;y;z$, удовлетворяющих равенству $x^3+y^3=z^3$ таковы, что равенствj $(3x)^3+(3y)^3=(3z)^3$ не существует, хотя должно существовать. .
Можно несколько иначе.. При $x$ делящемся на $3$ в произвольной целой степени $j$ приходим к тому, что $x=3^jmx_1$; $z-y=3^{3j-1}m^3$:
$x+y-z=3^jmgk$ и должно быть равенство: $x_1^3=zy+3^{3(2j-1)}m_j^6$. Если переписать последнее равенство в виде $x_1^3-zy=3^{3(2j-1)}m_j^6$, то замечаем, что левая его часть остаётся постоянной при пробегании числом $j$ значений от нуля до бесконечности. Kаждое последующее $m_{j+1}$ меньше предыдущего в $3$ раза. Таким образом приходим к тому, что по $m$ должен существовать бесконечный спуск. Но в целых числах это невозможно.
Дед.

[Батороев]

ljubarcev писал(а):

Я не могу понять, почему по Вашему может быть не верно моё утверждение о том, что при увеличении в три раза чисел $x;y;z$ получающееся рвенство $x_1^3=\frac{z^2+zy+y^2}{9}$ не верно. В чём здесь может быть ошибка?

На мой взгляд, Вы заблуждаетесь в том, что привязываете выполнение БТФ для n=3 с условием, будет ли соблюдаться указанное Вами равенство при увеличении чисел в 3 раза.
Число$ x_1^3 $, как было, так и осталось числом $x_1^3=\frac{z^2+zy+y^2}{3}$. Только в числе $ (3x)^3 $ появились новые множители и структура этого числа теперь несколько иная, чем числа $ x^3 $.

[ljubarcev]

Батороев писал(а):

На мой взгляд, Вы заблуждаетесь в том, что привязываете выполнение БТФ для n=3 с условием, будет ли соблюдаться указанное Вами равенство при увеличении чисел в 3 раза.
Число$ x_1^3 $, как было, так и осталось числом $x_1^3=\frac{z^2+zy+y^2}{3}$. Только в числе $ (3x)^3 $ появились новые множители и структура этого числа теперь несколько иная, чем числа $ x^3 $.

Уважаемый господин Батороев ! Не убедительно ! Никаких новых множителей кроме $3$ появиться там не может при умножении на $3$. Число $m$ становится равным $3m$; $9m$; $27m$ и так до бесконечности при последовательном увеличении $x$ в три разa. $x_1$ при этом остается постоянным, а $x=3mx_1$ возрастает. Следовательно $x_1^3=\frac{z^2+zy+y^2}{3}$ должно быть постоянным. Но ведь очевидно, что при последовательном увеличении в три раза $z$ и $y$ это невозможно.
Дед.

[Батороев]

ljubarcev писал(а):

Никаких новых множителей кроме $3$ появиться там не может при умножении на $3$.

Я об этом множителе и намекал.

ljubarcev писал(а):

$x_1$ при этом остается постоянным, а $x=3mx_1$ возрастает. Следовательно $x_1^3=\frac{z^2+zy+y^2}{3}$ должно быть постоянным. Но ведь очевидно, что при последовательном увеличении в три раза $z$ и $y$ это невозможно.

Но числа $z$ и $y$ и не увеличиваются, просто в $x=3mx_1$ (по отношению к $x=mx_1$) появляется новый множитель 3.

Ведь к примеру, умножив $ 35 ^33^3 $, Вы не изменяете множители $ 5^3, 7^3 $, а добавляете множитель $ 3^3 $ к первоначальному числу $ 35 ^3 $.

Другое дело, что затем сгруппировав множители, Вы можете получить либо $ 15^37^3$, либо $ 5^321^3$.