Дьявольские магические квадраты из простых чисел

[Nataly-Mak]

Pavlovsky в сообщении #756313 писал(а):

Nataly-Mak в сообщении #756311 писал(а):

Кстати, в статье показано ещё одно очень интересное преобразование, которое я назавала "строки-диагонали" (см. рис. 6). Это преобразование открыла, работая с пандиагональными квадратами 5-го порядка. Оно работает только для пандиагональных квадратов нечётных порядков.

Это преобразование есть у Россера. Так что оно открыто в 1939 году.

Вроде в теме "Prime Sums" касались этого преобразования. Выяснилось, как я помню, что у Россера нет именно такого преобразования в чистом виде, но его можно скомбинировать из других преобразований.
У меня преобразование "строки-диагонали" превращает пандиагональный квадрат нечётного порядка в пандиагональный квадрат.
Сейчас посмотрела в статье svb, у него преобразование превращает обратимый (примитивный) квадрат 5х5 в пандиагональный. Ну, это мы видим у Россера, конечно, в чистом виде, однако не для всех нечётных порядков (только для порядков, являющихся простыми числами)! Не знаю, как у svb; он написал, что для чётных порядков такое преобоазование не работает. А для составных нечётных порядков?

В моей книге "Волшебный мир магических квадратов" показано преобразование "строки-диагонали" для квадрата 9-го порядка. Красивая иллюстрация, сейчас скопирую
В статье, которую привёл dimkadimon, это преобразование показано для порядка 7.

-- Ср авг 21, 2013 09:14:29 --

Вот преобразование "строки-диагонали" для квадрата 9-го порядка:



Pavlovsky
в статье Россера есть преобразование, которое может превратить исходный пандиагональный квадрат 9-го порядка (как в моём примере) в пандиагональный квадрат так, чтобы все строки исходного квадрата перешли в диагонали (и все столбцы исходного квадрата тоже переходят в диагонали)?
Мне стало любопытно, как оно выглядит у Россера
У меня преобразование в матричной форме.

[Cама я статью Россера знаю очень плохо, только отдельные моменты старалась подробно освоить, эти моменты описаны в моих статьях.]

[Pavlovsky]

Теорема 3.3 преобразование Q

[Nataly-Mak]

Сейчас посмотрю, спасибо.

Вот преобразование из статьи svb:



-- Ср авг 21, 2013 09:36:21 --

Это?



Если честно, пока ничего не поняла. Преобразование Q вижу.
И что, вот это самое преобразование Q эквивалентно моему преобразованию для квадрата 9-го порядка, показанному выше? Надо проверить

Там ещё несколько преобразований написаны.
С чем всё это надо кушать, я без понятия.

[Pavlovsky]

whitefox уже давал вам ответ на этот вопрос:
post644762.html#p644762

[dimkadimon]

Может кто поможет с общей формулой для обычного магического квадрата 7х7? У меня нет математических пакетов которые могут это сделать. Вот система из 16 уравнений. Она состоит из 30ти известных (а) и 19ти неизвестных (х) и магической суммы S:

S=a00+a01+a02+a03+a04+a05+x06
S=a10+a11+a12+a13+a14+a15+x16
S=a20+a21+a22+a23+a24+a25+x26
S=a30+a31+a32+a33+a34+a35+x36
S=a40+a41+a42+a43+a44+a45+x46
S=x50+x51+x52+x53+x54+x55+x56
S=x60+x61+x62+x63+x64+x65+x66
S=a00+a10+a20+a30+a40+x50+x60
S=a01+a11+a21+a31+a41+x51+x61
S=a02+a12+a22+a32+a42+x52+x62
S=a03+a13+a23+a33+a43+x53+x63
S=a04+a14+a24+a34+a44+x54+x64
S=a05+a15+a25+a35+a45+x55+x65
S=x06+x16+x26+x36+x46+x56+x66
S=a00+a11+a22+a33+a44+x55+x66
S=x06+a15+a24+a33+a42+x51+x60

[Nataly-Mak]

Pavlovsky в сообщении #756329 писал(а):

whitefox уже давал вам ответ на этот вопрос:
post644762.html#p644762

Ага, так я это помню
whitefox и писал, как я помню, что преобразования такого в чистом виде у Россера нет, но его можно скомбинировать. Так? Или я неправильно запомнила?
Сейчас гляну

А по поводу преобразования Q что скажете?

-- Ср авг 21, 2013 09:47:36 --

Правильный ответ whitefox в этом посте:

whitefox в сообщении #644783 писал(а):

Форма записи не моя, а Россера.

$$T=\begin{Vmatrix} a &c\\b&d\end{Vmatrix}$$

Означает, что квадрат $A$ преобразуется в квадрат $B$ по правилу:

$$B(i',j')=A(ai+cj,bi+dj)$$

В прошлом посте я ошибся, вместо преобразования Россера $Q$ нужно взять преобразование $Q'=\begin{Vmatrix} -1 &1\\-1&-1\end{Vmatrix}$.

Сначала применим преобразование $Q'$, получим матрицу индексов:

00 14 23 32 41
44 03 12 21 30
33 42 01 10 24
22 31 40 04 13
11 20 34 43 02

Теперь применим преобразование $S_2$, получим:

00 23 41 14 32
33 01 24 42 10
11 34 02 20 43
44 12 30 03 21
22 40 13 31 04

Что полностью соответствует матрице индексов Вашего преобразования "строки диагонали".

Как видим, действительно, комбинация двух преобразований.
И это пример для квадрата 5-го порядка, то есть порядок является простым числом.
Мало интересно.
Для квадрата 9-го порядка whitefox не давал мне ответ на этот вопрос.
А вы дадите?

Думаю, что одним преобразованием Q не справиться с моим примером для квадрата 9-го порядка. Нужно опять делать какую-то комбинацию преобразований. Какую?
У меня же не комбинация преобразований, а одно матричное преобразование.

*Ушёл * И кто же мне теперь даст ответ

-- Ср авг 21, 2013 10:03:12 --

svb, ау!

Если преобразование в вашей статье, которое я здесь показала, имеет отношение к Теореме 3.3 Россера, тогда почему оно у вас работает только для нечётных n, а у Россера написано, что оно работает для всех n>=4?

-- Ср авг 21, 2013 10:36:17 --

dimkadimon в сообщении #756330 писал(а):

Вот система из 16 уравнений. Она состоит из 30ти известных (а) и 19ти неизвестных (х) и магической суммы S:

Уравнений действительно будет 16: сумма элементов в 7 строках, в 7 столбцах и в двух главных диагоналях.
Только что значит "30ти известных (а) и 19-ти неизвестных (х)"
Все элементы квадрата есть неизвестные величины в общей формуле квадрата (их ровно 49 в квадрате 7-го порядка); только одни из них свободные, а другие зависимые.
Вы уже точно знаете, что свободных переменных будет 30? Это вы свободные переменные называете известными?

В показанной мной выше формуле 34 переменных свободные и 15 - зависимые. Но я не знаю, правильно ли это. Может быть, свободных переменных будет меньше, если решить систему уравнений.

[Nataly-Mak]

Хе-х...
сейчас проверила квадрат справа на иллюстрации svb, он вообще-то даже не магический, а полумагический (нет нужных сумм элементов в главных диагоналях).
Так что, к моему преобразованию "строки-диагонали" это преобразование svb точно не имеет никакого отношения.

Какие квадраты в какие квадраты преобразовывает преобразование, описанное в Теореме 3.3 Россера, я так и не поняла. Имеет ли это отношение к преобразованию "строки-диагонали", - загадка
Pavlovsky написал, что преобразование Q из этой теоремы и выполняет преобразование "строки-диагонали". Так ли это? Я сильно подозреваю, что это неправильное утверждение.

-- Ср авг 21, 2013 11:43:17 --

Nataly-Mak в сообщении #756328 писал(а):

Преобразование Q вижу.
И что, вот это самое преобразование Q эквивалентно моему преобразованию для квадрата 9-го порядка, показанному выше? Надо проверить

Проверила. В самом деле, преобразование Q превратило мой исходный пандиагональный квадрат 9-го порядка в пандиагональный квадрат и при этом все строки превратились в диагонали, правда не точно так, как в моём пример.

Вот какой пандиагональный квадрат я получила преобразованием Q, применённым к приведённому пандиагональному квадрату 9-го порядка:

27 39 62 20 43 55 22 41 60
67 50 6 72 48 8 65 52 1
11 79 28 13 77 33 18 75 35
63 21 44 56 25 37 58 23 42
4 68 51 9 66 53 2 70 46
29 16 73 31 14 78 36 12 80
45 57 26 38 61 19 40 59 24
49 5 69 54 3 71 47 7 64
74 34 10 76 32 15 81 30 17

Тогда возникает вопрос, почему для квадрата 5-го порядка whitefox показал комбинацию преобразований, а не одно преобразование? Вроде тоже нечётный порядок.

И следующий вопрос: у меня преобразование "строки-диагонали" работает только для нечётных порядков; для чётных порядков я не смогла найти аналогичное преобразование.
Теорема 3.3 Россера утверждает, что преобразование, описанное в этой теореме, работает для всех порядков n>=4.
Значит ли это, что для чётных порядков тоже есть преобразование "строки-диагонали"? Это уже становится очень интересно

P.S. Если полученный преобразованием Q пандиагональный квадрат перенести на торе и затем отразить относительно вертикальной оси симметрии, то получится точно такой же квадрат, как в моём примере.
Ай-да Россер, ну как он додумался до моего преобразования

[dimkadimon]

Nataly-Mak в сообщении #756331 писал(а):

Все элементы квадрата есть неизвестные величины в общей формуле квадрата (их ровно 49 в квадрате 7-го порядка); только одни из них свободные, а другие зависимые.
Вы уже точно знаете, что свободных переменных будет 30? Это вы свободные переменные называете известными?

В показанной мной выше формуле 34 переменных свободные и 15 - зависимые. Но я не знаю, правильно ли это. Может быть, свободных переменных будет меньше, если решить систему уравнений.

Да я свободные называю известными. Я не уверен что будет 30 свободных, я просто решил попробовать. Даже не знаю как узнать минимальное количество свободных элементов?

[Nataly-Mak]

dimkadimon в сообщении #756343 писал(а):

Я не уверен что будет 30 свободных, я просто решил попробовать. Даже не знаю как узнать минимальное количество свободных элементов?

Ну, чтобы это узнать, достаточно решить систему уравнений.
К сожалению, не могу вам помочь, сама всегда прошу dmd решить систему.

[Pavlovsky]

Nataly-Mak в сообщении #756339 писал(а):

Значит ли это, что для чётных порядков тоже есть преобразование "строки-диагонали"? Это уже становится очень интересно

Внимательно читайте теорему 3.3. Преобразование Q работает только для нечетных порядков.

[Nataly-Mak]

Я очень внимательно читаю, но не понимаю. Там несколько преобразований написано, а не только преобразование Q.
Вся Теорема 3.3, как мне удаётся понять, описывает какое-то преобразование, которое работает для любых порядков n>=4. Что это за преобразование Как я понимаю, оно комбинированное, но как оно комбинируется и что оно вообще делает, не понимаю.

Если вы в этом разобрались, давно дали бы развёрнутый ответ, а не тыкали носом в теорему, которую я не могу понять. Хочу понять, но не могу. У вас такого не бывает разве?

Может быть, даже так: в теореме описан просто ряд различных преобразований, независимых друг от друга, которые переводят... что во что?

Кажется, понимаю, что во что переводят: пандиагональный квадрат в пандиагональный квадрат ("набор строк, столбцов и два набора диагоналей").
Вроде проясняется, перечислены преобразования, которые могут перевести данный пандиагональный квадрат в другой пандиагональный квадрат с тем же набором чисел в строках, столбцах и диагоналях двух направлений, хотя и не в том же самом порядке.

[Pavlovsky]

Nataly-Mak в сообщении #756339 писал(а):

Значит ли это, что для чётных порядков тоже есть преобразование "строки-диагонали"?

Согласно теореме 3.3, для четных порядков, преобразования строки-диагонали не существует.

[Nataly-Mak]

Ну, и тут Россер молодец!
Согласно моим исследованиям преобразования "строки-диагонали" для пандиагональных квадратов чётных порядков тоже не существует.

[Pavlovsky]

Nataly-Mak в сообщении #756348 писал(а):

Кажется, понимаю, что во что переводят: пандиагональный квадрат в пандиагональный квадрат ("набор строк, столбцов и два набора диагоналей").
Вроде проясняется, перечислены преобразования, которые могут перевести данный пандиагональный квадрат в другой пандиагональный квадрат с тем же набором чисел в строках, столбцах и диагоналях двух направлений, хотя и не в том же самом порядке.

Все очень правильно поняли.
Может следующее облегчит дальнейшее понимание:
1) Преобразования L,M это сдвиг на торе. L двигает по вертикали, M двигает по горизонтали.
2) Преобразование O это зеркальное отражение относительно вертикальной линии. Правда не совсем чистое. Чтобы получить зеркальное отражение относительно центральной вертикальной линии квадрата, надо еще добавить переонсы на торе.
3) Преобразование P зеркальное отражение относительно диагонали. Тоже не совсем чистое, надо добавить переносы на торе.
4) Преобразование S состав чисел во всех строках, столбцах и диагоналях остается тем же, но меняется порядок их следования
5) Преобразование Q переводит строки,столбцы в диагонали и наоборот. Доступно только для нечетных порядков.

В теореме утвержается, что все преобразования вида:

Nataly-Mak в сообщении #756348 писал(а):

Кажется, понимаю, что во что переводят: пандиагональный квадрат в пандиагональный квадрат ("набор строк, столбцов и два набора диагоналей").
Вроде проясняется, перечислены преобразования, которые могут перевести данный пандиагональный квадрат в другой пандиагональный квадрат с тем же набором чисел в строках, столбцах и диагоналях двух направлений, хотя и не в том же самом порядке.

Являются комбинацией вышеописанных преобразований.

[Nataly-Mak]

Ну, теперь, когда уже "всё правильно поняла", можно дальше и не понимать
Но лучше поздно, чем никогда.
Преобразования S я поняла ещё в диалоге с whitefox. Такие преобразования в моих исследованиях тоже есть. Единственное, что я не знала: преобразование "строки-диагонали" - это в чистом виде преобразование Q. Я думала (судя по сообщению whitefox), что такое преобразование можно получить только комбинацией двух преобразований.
Теперь сделала сама преобразование Q и убедилась, что оно сразу даёт преобразование "строки-диагонали".

-- Ср авг 21, 2013 13:13:17 --

dimkadimon в сообщении #756330 писал(а):

Может кто поможет с общей формулой для обычного магического квадрата 7х7? У меня нет математических пакетов которые могут это сделать. Вот система из 16 уравнений.

Кстати, есть один нюанс, который я заметила совсем недавно.
Если мы имеем магический квадрат порядка n и описываем его, то:
описав сумму элементов в (n-1) строке, совсем не обязательно писать сумму элементов в n-ой строке, ибо это уравнение уже автоматически следует из первых (n-1) уравнений.
То же самое для столбцов.
Таким образом, для магического квадрата 7-го порядка уравнений будет не 16, а 14.