И вновь о соседних кубах...

[nnosipov]

Доказательство всё же напишите.

[alexo2]

В общем, неинтересны все те случаи, когда разность обязана делиться на $a^3$

[nnosipov]

alexo2 в сообщении #755180 писал(а):

В общем, неинтересны все те случаи, когда разность обязана делиться на $a^3$

Чётко сформулируйте утверждение, а потом приведите его доказательство. Пусть в этой теме хоть что-то будет аккуратно сформулировано и доказано.

[alexo2]

Формулировка:
Если $x, y$ являются решением уравнения $x^3+y^3=(y+a)^3$ в натуральных числах, где $a$ – произведение различных простых чисел, то $x, y$ имеют общий множитель $a$.

[nnosipov]

Вот, совсем другое дело. Ждём доказательства.

[alexo2]

С доказательствами тут вот какая "штука" - признаюсь честно, - писать строгое математическое доказательство лично для меня долго и неинтересно. Хотя прекрасно понимаю, что математика основывается, видимо, в основном, на нудной и неинтересной (как минимум, поначалу) работе, которая, однако, необходима.
Зато с "нестрогими" доказательствами у меня "все в порядке". Но, уверен, что уважаемые участники форума их попросту не примут. Дело в том, что многие свои предположения, высказанные на этом и (других форумах) основываются на некоторых НЕДОКАЗАННЫХ строго математически свойствах степенных форм, описанных мною ранее в теме "О ВТФ и не только"...
Честно говоря, я и не пытался их доказывать, а просто "бездоказательно" ими пользуюсь...
Мои "кургузые" попытки представить математическое доказательство вы сами видели в этой теме даже для а=2. Хотя из свойств степенных форм сразу следует, что при любом а отличном от 1 и наличии некоего решения УФ для кубов разность должна обязательно сокращаться на $a^3$.
Также, например, сразу следует, что разность любых пятых степеней не может быть равна кубу. Или то, что разность соседних пятых степеней не равна разности соседних кубов. Или, если говорить о любых простых степенях, получается, что при а=1 должны либо ОДНОВРЕМЕННО выполняться условия бесконечного множества решений с а=1 и существование не более одного такого решения, либо решений не должно быть вовсе...
Ну, и т.д. (там у меня выводов - "как у дурака фантиков").
Некоторые выводы по мере сил я пытался облечь в строгую мат. форму, однако, до конца так ничего и не довел..

Я, собственно, думаю, что раздел "Дискуссионные темы" предполагает некую дискуссию, в том числе, на недоказанные или "полудоказанные" темы, предположения и гипотезы. Стиль же требований предъявить на что бы то ни было сразу строгое математическое доказательство, да ещё и с постоянными попреканиями, мне кажется, больше подходит для раздела "Помогите решить, разобраться"

Спасибо за внимание. Готов к бану, если что нарушил или не выполнил (или не собираюсь выполнять)...

[Someone]

alexo2 в сообщении #755392 писал(а):

Зато с "нестрогими" доказательствами у меня "все в порядке". Но, уверен, что уважаемые участники форума их попросту не примут.

Их математическое сообщество не примет, не только участники форума.

alexo2 в сообщении #755392 писал(а):

Дело в том, что многие свои предположения, высказанные на этом и (других форумах) основываются на некоторых НЕДОКАЗАННЫХ строго математически свойствах степенных форм, описанных мною ранее в теме "О ВТФ и не только"...

То есть, попросту на Ваших догадках, которые очень легко могут оказаться ошибочными.

[nnosipov]

alexo2, всё-таки сочинять аккуратные доказательства полезно, хотя бы для поддержания формы. И потом, это просто приятно --- быть в чём-то уверенным на все 100. Так что получайте удовольствие от написания доказательных текстов, вот и все дела.

В данном случае (я имею в виду Вашу теорему) дела обстоят так. Пусть $p \neq 3$ --- произвольный простой делитель числа $a$. Имеем

$$x^3=3y^2a+3ya^2+a^3.\eqno(*)$$

Отсюда следует, что $x$ делится на $p$ (правая часть кратна $p$, поэтому $x^3$ --- тоже; но $p$ --- простое число, значит, $x$ должен делиться на $p$). Но тогда все члены этого равенства, кроме $3y^2a$, делятся на $p^2$. Значит, и $3y^2a$ тоже делится на $p^2$. Поскольку $p \neq 3$, предположение о том, что $y$ не делится на $p$, сразу ведёт к противоречию (ведь по условию $a$ не может делиться на $p^2$). Таким образом, $y$ тоже (как и $x$) делится на $p$. Теперь уравнение $x^3+y^3=(y+a)^3$ можно сократить на $p^3$ и получить новое уравнение $x_1^3+y_1^3=(y_1+a_1)^3$, к которому применить подобные рассуждения. И так далее. Что осталось ещё сделать? Рассмотреть исключительный случай $p=3$. Здесь нужно слегка изменить рассуждение: теперь все члены равенства $(*)$, кроме $3y^2a$, будут кратны $3^3$, откуда $3y^2a$ --- тоже, а значит, $y$ кратно $3$.

Теперь Вы можете подумать, как ещё можно расширить формулировку теоремы, чтобы этот способ доказательства сработал.

[alexo2]

Someone в сообщении #755403 писал(а):

alexo2 в сообщении #755392 писал(а):

Дело в том, что многие свои предположения, высказанные на этом и (других форумах) основываются на некоторых НЕДОКАЗАННЫХ строго математически свойствах степенных форм, описанных мною ранее в теме "О ВТФ и не только"...

То есть, попросту на Ваших догадках, которые очень легко могут оказаться ошибочными.

Уже и оказывались не раз - но каждый раз в таком случае находилась ошибка в понимании некоторых других свойств (а их-то много!).

nnosipov в сообщении #755404 писал(а):

alexo2, всё-таки сочинять аккуратные доказательства полезно, хотя бы для поддержания формы. И потом, это просто приятно --- быть в чём-то уверенным на все 100. Так что получайте удовольствие от написания доказательных текстов, вот и все дела.

Теперь Вы можете подумать, как ещё можно расширить формулировку теоремы, чтобы этот способ доказательства сработал.

Полностью согласен - приятно, и здОрово, (когда получается ). А вот "расширить" способ - можно по-моему, на ... Ладно, подумаю пока. А то у меня и так хватает неправильных предположений...

-- 17.08.2013, 11:05 --

Собственно, можно "расширить" формулировку теоремы до произведения разных простых а также все возможные варианты с произведениями с квадратами простых чисел, кроме 3...

[Sonic86]

alexo2 в сообщении #755392 писал(а):

С доказательствами тут вот какая "штука" - признаюсь честно, - писать строгое математическое доказательство лично для меня долго и неинтересно. Хотя прекрасно понимаю, что математика основывается, видимо, в основном, на нудной и неинтересной (как минимум, поначалу) работе, которая, однако, необходима.

Какая трогательная история, однако.
Дело в том, что доказательство не есть просто формализация с помощью значков каких-то интуитивных соображений. Это выковывание новых инструментов и отсеивание мусора. Если Ваши соображения неверны или не соответствуют решаемой задаче - Вы ничего не докажете.

[alexo2]

Sonic86 в сообщении #755412 писал(а):

Если Ваши соображения неверны или не соответствуют решаемой задаче - Вы ничего не докажете.

(Оффтоп)

Аксиома, однако...

[nnosipov]

Sonic86 в сообщении #755412 писал(а):

Это выковывание новых инструментов и отсеивание мусора.

Хорошо сказано.

alexo2 в сообщении #755406 писал(а):

Собственно, можно "расширить" формулировку теоремы до произведения разных простых а также все возможные варианты с произведениями с квадратами простых чисел, кроме 3...

Вот это мы и имеем в сухом остатке.

[alexo2]

Тогда новая формулировка (расширенная, обобщенная и чуть подправленная в плане обозначений) будет звучать так:

Если $(X, Y)$ - решение уравнения $x^3+y^3=(y+A)^3$ в натуральных числах, где множителями числа $A$ являются разные простые числа и квадраты простых чисел, кроме $3^2$, то $X, Y$ имеют общий множитель $A$.


Интересно, для остальных простых степеней так же просто? Навскидку думается, что да, только для 5-ой степени, например, будет произведение простых и степеней простых вплоть до 4-ой степени, но, кроме $3^4$ и $5^4$ ...

[shwedka]

alexo2 в сообщении #755423 писал(а):

Тогда новая формулировка (расширенная, обобщенная и чуть подправленная в плане обозначений) будет звучать так:

Если $(X, Y)$ - решение уравнения $x^3+y^3=(y+A)^3$ в натуральных числах, где множителями числа $A$ являются разные простые числа и квадраты простых чисел, кроме $3^2$, то $X, Y$ имеют общий множитель $A$.


Интересно, для остальных простых степеней так же просто? Навскидку думается, что да, только для 5-ой степени, например, будет произведение простых и степеней простых вплоть до 4-ой степени, но, кроме $3^4$ и $5^4$ ...

Все правильное, что Вы тут наговорили, является частным случаем соотношений Барлоу, известных веками.
Почитайте, например, Рибенбойма, стр.117 русского издания.

[alexo2]

shwedka в сообщении #755735 писал(а):

Все правильное, что Вы тут наговорили, является частным случаем соотношений Барлоу, известных веками.
Почитайте, например, Рибенбойма, стр.117 русского издания.

Вот спасибо за ссылку! А то я думал, - как бы это обобщить?...