Док-во Гипотезы Лежандра

[megamix62]

vorvalm в сообщении #753697 писал(а):

У Лежандра несколько гипотез о простых числах. Одна из них:

$p_{n+1}-p_n<\sqrt{p_n},\;\;n>30,$ (К.Прахар,"Распределение простых чисел",стр.14-15)

Из выше сказанного выведите гипотезу Лежандра, хотя у Вас их несколько...

[vorvalm]

Но у вас:

megamix62 в сообщении #752466 писал(а):

Просто результат революционный ...
У меня выполняется при $n>20$,

$$P_{n+1} <P_{n}\sqrt[n]P_{n}<P_{n}+2\sqrt{P_{n}}. $$

[megamix62]

Цитата:

мы видим, что довесок $O(\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}) $ меньше 1
Что касается Вашего "доказательства", то неравенство $(3')$ попросту неверно.

Сравнивая (2) и (2') , Вы утверждаете,что для $O(\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}) $ , т.е. для всех $n$ из некоторой окрестности точки $n_0$ имеет место неравенство
$|f(n)| \leqslant C |\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}|>1 $
неравенство $(3')$ попросту неверно -почему

Цитата:

Так Вы знаете, что означает символ $O$-большое?
Возникает сильное подозрение, что Вы абсолютно этого не понимаете.

$f(n)=O(\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}) $ -при $n\to n_0$, если существует такая константа $C>0$, что для всех $n$ из некоторой окрестности точки $n_0$ имеет место неравенство
$|f(n)| \leqslant C |\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}|$;

Если говорите, что-то у меня неправильно, то аргументируйте ...Вы ж математик

-- 12.08.2013, 15:19 --

vorvalm в сообщении #754111 писал(а):

Но у вас:

megamix62 в сообщении #752466 писал(а):

Просто результат революционный ...
У меня выполняется при $n>20$,

$$P_{n+1} <P_{n}\sqrt[n]P_{n}<P_{n}+2\sqrt{P_{n}}. $$

Берем Гипотезу Лежандра и цитируем...потом берете свое неравенство и показываете , что оно вписывается в Ваше неравенство...жду

[Sender]

megamix62 в сообщении #754130 писал(а):

неравенство $(3')$ попросту неверно -почему

Назовите хотя бы одно $n$, большее $2$, при котором оно выполняется.

[vorvalm]

megamix62 в сообщении #754130 писал(а):

Берем Гипотезу Лежандра и цитируем...потом берете свое неравенство и показываете , что оно вписывается в Ваше неравенство...жду

Никакого "своего" неравенства у меня нет. Я ничего не доказываю.
Я просто вижу, что ваше неравенство в 2 раза хуже, чем у Лежандра (при небольшом расширении ОДЗ).

[megamix62]

Sender в сообщении #754153 писал(а):

megamix62 в сообщении #754130 писал(а):

неравенство $(3')$ попросту неверно -почему

Назовите хотя бы одно $n$, большее $2$, при котором оно выполняется.

см. начало

Цитата:

Теорема1. $P_{n}^{n+1}>P_{n+1}^{n}$ , где $P_{n}-n$-ое простое число

Д-во : Допустим, что справедливо неравенство $P_{n}^{n+1}<P_{n+1}^{n}$

Мы доказываем от противного...и доказываем что $(3')$ неверно...

-- 12.08.2013, 16:46 --

Начнем сначала

28.07.2013 Гипотеза Лежандра (третья проблема Ландау): верно ли, что для всякого натурального числа n между $n^2$ и $(n + 1)^2$ всегда найдётся простое число? Для доказательства гипотезы Лежандра нам достаточно показать, что $P_{n+1}<P_{n}+2\sqrt{P_{n}}$.

Рассмотрим следующую теорему.

Теорема1. $P_{n}^{n+1}>P_{n+1}^{n}$ , где $P_{n}-n$-ое простое число

Доказательство : Докажем от противного.

Допустим, что справедливо неравенство $P_{n}^{n+1}<P_{n+1}^{n}$ логарифмируя получаем

$$(n+1)\cdot\ln(P_{n})<n\cdot\ln(P_{n+1}) . (1)$$

,где

$$\ln(P_{n})=\ln(n)+\ln(\ln(n))+O(\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}). (2)$$

Избавимся в (2) от $O(\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)})$ неравенством

$$\ln(P_{n}) \leqslant\ln(n)+\ln(\ln(n))+1.(2')$$

, которое верно при $n\ge4$

Аналогично для $\ln(P_{n+1})$ будем иметь неравенство

$$\ln(P_{n+1}) \leqslant\ln(n+1)+\ln(\ln(n+1))+1.(2'')$$

при $n\ge4$

Причем из $\ln(n)+\ln(\ln(n))<\ln(n+1)+\ln(\ln(n+1))$

следует

$\ln(n)+\ln(\ln(n))+1<\ln(n+1)+\ln(\ln(n+1))+1$.

Тогда наше неравенство (1) из выше сказанного и учитывая (2′) и (2”) перепишется

$$(n+1)(\ln(n)+\ln(\ln(n))+1)<n(\ln(n+1)+\ln(\ln(n+1))+1).(3)$$

После преобразований (3) перепишем

$$(n+1)(\ln(n)+\ln(\ln(n)))+1<n(\ln(n+1)+\ln(\ln(n+1))).(3')$$

Нам достаточно рассмотреть всего два неравенства для (3′): первое

$$(n+1)\ln(n)<n\ln(n+1)(4)$$

и второе

$$(n+1)\ln(\ln(n))<n\ln(\ln(n+1)).(5)$$

.

и доказать их ошибочность

Первое неравенство неверно, т.к. из неравенства

$${n}^{n+1}>{(n+1)}^{n}$$

логарифмируя получаем

$$(n+1) \ln(n)>n \ln(n+1),(6)$$

Сравнивая (4) и (6) мы приходим к противоречию.

Рассмотрим второе неравенство . Так как. с первым неравенством пришли к противоречию, то чтоб выполнялось (3), должно хотя бы выполнятся второе неравенство (5), т.е

$$(n+1)\ln(\ln(n))<n\ln(\ln(n)),$$

перепишем

$$\frac{\ln(\ln(n))}{n}<\frac{\ln(\ln(n+1))}{n+1}$$

(5′)

Рассмотрим функцию:

$$f(x)=\frac{\ln\ln x}{x} $$

функция $f(x)$ монотонно убывает при $x>x_0$,

что равносильно $f'(x)<0$ при $x>x_0$.

Вычислим функции $f(x)$ производную:

$$f'(x)=\frac{1}{x^2\ln x} - \frac{\ln\ln x}{x^2} $$

Максимум функции $f(x)=\frac{\ln(\ln(x))}{x}, x>1$ выражается через функцию Ламберта:

$$x_{\max}=\exp(\frac{1}{W(x)})\approx 5.8312,$$

так что функция имеет единственный максимум в этом значении и только начиная с него монотонно убывает, то есть. $f'(x)<0$. при $n\ge6$.

Поэтому

$$f(n)>f(n+1) $$

или

$$\frac{\ln(\ln(n))}{n}>\frac{\ln(\ln(n+1))}{n+1}.(7)$$

верно, причём только при $n\ge6$

Сравнивая (7) и (5′) мы приходим противоречию.

Теорема доказана.

[Cash]

Вернемся в самое начало.
Для доказательства неравенства
$f(n)+O(h(n))< g(n)+O(h(n))$
недостаточно показать, что $f(n)<g(n)$.

megamix62 в сообщении #754130 писал(а):

Если говорите, что-то у меня неправильно, то аргументируйте ...Вы ж математик

Я кажется приводил пример Вашей глупости, которую Вы затем при дальнейшем цитировании стыдливо затирали.

Cash в сообщении #754048 писал(а):

Возникает сильное подозрение, что Вы абсолютно этого не понимаете.
Иначе не писали бы глупости типа такого

megamix62 в сообщении #753844 писал(а):

мы видим, что довесок $O(\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}) $ меньше 1 при $n\ge4$

-- Пн авг 12, 2013 19:06:27 --

Проясните 2 момента:
1) Как получена формула

$$\ln(P_{n})=\ln(n)+\ln(\ln(n))+O(\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}). (2)$$

2) неравенство

$$\ln(P_{n}) \leqslant\ln(n)+\ln(\ln(n))+1.(2')$$

, которое верно при $n\ge4$

где доказательство?

[megamix62]

Cash в сообщении #754177 писал(а):

Вернемся в самое начало.
Для доказательства неравенства
$f(n)+O(h(n))< g(n)+O(h(n))$
недостаточно показать, что $f(n)<g(n)$.

megamix62 в сообщении #754130 писал(а):

Если говорите, что-то у меня неправильно, то аргументируйте ...Вы ж математик

Я кажется приводил пример Вашей глупости, которую Вы затем при дальнейшем цитировании стыдливо затирали.

Cash в сообщении #754048 писал(а):

Возникает сильное подозрение, что Вы абсолютно этого не понимаете.
Иначе не писали бы глупости типа такого

megamix62 в сообщении #753844 писал(а):

мы видим, что довесок $O(\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}) $ меньше 1 при $n\ge4$

-- Пн авг 12, 2013 19:06:27 --

Проясните 2 момента:
1) Как получена формула

$$\ln(P_{n})=\ln(n)+\ln(\ln(n))+O(\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}). (2)$$

2) неравенство

$$\ln(P_{n}) \leqslant\ln(n)+\ln(\ln(n))+1.(2')$$

, которое верно при $n\ge4$

где доказательство?

1.grehem_r_knut_d_patashnik_o_konkretnaya_matematika стр.496.(Операции с О)
2. П.Дюсарт стр.4 (4.2) (1002.0442v1.ArXiv.org) (Estimates of Some Functions Over Primes without R.H.
Pierre Dusart)

[Sonic86]

megamix62 в сообщении #754158 писал(а):

Допустим, что справедливо неравенство $P_{n}^{n+1}<P_{n+1}^{n}$ логарифмируя получаем

$$(n+1)\cdot\ln(P_{n})<n\cdot\ln(P_{n+1}) . (1)$$

...

$$\ln(P_{n}) \leqslant\ln(n)+\ln(\ln(n))+1.(2')$$

...

Аналогично для $\ln(P_{n+1})$ ...

$$\ln(P_{n+1}) \leqslant\ln(n+1)+\ln(\ln(n+1))+1.(2'')$$

при $n\ge4$
...
Тогда наше неравенство (1) из выше сказанного и учитывая (2′) и (2”) перепишется

$$(n+1)(\ln(n)+\ln(\ln(n))+1)<n(\ln(n+1)+\ln(\ln(n+1))+1).(3)$$

Т.е. Вы считаете, что если $A<B \ (1), A<C \ (2'), B<D \ (2'')$, то $C<D \ (3)$?
Очень интересно. Надеюсь, что ошибку найдете сами (хотя, что я вру - я даже не надеюсь )

Cash в сообщении #754177 писал(а):

Проясните 2 момента:
1) Как получена формула

$$\ln(P_{n})=\ln(n)+\ln(\ln(n))+O(\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}). (2)$$

2) неравенство

$$\ln(P_{n}) \leqslant\ln(n)+\ln(\ln(n))+1.(2')$$

, которое верно при $n\ge4$

где доказательство?

Можно утверждать, что $\ln(P_{n}) \leqslant\ln(n)+\ln(\ln(n))+1$ при достаточно большом $n$. Но толку от этого нет конечно.
В Кнуте, есс-но, такого вывода нет, а ждать, что ТС снизойдет до предъявления нормальной ссылки на статью с arXiv бесперспективно.

(Оффтоп)

Cash в сообщении #754177 писал(а):

$f(n)+O(h(n))< g(n)+O(h(n))$

Честно говоря, лучше так совсем не писать В общем случае для произвольных $f,g,h$ эта запись некорректна. Ну я вообще, конечно, на меня не обижайтесь

[megamix62]

Ребята читайте внимательно теорему.Распечатайте и возьмите карандаш...

Sonic86
Можно утверждать, что $\ln(P_{n}) \leqslant\ln(n)+\ln(\ln(n))+1$ при достаточно большом $n$. ,
Написали которое верно при $n\ge4$, проверь...

$\ln(P_{n}) \leqslant\ln(n)+\ln(\ln(n))+1$ смотри ниже , ищи если не знаешь я все написал, математик ты или кто

2. П.Дюсарт стр.4 (4.2) (1002.0442v1.ArXiv.org) (Estimates of Some Functions Over Primes without R.H.
Pierre Dusart)
Бери труд и штудируй

[Sonic86]

megamix62 в сообщении #754234 писал(а):

Ребята читайте внимательно теорему.

Товарищ, возьмите учебник за 6-й класс и выучите работу с неравенствами.
В качестве самостоятельной работы докажите, что вывод

Sonic86 в сообщении #754224 писал(а):

если $A<B \ (1), A<C \ (2'), B<D \ (2'')$, то $C<D \ (3)$

неверен.

[megamix62]

Sonic86 в сообщении #754239 писал(а):

megamix62 в сообщении #754234 писал(а):

Ребята читайте внимательно теорему.

Товарищ, возьмите учебник за 6-й класс и выучите работу с неравенствами.
В качестве самостоятельной работы докажите, что вывод

Sonic86 в сообщении #754224 писал(а):

если $A<B \ (1), A<C \ (2'), B<D \ (2'')$, то $C<D \ (3)$

неверен.

Цитата:

Теорема1. $P_{n}^{n+1}>P_{n+1}^{n}$ , где $P_{n}-n$-ое простое число

Доказательство : Докажем от противного.

Допустим, что справедливо неравенство $P_{n}^{n+1}<P_{n+1}^{n}$ логарифмируя получаем

С таким вниманием учебник за 6-й класс не поможет...

[Sonic86]

megamix62 в сообщении #754245 писал(а):

Цитата:

Теорема1. $P_{n}^{n+1}>P_{n+1}^{n}$ , где $P_{n}-n$-ое простое число

Доказательство : Докажем от противного.

Допустим, что справедливо неравенство $P_{n}^{n+1}<P_{n+1}^{n}$ логарифмируя получаем

С таким вниманием учебник за 6-й класс не поможет...

Ааа, т.е. Вы думаете, что если Вы написали слова "Докажем от противного", то Вы можете совершать ошибки в рассуждениях. Ну-ну.

[Deggial]

Вопрос megamix62 отделён в новую тему

[vicvolf]

megamix62 в сообщении #754158 писал(а):

$$\ln(P_{n})=\ln(n)+\ln(\ln(n))+O(\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}). (2)$$

Избавимся в (2) от $O(\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)})$ неравенством

$$\ln(P_{n}) \leqslant\ln(n)+\ln(\ln(n))+1.(2')$$

, которое верно при $n\ge4$

Этот переход не верен. Исходя из определения O - большого вместо 1 в (2') должно быть $C \cdot (\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)})$, где С - постоянная, значение которой может быть любое.