Дьявольские магические квадраты из простых чисел

[Nataly-Mak]

А вот и сам идеальный квадрат 11-го порядка из произвольных натуральных чисел:

9551 8837 16421 16153 38265 35045 1031 3359 23909 30509 29099
29041 9555 9377 15461 25799 38339 4841 389 22439 24677 32261
29891 131 9629 17729 16229 38279 37565 3551 3373 23985 31817
33569 29117 9569 11897 17981 25813 38415 6149 1181 13019 25469
34337 32411 145 9705 19037 17021 28859 38357 4859 3449 23999
25545 34877 29909 149 12689 19289 25889 38429 8669 3701 13033
14579 35129 33719 221 9719 21557 19541 28873 38433 6167 4241
13109 25559 37397 32429 163 12765 20597 26681 29009 9461 5009
6761 14593 35205 35027 1013 299 22349 20849 28949 38447 8687
6317 13901 16139 38189 33737 239 12779 23117 29201 29023 9537
9479 8069 14669 35219 37547 3533 313 22425 22157 29741 29027

Дырки не считала, их много, но всё-таки простых чисел намного больше.
Построить такой квадрат из различных простых чисел сложно.
Хорошая задача!
Магическая константа представленного квадрата равна 212179. Её разрешается как уменьшать, так и увеличивать, ибо пока нет такого квадрата ни с какой магической константой.
Такой квадрат можно получить из ассоциативного квадрата Стенли 11-го порядка, однако его построить тоже не так-то просто. Я сейчас кручу программу поиска ассоциативного квадрата Стенли 9-го порядка из различных простых чисел. Несмотря на то, что программа работает быстро, решение пока не найдено; в данный момент проверяется константа ассоциативности $K=38774$.

-- Пн авг 19, 2013 10:02:46 --

Pavlovsky в сообщении #755901 писал(а):

Подобрать добавляемую константу, чтобы в 8-ми ячейках получились простые числа это вполне реально. А вот когда 22 единички, то это уже становится маловероятным событием.

Это понятно, что сложная задача; простые задачи я не предлагаю
Я не могу сочинить вручную идеальный квадрат 11-го порядка меньше чем с 22 единичками. Кто-нибудь может?

-- Пн авг 19, 2013 10:09:30 --

Сегодня с утра у dimkadimon хорошо идёт работа

Цитата:

2 10.51 Dmitry Kamenetsky Adelaide, Australia 19 Aug 2013 05:41

[dimkadimon]

Хорошие новости! Есть идеальный 11x11 квадрат с S=0 из 12 единичек. Вот примеры

(Оффтоп)

(0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0),
(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0),
(0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0),
(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0),
(0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0),
(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0),
(0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0),
(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0),
(0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0),
(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0),
(0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0)

(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0),
(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0),
(0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1),
(0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0),
(0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1),
(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0),
(1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0),
(0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0),
(-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0),
(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0),
(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)

(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0),
(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0),
(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0),
(0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1),
(0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0),
(1,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,-1),
(0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0),
(-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0),
(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0),
(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0),
(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)

(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0),
(0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0),
(0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0),
(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0),
(0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0),
(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0),
(0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0),
(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0),
(0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0),
(0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0),
(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)

Если вы сможете найти общий узор в этих квадратах и описать его, тогда я попробую найти идеальныe 11х11 из простых чисел.

Для других N тоже неплохие результаты:

N=5, non-zero=10
N=7, non-zero=12
N=9, non-zero=12
N=11, non-zero=12
N=13, non-zero=12
N=15, non-zero=10 (не ожидал!)
N=17, non-zero=12
N=19, non-zero=12

Я даже подозреваю что для любого нечётного N есть квадрат из 12 единичек или меньше.

[Nataly-Mak]

dimkadimon
действительно, замечательные новости. 12 единичек это уже не 22. Хорошо!

Пока не поняла, что значит "найти общий узор и описать его".
Я ещё и квадраты как следует не рассмотрела Сейчас рассмотрю пристально.

[dimkadimon]

Nataly-Mak в сообщении #755924 писал(а):

Пока не поняла, что значит "найти общий узор и описать его".

Надо найти какую нибудь закономерность чтобы я смог построить все такие квадраты.

[Nataly-Mak]

Рассмотрела первый из приведённых квадратов, он действительно идеальный. Красиво!

Закономерностей пока не вижу. Ну, понятно, что нижняя половинка симметрично (относительно центра квадрата) повторяет верхнюю.
Очевидно и следующее: центральный элемент 0; в центральной строке правая половинка симметрично (относительно центрального элемента) повторяет левую; строка (столбец) может состоять либо из всех нулей, либо из 1 и -1 и остальных нулей, либо из 1,1,-1,-1 и остальных нулей. Ну, эти очевидные вещи мало что дают, наверное.

[Nataly-Mak]

Идеальный квадрат 8-го порядка из различных простых чисел тоже найден мной:

67 59 641 487 617 419 277 73
643 379 227 137 181 263 347 463
53 311 409 613 379 431 293 151
571 557 29 97 157 193 389 647
13 271 467 503 563 631 103 89
509 367 229 281 47 251 349 607
197 313 397 479 523 433 281 17
587 383 241 43 173 19 601 593

Магическая константа равна 2640, константа ассоциативности равна 660.
Минимальность квадрата не доказана.
Здесь задача - не борьба с дырками, так как дырок тут нет. Здесь надо уменьшить магическую константу, если это возможно, либо доказать, что этот квадрат минимальный.

Идеальный квадрат 6-го порядка из различных простых чисел найден maxal, это минимальный квадрат.

103 59 163 233 139 293
229 257 307 131 13 53
283 17 67 173 181 269
61 149 157 263 313 47
277 317 199 23 73 101
37 191 97 167 271 227

$K=330$, $S=990$.

Идеальные квадраты порядков 10, 11 из различных простых чисел пока не найдены.
Предлагаю всем эту нерешённую задачу.

Итак,
для порядков 5, 6 идеальные квадраты найдены минимальные; для порядков 7-9 квадраты найдены, но минимальность не доказана; для порядков $n>9$ идеальные квадраты из различных простых чисел не найдены.

[Nataly-Mak]

Осталось два дня конкурса.

На сайте у Neil Brewer можно было вводить решения и после окончания конкурса.
Кто-нибудь знает: у Al Zimmermann есть такая возможность?

[Pavlovsky]

Да есть. Раздел Submit An Entry доступен и после окончания конкурса. Новые рекорды отражаются в специальном разделе:

No noteworthy solutions have been received since the contest ended.

[Nataly-Mak]

Ну вот и хорошо, значит, новые рекорды не пропадут.
К тому же, после конкурса рекорды можно будет и здесь показывать.

[dimkadimon]

Nataly-Mak, сегодня читал ваши статьи. Оказывается вы знали о базисных квадратах с нулевой суммой еще в 2007 году! Смотрите рис 14 тут: http://www.klassikpoez.narod.ru/mk7.htm

А у вас случайно нет общей формулы для обычного магического квадрата 7х7?

[Nataly-Mak]

А, преобразования "плюс-минус"
Да, интересные преобразования. Но там ведь не 8 единичек, а 14 (то бишь двоек, но это не суть важно - единичек или двоек, или четвёрок).
С 14 единичками для квадрата 7х7 я и сейчас запросто сочиняю такое преобразование, как для пандиагонального, так и для идеального квадрата (выше я показывала преобразование для идеального квадрата 7х7 с 14 единичками).
Это моя ранняя статья, я тогда только-только начинала работать над пандиагональными классическими квадратами. Даже все классические пандиагональные квадраты 5-го порядка дались мне очень непросто. А потом я нашла в Интернете метод латинских квадратов (о котором ещё и не знала); этот метод позволяет построить все классические пандиагональные квадраты 5-го порядка за несколько минут. Я же строила их очень долго. Такова цена недостатка знаний.

Второй вопрос...
У меня есть серия статей "Общие формулы магических квадратов"; я уже не помню, что там есть для квадратов порядка 7, но общей формулы, кажется, нет.
Опишите магический квадрат 7х7 и решите полученную систему уравнений, и будет вам общая формула.

P.S. Кстати, в статье показано ещё одно очень интересное преобразование, которое я назавала "строки-диагонали" (см. рис. 6). Это преобразование открыла, работая с пандиагональными квадратами 5-го порядка. Оно работает только для пандиагональных квадратов нечётных порядков.
В статье svb видела нечто очень похожее на это преобразование. Вот и он его открыл, идя своим путём.

[Pavlovsky]

Nataly-Mak в сообщении #756311 писал(а):

Кстати, в статье показано ещё одно очень интересное преобразование, которое я назавала "строки-диагонали" (см. рис. 6). Это преобразование открыла, работая с пандиагональными квадратами 5-го порядка. Оно работает только для пандиагональных квадратов нечётных порядков.

Это преобразование есть у Россера. Так что оно открыто в 1939 году.

[Nataly-Mak]

Ну да, фишка в том, что я Россера в момент открытия преобразования ещё не читала и даже ничего не знала о нём.
Так мы все открываем уже давно открытое Это однако не умаляет ценность открытия.

[Pavlovsky]

Для меня конкурс уже закончился. Все свои программы остановил. Жаль, многое не удалось реализовать. Прибросил, даже с теми подходами, что у меня есть, реально было набрать 12 баллов. Но времени на написание недостающих модулей и главное на поиск решений по всем N, уже нет.

[Nataly-Mak]

dimkadimon
Посмотрела свои статьи из цикла "Общие формулы магических квадратов".
Из статьи

Цитата:

Теперь представлю общую схему магического квадрата 7-го порядка (рис. 11); предполагается, что магическая константа квадрата задана (либо задан массив из 49 чисел, из которых мы хотим построить магический квадрат).

У меня получилась формула типа 34+15 (то есть 34 свободных переменных и 15 зависимых) при заданной магической константе.

Интересно, сильно ли я ошиблась в количестве зависимых и свободных переменных. Ведь я не решала систему уравнений, описывающую магический квадрат 7-го порядка.