И вновь о соседних кубах...

[alexo2]

Кстати, легко показать, что если есть гипотетические решения для кубического УФ
$x^3+y^3=(y+a)^3$, то не существует примитивных троек, например, для $a=2$. Видимо, можно доказать это и для любого $a$. Таким образом, доказав отсутствие решений для разности соседних кубов, автоматически будет доказано и для общего утверждения для кубов.

Опять же - как минимум, для а=2 справедливо для всех простых степеней...

[shwedka]

alexo2 в сообщении #754930 писал(а):

Кстати, легко показать, что если есть гипотетические решения для кубического УФ
$x^3+y^3=(y+a)^3$, то не существует примитивных троек, например, для $a=2$. Видимо, можно доказать это и для любого $a$. Таким образом, доказав отсутствие решений для разности соседних кубов, автоматически будет доказано и для общего утверждения для кубов.

Опять же - как минимум, для а=2 справедливо для всех простых степеней...

Не обижайтесь, но по-прежнему не верю.
Приведите Ваше легкое показательство

[alexo2]

(Оффтоп)

Какие обиды, тем более на Вас?..

Для кубов и $a=2$:

Разность любых кубов в данном случае всегда равна:
$2+6b^2$
То есть, всегда найдется такое $b$.
Если представить, что в каком-то случае это будет куб некоего числа, то понятно, что так как число четное, то оно должно делиться на 8.
При $b$ - четном, остаток от деления всегда равен 2. При нечетном же - получается ряд значений разности соседних кубов (1, 7, 19, 37 и т.д.)...

[nnosipov]

Если $x^3+y^3=(y+2)^3$, то $x$ и $y$ должны быть чётными. Сократив всё на $8$, получим уравнение $X^3+Y^3=(Y+1)^3$. Так что случай $a=2$ эквивалентен случаю $a=1$ и потому неинтересен.

[alexo2]

nnosipov в сообщении #754988 писал(а):

Если $x^3+y^3=(y+2)^3$, то $x$ и $y$ должны быть чётными.

Честно говоря не понял как это у Вас сразу следует..
Ну, да ладно.. Можно тоже самое "проделать" и для a=3...
Или это тоже не интересно?..

[nnosipov]

alexo2 в сообщении #754990 писал(а):

Честно говоря не понял как это у Вас сразу следует..

Просто решаем сравнение $x^3+y^3 \equiv (y+2)^3 \pmod{4}$. Это за Вас сделает любая система компьютерной алгебры.

alexo2 в сообщении #754990 писал(а):

Или это тоже не интересно?

Тоже неинтересно, по той же причине.

[alexo2]

А также, насколько я понимаю, неинтересны случаи, где a - любое простое (по той же причине).
Поэтому ранее я и утверждал, что достаточно доказать для разности соседних степеней.

-- 15.08.2013, 21:16 --

А не следует ли отсюда "автоматически", что, например,
случай с суммой соседних кубов не имеет решений?..

[shwedka]

alexo2 в сообщении #755000 писал(а):

А также, насколько я понимаю, неинтересны случаи, где a - любое простое (по той же причине).

станет неинтересно, когда будет доказано

[alexo2]

shwedka в сообщении #755020 писал(а):

станет неинтересно, когда будет доказано

Я потому и постарался назвать аккуратно - "показать". Но для а = 2, 3, 4 и 6 Вы согласны, что доказано, что не существует решений со взаимнопростыми основаниями?..

[nnosipov]

alexo2, возьмите $a=9$, это интересно. А любое $a$, не кратное $9$, неинтересно.

[alexo2]

Совсем запутался - но, ведь, все простые а не кратны 9 "по определению"..
Так "интересны" эти случаи или нет? Shwedka говорит, что "не неинтересны".

[nnosipov]

Но почему рассматривать только простые $a$? Пусть $a$ --- любое натуральное. Так вот, оно будет интересно, если равно единицы или степени тройки с показателем $\geqslant 2$. Во всяком случае, рассмотрение всех остальных $a$ может быть сведено к рассмотрению этих. Вот поэтому они и интересны.

[alexo2]

nnosipov в сообщении #755028 писал(а):

Но почему рассматривать только простые $a$? Пусть $a$ --- любое натуральное. Так вот, оно будет интересно, если равно единицы или степени тройки с показателем $\geqslant 2$. Во всяком случае, рассмотрение всех остальных $a$ может быть сведено к рассмотрению этих. Вот поэтому они и интересны.

Ага, кажется начинаю понимать..
Ладно, подумаем над случаем а=9...

-- 15.08.2013, 22:19 --

Ну, по крайней мере, сразу "навскидку" - опять та же история - разности кубов с основаниями отличными на 9 кратны $9^3$ только когда основания кратны 9-ти... И естественно, после деления и получаются разности сосдних кубов.
А.. они и не "обязаны" делиться на 729!.. Да, тут уже не так просто как с простыми а...

-- 15.08.2013, 22:37 --

В любом случае, при $a=9$ разность "обязана" делиться на 27. После чего приходим к случаю с мЕньшим а (как бы уже доказанному ранее)...

[shwedka]

alexo2 в сообщении #755026 писал(а):

Совсем запутался - но, ведь, все простые а не кратны 9 "по определению"..
Так "интересны" эти случаи или нет? Shwedka говорит, что "не неинтересны".

shwedka этого не говорит.

[nnosipov]

alexo2 в сообщении #755029 писал(а):

В любом случае, при $a=9$ разность "обязана" делиться на 27. После чего приходим к случаю с мЕньшим а (как бы уже доказанному ранее)...

Пишите подробно, ничего не понял.