2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39 ... 67  След.
 
 Re: Дьявольские магические квадраты из простых чисел
Сообщение21.08.2013, 08:02 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
Pavlovsky в сообщении #756313 писал(а):
Nataly-Mak в сообщении #756311 писал(а):
Кстати, в статье показано ещё одно очень интересное преобразование, которое я назавала "строки-диагонали" (см. рис. 6). Это преобразование открыла, работая с пандиагональными квадратами 5-го порядка. Оно работает только для пандиагональных квадратов нечётных порядков.


Это преобразование есть у Россера. Так что оно открыто в 1939 году.

Вроде в теме "Prime Sums" касались этого преобразования. Выяснилось, как я помню, что у Россера нет именно такого преобразования в чистом виде, но его можно скомбинировать из других преобразований.
У меня преобразование "строки-диагонали" превращает пандиагональный квадрат нечётного порядка в пандиагональный квадрат.
Сейчас посмотрела в статье svb, у него преобразование превращает обратимый (примитивный) квадрат 5х5 в пандиагональный. Ну, это мы видим у Россера, конечно, в чистом виде, однако не для всех нечётных порядков (только для порядков, являющихся простыми числами)! Не знаю, как у svb; он написал, что для чётных порядков такое преобоазование не работает. А для составных нечётных порядков?

В моей книге "Волшебный мир магических квадратов" показано преобразование "строки-диагонали" для квадрата 9-го порядка. Красивая иллюстрация, сейчас скопирую :roll:
В статье, которую привёл dimkadimon, это преобразование показано для порядка 7.

-- Ср авг 21, 2013 09:14:29 --

Вот преобразование "строки-диагонали" для квадрата 9-го порядка:

Изображение

Pavlovsky
в статье Россера есть преобразование, которое может превратить исходный пандиагональный квадрат 9-го порядка (как в моём примере) в пандиагональный квадрат так, чтобы все строки исходного квадрата перешли в диагонали (и все столбцы исходного квадрата тоже переходят в диагонали)?
Мне стало любопытно, как оно выглядит у Россера :?
У меня преобразование в матричной форме.

[Cама я статью Россера знаю очень плохо, только отдельные моменты старалась подробно освоить, эти моменты описаны в моих статьях.]

 Профиль  
                  
 
 Re: Дьявольские магические квадраты из простых чисел
Сообщение21.08.2013, 08:25 
Аватара пользователя


21/02/10
1594
Екатеринбург
Теорема 3.3 преобразование Q

 Профиль  
                  
 
 Re: Дьявольские магические квадраты из простых чисел
Сообщение21.08.2013, 08:28 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
Сейчас посмотрю, спасибо.

Вот преобразование из статьи svb:

Изображение

-- Ср авг 21, 2013 09:36:21 --

Это?

Изображение

Если честно, пока ничего не поняла. Преобразование Q вижу.
И что, вот это самое преобразование Q эквивалентно моему преобразованию для квадрата 9-го порядка, показанному выше? Надо проверить :wink:

Там ещё несколько преобразований написаны.
С чем всё это надо кушать, я без понятия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дьявольские магические квадраты из простых чисел
Сообщение21.08.2013, 08:36 
Аватара пользователя


21/02/10
1594
Екатеринбург
whitefox уже давал вам ответ на этот вопрос:
post644762.html#p644762

 Профиль  
                  
 
 Re: Дьявольские магические квадраты из простых чисел
Сообщение21.08.2013, 08:38 
Аватара пользователя


01/06/12
845
Adelaide, Australia
Может кто поможет с общей формулой для обычного магического квадрата 7х7? У меня нет математических пакетов которые могут это сделать. Вот система из 16 уравнений. Она состоит из 30ти известных (а) и 19ти неизвестных (х) и магической суммы S:

S=a00+a01+a02+a03+a04+a05+x06
S=a10+a11+a12+a13+a14+a15+x16
S=a20+a21+a22+a23+a24+a25+x26
S=a30+a31+a32+a33+a34+a35+x36
S=a40+a41+a42+a43+a44+a45+x46
S=x50+x51+x52+x53+x54+x55+x56
S=x60+x61+x62+x63+x64+x65+x66
S=a00+a10+a20+a30+a40+x50+x60
S=a01+a11+a21+a31+a41+x51+x61
S=a02+a12+a22+a32+a42+x52+x62
S=a03+a13+a23+a33+a43+x53+x63
S=a04+a14+a24+a34+a44+x54+x64
S=a05+a15+a25+a35+a45+x55+x65
S=x06+x16+x26+x36+x46+x56+x66
S=a00+a11+a22+a33+a44+x55+x66
S=x06+a15+a24+a33+a42+x51+x60

 Профиль  
                  
 
 Re: Дьявольские магические квадраты из простых чисел
Сообщение21.08.2013, 08:41 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
Pavlovsky в сообщении #756329 писал(а):
whitefox уже давал вам ответ на этот вопрос:
post644762.html#p644762

Ага, так я это помню :D
whitefox и писал, как я помню, что преобразования такого в чистом виде у Россера нет, но его можно скомбинировать. Так? Или я неправильно запомнила?
Сейчас гляну :?

А по поводу преобразования Q что скажете?

-- Ср авг 21, 2013 09:47:36 --

Правильный ответ whitefox в этом посте:

whitefox в сообщении #644783 писал(а):
Форма записи не моя, а Россера.$$T=\begin{Vmatrix} a &c\\b&d\end{Vmatrix}$$Означает, что квадрат $A$ преобразуется в квадрат $B$ по правилу:$$B(i',j')=A(ai+cj,bi+dj)$$

В прошлом посте я ошибся, вместо преобразования Россера $Q$ нужно взять преобразование $Q'=\begin{Vmatrix} -1 &1\\-1&-1\end{Vmatrix}$.

Сначала применим преобразование $Q'$, получим матрицу индексов:
Код:
00 14 23 32 41
44 03 12 21 30
33 42 01 10 24
22 31 40 04 13
11 20 34 43 02
Теперь применим преобразование $S_2$, получим:
Код:
00 23 41 14 32
33 01 24 42 10
11 34 02 20 43
44 12 30 03 21
22 40 13 31 04

Что полностью соответствует матрице индексов Вашего преобразования "строки диагонали".

Как видим, действительно, комбинация двух преобразований.
И это пример для квадрата 5-го порядка, то есть порядок является простым числом.
Мало интересно.
Для квадрата 9-го порядка whitefox не давал мне ответ на этот вопрос.
А вы дадите? :wink:

Думаю, что одним преобразованием Q не справиться с моим примером для квадрата 9-го порядка. Нужно опять делать какую-то комбинацию преобразований. Какую?
У меня же не комбинация преобразований, а одно матричное преобразование.

*Ушёл :-( * И кто же мне теперь даст ответ :D

-- Ср авг 21, 2013 10:03:12 --

svb, ау!

Если преобразование в вашей статье, которое я здесь показала, имеет отношение к Теореме 3.3 Россера, тогда почему оно у вас работает только для нечётных n, а у Россера написано, что оно работает для всех n>=4?

-- Ср авг 21, 2013 10:36:17 --

dimkadimon в сообщении #756330 писал(а):
Вот система из 16 уравнений. Она состоит из 30ти известных (а) и 19ти неизвестных (х) и магической суммы S:

Уравнений действительно будет 16: сумма элементов в 7 строках, в 7 столбцах и в двух главных диагоналях.
Только что значит "30ти известных (а) и 19-ти неизвестных (х)" :?:
Все элементы квадрата есть неизвестные величины в общей формуле квадрата (их ровно 49 в квадрате 7-го порядка); только одни из них свободные, а другие зависимые.
Вы уже точно знаете, что свободных переменных будет 30? Это вы свободные переменные называете известными?

В показанной мной выше формуле 34 переменных свободные и 15 - зависимые. Но я не знаю, правильно ли это. Может быть, свободных переменных будет меньше, если решить систему уравнений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дьявольские магические квадраты из простых чисел
Сообщение21.08.2013, 10:10 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
Хе-х...
сейчас проверила квадрат справа на иллюстрации svb, он вообще-то даже не магический, а полумагический (нет нужных сумм элементов в главных диагоналях).
Так что, к моему преобразованию "строки-диагонали" это преобразование svb точно не имеет никакого отношения.

Какие квадраты в какие квадраты преобразовывает преобразование, описанное в Теореме 3.3 Россера, я так и не поняла. Имеет ли это отношение к преобразованию "строки-диагонали", - загадка :D
Pavlovsky написал, что преобразование Q из этой теоремы и выполняет преобразование "строки-диагонали". Так ли это? Я сильно подозреваю, что это неправильное утверждение.

-- Ср авг 21, 2013 11:43:17 --

Nataly-Mak в сообщении #756328 писал(а):
Преобразование Q вижу.
И что, вот это самое преобразование Q эквивалентно моему преобразованию для квадрата 9-го порядка, показанному выше? Надо проверить :wink:

Проверила. В самом деле, преобразование Q превратило мой исходный пандиагональный квадрат 9-го порядка в пандиагональный квадрат и при этом все строки превратились в диагонали, правда не точно так, как в моём пример.

Вот какой пандиагональный квадрат я получила преобразованием Q, применённым к приведённому пандиагональному квадрату 9-го порядка:

Код:
27 39 62 20 43 55 22 41 60
67 50 6 72 48 8 65 52 1
11 79 28 13 77 33 18 75 35
63 21 44 56 25 37 58 23 42
4 68 51 9 66 53 2 70 46
29 16 73 31 14 78 36 12 80
45 57 26 38 61 19 40 59 24
49 5 69 54 3 71 47 7 64
74 34 10 76 32 15 81 30 17

Тогда возникает вопрос, почему для квадрата 5-го порядка whitefox показал комбинацию преобразований, а не одно преобразование? Вроде тоже нечётный порядок.

И следующий вопрос: у меня преобразование "строки-диагонали" работает только для нечётных порядков; для чётных порядков я не смогла найти аналогичное преобразование.
Теорема 3.3 Россера утверждает, что преобразование, описанное в этой теореме, работает для всех порядков n>=4.
Значит ли это, что для чётных порядков тоже есть преобразование "строки-диагонали"? Это уже становится очень интересно :D

P.S. Если полученный преобразованием Q пандиагональный квадрат перенести на торе и затем отразить относительно вертикальной оси симметрии, то получится точно такой же квадрат, как в моём примере.
Ай-да Россер, ну как он додумался до моего преобразования :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Дьявольские магические квадраты из простых чисел
Сообщение21.08.2013, 10:48 
Аватара пользователя


01/06/12
845
Adelaide, Australia
Nataly-Mak в сообщении #756331 писал(а):
Все элементы квадрата есть неизвестные величины в общей формуле квадрата (их ровно 49 в квадрате 7-го порядка); только одни из них свободные, а другие зависимые.
Вы уже точно знаете, что свободных переменных будет 30? Это вы свободные переменные называете известными?

В показанной мной выше формуле 34 переменных свободные и 15 - зависимые. Но я не знаю, правильно ли это. Может быть, свободных переменных будет меньше, если решить систему уравнений.


Да я свободные называю известными. Я не уверен что будет 30 свободных, я просто решил попробовать. Даже не знаю как узнать минимальное количество свободных элементов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дьявольские магические квадраты из простых чисел
Сообщение21.08.2013, 10:57 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
dimkadimon в сообщении #756343 писал(а):
Я не уверен что будет 30 свободных, я просто решил попробовать. Даже не знаю как узнать минимальное количество свободных элементов?

Ну, чтобы это узнать, достаточно решить систему уравнений.
К сожалению, не могу вам помочь, сама всегда прошу dmd решить систему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дьявольские магические квадраты из простых чисел
Сообщение21.08.2013, 11:03 
Аватара пользователя


21/02/10
1594
Екатеринбург
Nataly-Mak в сообщении #756339 писал(а):
Значит ли это, что для чётных порядков тоже есть преобразование "строки-диагонали"? Это уже становится очень интересно


Внимательно читайте теорему 3.3. Преобразование Q работает только для нечетных порядков.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дьявольские магические квадраты из простых чисел
Сообщение21.08.2013, 11:21 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
Я очень внимательно читаю, но не понимаю. Там несколько преобразований написано, а не только преобразование Q.
Вся Теорема 3.3, как мне удаётся понять, описывает какое-то преобразование, которое работает для любых порядков n>=4. Что это за преобразование :?: Как я понимаю, оно комбинированное, но как оно комбинируется и что оно вообще делает, не понимаю.

Если вы в этом разобрались, давно дали бы развёрнутый ответ, а не тыкали носом в теорему, которую я не могу понять. Хочу понять, но не могу. У вас такого не бывает разве?

Может быть, даже так: в теореме описан просто ряд различных преобразований, независимых друг от друга, которые переводят... что во что?

Кажется, понимаю, что во что переводят: пандиагональный квадрат в пандиагональный квадрат ("набор строк, столбцов и два набора диагоналей").
Вроде проясняется, перечислены преобразования, которые могут перевести данный пандиагональный квадрат в другой пандиагональный квадрат с тем же набором чисел в строках, столбцах и диагоналях двух направлений, хотя и не в том же самом порядке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дьявольские магические квадраты из простых чисел
Сообщение21.08.2013, 11:44 
Аватара пользователя


21/02/10
1594
Екатеринбург
Nataly-Mak в сообщении #756339 писал(а):
Значит ли это, что для чётных порядков тоже есть преобразование "строки-диагонали"?

Согласно теореме 3.3, для четных порядков, преобразования строки-диагонали не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дьявольские магические квадраты из простых чисел
Сообщение21.08.2013, 11:50 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
Ну, и тут Россер молодец! :D
Согласно моим исследованиям преобразования "строки-диагонали" для пандиагональных квадратов чётных порядков тоже не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дьявольские магические квадраты из простых чисел
Сообщение21.08.2013, 11:57 
Аватара пользователя


21/02/10
1594
Екатеринбург
Nataly-Mak в сообщении #756348 писал(а):
Кажется, понимаю, что во что переводят: пандиагональный квадрат в пандиагональный квадрат ("набор строк, столбцов и два набора диагоналей").
Вроде проясняется, перечислены преобразования, которые могут перевести данный пандиагональный квадрат в другой пандиагональный квадрат с тем же набором чисел в строках, столбцах и диагоналях двух направлений, хотя и не в том же самом порядке.


Все очень правильно поняли. :D
Может следующее облегчит дальнейшее понимание:
1) Преобразования L,M это сдвиг на торе. L двигает по вертикали, M двигает по горизонтали.
2) Преобразование O это зеркальное отражение относительно вертикальной линии. Правда не совсем чистое. Чтобы получить зеркальное отражение относительно центральной вертикальной линии квадрата, надо еще добавить переонсы на торе.
3) Преобразование P зеркальное отражение относительно диагонали. Тоже не совсем чистое, надо добавить переносы на торе.
4) Преобразование S состав чисел во всех строках, столбцах и диагоналях остается тем же, но меняется порядок их следования
5) Преобразование Q переводит строки,столбцы в диагонали и наоборот. Доступно только для нечетных порядков.

В теореме утвержается, что все преобразования вида:
Nataly-Mak в сообщении #756348 писал(а):
Кажется, понимаю, что во что переводят: пандиагональный квадрат в пандиагональный квадрат ("набор строк, столбцов и два набора диагоналей").
Вроде проясняется, перечислены преобразования, которые могут перевести данный пандиагональный квадрат в другой пандиагональный квадрат с тем же набором чисел в строках, столбцах и диагоналях двух направлений, хотя и не в том же самом порядке.

Являются комбинацией вышеописанных преобразований.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дьявольские магические квадраты из простых чисел
Сообщение21.08.2013, 12:07 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
Ну, теперь, когда уже "всё правильно поняла", можно дальше и не понимать :D
Но лучше поздно, чем никогда.
Преобразования S я поняла ещё в диалоге с whitefox. Такие преобразования в моих исследованиях тоже есть. Единственное, что я не знала: преобразование "строки-диагонали" - это в чистом виде преобразование Q. Я думала (судя по сообщению whitefox), что такое преобразование можно получить только комбинацией двух преобразований.
Теперь сделала сама преобразование Q и убедилась, что оно сразу даёт преобразование "строки-диагонали".

-- Ср авг 21, 2013 13:13:17 --

dimkadimon в сообщении #756330 писал(а):
Может кто поможет с общей формулой для обычного магического квадрата 7х7? У меня нет математических пакетов которые могут это сделать. Вот система из 16 уравнений.

Кстати, есть один нюанс, который я заметила совсем недавно.
Если мы имеем магический квадрат порядка n и описываем его, то:
описав сумму элементов в (n-1) строке, совсем не обязательно писать сумму элементов в n-ой строке, ибо это уравнение уже автоматически следует из первых (n-1) уравнений.
То же самое для столбцов.
Таким образом, для магического квадрата 7-го порядка уравнений будет не 16, а 14.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 1005 ]  На страницу Пред.  1 ... 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39 ... 67  След.

Модераторы: Karan, PAV, Toucan, maxal, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group