2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Док-во Гипотезы Лежандра
Сообщение12.08.2013, 14:03 
vorvalm в сообщении #753697 писал(а):
У Лежандра несколько гипотез о простых числах. Одна из них:

$p_{n+1}-p_n<\sqrt{p_n},\;\;n>30,$ (К.Прахар,"Распределение простых чисел",стр.14-15)


Из выше сказанного выведите гипотезу Лежандра, хотя у Вас их несколько... :cry:

 
 
 
 Re: Док-во Гипотезы Лежандра
Сообщение12.08.2013, 15:16 
Но у вас:

megamix62 в сообщении #752466 писал(а):
Просто результат революционный ...
У меня выполняется при $n>20$,
$$P_{n+1} <P_{n}\sqrt[n]P_{n}<P_{n}+2\sqrt{P_{n}}. $$

 
 
 
 Re: Док-во Гипотезы Лежандра
Сообщение12.08.2013, 16:15 
Цитата:
мы видим, что довесок $O(\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}) $ меньше 1
Что касается Вашего "доказательства", то неравенство $(3')$ попросту неверно.

Сравнивая (2) и (2') , Вы утверждаете,что для $O(\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}) $ , т.е. для всех $n$ из некоторой окрестности точки $n_0$ имеет место неравенство
$|f(n)| \leqslant C |\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}|>1 $ :?:
неравенство $(3')$ попросту неверно -почему :?:
Цитата:
Так Вы знаете, что означает символ $O$-большое?
Возникает сильное подозрение, что Вы абсолютно этого не понимаете.

$f(n)=O(\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}) $ -при $n\to n_0$, если существует такая константа $C>0$, что для всех $n$ из некоторой окрестности точки $n_0$ имеет место неравенство
$|f(n)| \leqslant C |\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}|$;

Если говорите, что-то у меня неправильно, то аргументируйте ...Вы ж математик :!:

-- 12.08.2013, 15:19 --

vorvalm в сообщении #754111 писал(а):
Но у вас:

megamix62 в сообщении #752466 писал(а):
Просто результат революционный ...
У меня выполняется при $n>20$,
$$P_{n+1} <P_{n}\sqrt[n]P_{n}<P_{n}+2\sqrt{P_{n}}. $$


Берем Гипотезу Лежандра и цитируем...потом берете свое неравенство и показываете , что оно вписывается в Ваше неравенство...жду

 
 
 
 Re: Док-во Гипотезы Лежандра
Сообщение12.08.2013, 16:38 
megamix62 в сообщении #754130 писал(а):
неравенство $(3')$ попросту неверно -почему :?:

Назовите хотя бы одно $n$, большее $2$, при котором оно выполняется.

 
 
 
 Re: Док-во Гипотезы Лежандра
Сообщение12.08.2013, 16:39 
megamix62 в сообщении #754130 писал(а):
Берем Гипотезу Лежандра и цитируем...потом берете свое неравенство и показываете , что оно вписывается в Ваше неравенство...жду

Никакого "своего" неравенства у меня нет. Я ничего не доказываю.
Я просто вижу, что ваше неравенство в 2 раза хуже, чем у Лежандра (при небольшом расширении ОДЗ).

 
 
 
 Re: Док-во Гипотезы Лежандра
Сообщение12.08.2013, 17:11 
Sender в сообщении #754153 писал(а):
megamix62 в сообщении #754130 писал(а):
неравенство $(3')$ попросту неверно -почему :?:

Назовите хотя бы одно $n$, большее $2$, при котором оно выполняется.


см. начало
Цитата:
Теорема1. $P_{n}^{n+1}>P_{n+1}^{n}$ , где $P_{n}-n$-ое простое число

Д-во : Допустим, что справедливо неравенство $P_{n}^{n+1}<P_{n+1}^{n}$

Мы доказываем от противного...и доказываем что $(3')$ неверно... :-)

-- 12.08.2013, 16:46 --

Начнем сначала

28.07.2013 Гипотеза Лежандра (третья проблема Ландау): верно ли, что для всякого натурального числа n между $n^2$ и $(n + 1)^2$ всегда найдётся простое число? Для доказательства гипотезы Лежандра нам достаточно показать, что $P_{n+1}<P_{n}+2\sqrt{P_{n}}$.

Рассмотрим следующую теорему.

Теорема1. $P_{n}^{n+1}>P_{n+1}^{n}$ , где $P_{n}-n$-ое простое число

Доказательство : Докажем от противного.

Допустим, что справедливо неравенство $P_{n}^{n+1}<P_{n+1}^{n}$ логарифмируя получаем$$(n+1)\cdot\ln(P_{n})<n\cdot\ln(P_{n+1}) . (1)$$ ,где$$\ln(P_{n})=\ln(n)+\ln(\ln(n))+O(\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}). (2)$$

Избавимся в (2) от $O(\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)})$ неравенством$$\ln(P_{n}) \leqslant\ln(n)+\ln(\ln(n))+1.(2')$$, которое верно при $n\ge4$

Аналогично для $\ln(P_{n+1})$ будем иметь неравенство

$$\ln(P_{n+1}) \leqslant\ln(n+1)+\ln(\ln(n+1))+1.(2'')$$ при $n\ge4$

Причем из $\ln(n)+\ln(\ln(n))<\ln(n+1)+\ln(\ln(n+1))$

следует

$\ln(n)+\ln(\ln(n))+1<\ln(n+1)+\ln(\ln(n+1))+1$.

Тогда наше неравенство (1) из выше сказанного и учитывая (2′) и (2”) перепишется

$$(n+1)(\ln(n)+\ln(\ln(n))+1)<n(\ln(n+1)+\ln(\ln(n+1))+1).(3)$$

После преобразований (3) перепишем

$$(n+1)(\ln(n)+\ln(\ln(n)))+1<n(\ln(n+1)+\ln(\ln(n+1))).(3')$$

Нам достаточно рассмотреть всего два неравенства для (3′): первое

$$(n+1)\ln(n)<n\ln(n+1)(4)$$

и второе

$$(n+1)\ln(\ln(n))<n\ln(\ln(n+1)).(5)$$.

и доказать их ошибочность

Первое неравенство неверно, т.к. из неравенства $${n}^{n+1}>{(n+1)}^{n}$$ логарифмируя получаем $$(n+1)  \ln(n)>n \ln(n+1),(6)$$

Сравнивая (4) и (6) мы приходим к противоречию.

Рассмотрим второе неравенство . Так как. с первым неравенством пришли к противоречию, то чтоб выполнялось (3), должно хотя бы выполнятся второе неравенство (5), т.е

$$(n+1)\ln(\ln(n))<n\ln(\ln(n)),$$ перепишем $$\frac{\ln(\ln(n))}{n}<\frac{\ln(\ln(n+1))}{n+1}$$ (5′)

Рассмотрим функцию: $$f(x)=\frac{\ln\ln x}{x} $$

функция $f(x)$ монотонно убывает при $x>x_0$,

что равносильно $f'(x)<0$ при $x>x_0$.

Вычислим функции $f(x)$ производную: $$f'(x)=\frac{1}{x^2\ln x} - \frac{\ln\ln x}{x^2} $$

Максимум функции $f(x)=\frac{\ln(\ln(x))}{x}, x>1$ выражается через функцию Ламберта: $$x_{\max}=\exp(\frac{1}{W(x)})\approx 5.8312,$$

так что функция имеет единственный максимум в этом значении и только начиная с него монотонно убывает, то есть. $f'(x)<0$. при $n\ge6$.

Поэтому $$f(n)>f(n+1) $$ или $$\frac{\ln(\ln(n))}{n}>\frac{\ln(\ln(n+1))}{n+1}.(7)$$ верно, причём только при $n\ge6$

Сравнивая (7) и (5′) мы приходим противоречию.

Теорема доказана.

 
 
 
 Re: Док-во Гипотезы Лежандра
Сообщение12.08.2013, 18:00 
Вернемся в самое начало.
Для доказательства неравенства
$f(n)+O(h(n))< g(n)+O(h(n))$
недостаточно показать, что $f(n)<g(n)$.
megamix62 в сообщении #754130 писал(а):
Если говорите, что-то у меня неправильно, то аргументируйте ...Вы ж математик

Я кажется приводил пример Вашей глупости, которую Вы затем при дальнейшем цитировании стыдливо затирали.
Cash в сообщении #754048 писал(а):
Возникает сильное подозрение, что Вы абсолютно этого не понимаете.
Иначе не писали бы глупости типа такого
megamix62 в сообщении #753844 писал(а):
мы видим, что довесок $O(\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}) $ меньше 1 при $n\ge4$



-- Пн авг 12, 2013 19:06:27 --

Проясните 2 момента:
1) Как получена формула
$$\ln(P_{n})=\ln(n)+\ln(\ln(n))+O(\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}). (2)$$
2) неравенство $$\ln(P_{n}) \leqslant\ln(n)+\ln(\ln(n))+1.(2')$$, которое верно при $n\ge4$

где доказательство?

 
 
 
 Re: Док-во Гипотезы Лежандра
Сообщение12.08.2013, 20:08 
Cash в сообщении #754177 писал(а):
Вернемся в самое начало.
Для доказательства неравенства
$f(n)+O(h(n))< g(n)+O(h(n))$
недостаточно показать, что $f(n)<g(n)$.
megamix62 в сообщении #754130 писал(а):
Если говорите, что-то у меня неправильно, то аргументируйте ...Вы ж математик

Я кажется приводил пример Вашей глупости, которую Вы затем при дальнейшем цитировании стыдливо затирали.
Cash в сообщении #754048 писал(а):
Возникает сильное подозрение, что Вы абсолютно этого не понимаете.
Иначе не писали бы глупости типа такого
megamix62 в сообщении #753844 писал(а):
мы видим, что довесок $O(\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}) $ меньше 1 при $n\ge4$



-- Пн авг 12, 2013 19:06:27 --

Проясните 2 момента:
1) Как получена формула
$$\ln(P_{n})=\ln(n)+\ln(\ln(n))+O(\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}). (2)$$
2) неравенство $$\ln(P_{n}) \leqslant\ln(n)+\ln(\ln(n))+1.(2')$$, которое верно при $n\ge4$

где доказательство?


1.grehem_r_knut_d_patashnik_o_konkretnaya_matematika стр.496.(Операции с О)
2. П.Дюсарт стр.4 (4.2) (1002.0442v1.ArXiv.org) (Estimates of Some Functions Over Primes without R.H.
Pierre Dusart) :wink:

 
 
 
 Re: Док-во Гипотезы Лежандра
Сообщение12.08.2013, 20:44 
megamix62 в сообщении #754158 писал(а):
Допустим, что справедливо неравенство $P_{n}^{n+1}<P_{n+1}^{n}$ логарифмируя получаем
$$(n+1)\cdot\ln(P_{n})<n\cdot\ln(P_{n+1}) . (1)$$
...
$$\ln(P_{n}) \leqslant\ln(n)+\ln(\ln(n))+1.(2')$$...

Аналогично для $\ln(P_{n+1})$ ...

$$\ln(P_{n+1}) \leqslant\ln(n+1)+\ln(\ln(n+1))+1.(2'')$$ при $n\ge4$
...
Тогда наше неравенство (1) из выше сказанного и учитывая (2′) и (2”) перепишется

$$(n+1)(\ln(n)+\ln(\ln(n))+1)<n(\ln(n+1)+\ln(\ln(n+1))+1).(3)$$
Т.е. Вы считаете, что если $A<B \ (1), A<C \ (2'), B<D \ (2'')$, то $C<D \ (3)$?
Очень интересно. Надеюсь, что ошибку найдете сами (хотя, что я вру - я даже не надеюсь :-))

Cash в сообщении #754177 писал(а):
Проясните 2 момента:
1) Как получена формула
$$\ln(P_{n})=\ln(n)+\ln(\ln(n))+O(\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}). (2)$$
2) неравенство $$\ln(P_{n}) \leqslant\ln(n)+\ln(\ln(n))+1.(2')$$, которое верно при $n\ge4$

где доказательство?
Можно утверждать, что $\ln(P_{n}) \leqslant\ln(n)+\ln(\ln(n))+1$ при достаточно большом $n$. Но толку от этого нет конечно.
В Кнуте, есс-но, такого вывода нет, а ждать, что ТС снизойдет до предъявления нормальной ссылки на статью с arXiv бесперспективно.

(Оффтоп)

Cash в сообщении #754177 писал(а):
$f(n)+O(h(n))< g(n)+O(h(n))$
Честно говоря, лучше так совсем не писать :roll: В общем случае для произвольных $f,g,h$ эта запись некорректна. Ну я вообще, конечно, на меня не обижайтесь :-)

 
 
 
 Re: Док-во Гипотезы Лежандра
Сообщение12.08.2013, 21:08 
Ребята читайте внимательно теорему.Распечатайте и возьмите карандаш...

Sonic86
Можно утверждать, что $\ln(P_{n}) \leqslant\ln(n)+\ln(\ln(n))+1$ при достаточно большом $n$. ,
Написали которое верно при $n\ge4$, проверь...

$\ln(P_{n}) \leqslant\ln(n)+\ln(\ln(n))+1$ смотри ниже , ищи если не знаешь я все написал, математик ты или кто :?:

2. П.Дюсарт стр.4 (4.2) (1002.0442v1.ArXiv.org) (Estimates of Some Functions Over Primes without R.H.
Pierre Dusart) :facepalm:
Бери труд и штудируй

 
 
 
 Re: Док-во Гипотезы Лежандра
Сообщение12.08.2013, 21:15 
megamix62 в сообщении #754234 писал(а):
Ребята читайте внимательно теорему.
Товарищ, возьмите учебник за 6-й класс и выучите работу с неравенствами. :D
В качестве самостоятельной работы докажите, что вывод
Sonic86 в сообщении #754224 писал(а):
если $A<B \ (1), A<C \ (2'), B<D \ (2'')$, то $C<D \ (3)$
неверен.

 
 
 
 Re: Док-во Гипотезы Лежандра
Сообщение12.08.2013, 21:24 
Sonic86 в сообщении #754239 писал(а):
megamix62 в сообщении #754234 писал(а):
Ребята читайте внимательно теорему.
Товарищ, возьмите учебник за 6-й класс и выучите работу с неравенствами. :D
В качестве самостоятельной работы докажите, что вывод
Sonic86 в сообщении #754224 писал(а):
если $A<B \ (1), A<C \ (2'), B<D \ (2'')$, то $C<D \ (3)$
неверен.


Цитата:
Теорема1. $P_{n}^{n+1}>P_{n+1}^{n}$ , где $P_{n}-n$-ое простое число

Доказательство : Докажем от противного.

Допустим, что справедливо неравенство $P_{n}^{n+1}<P_{n+1}^{n}$ логарифмируя получаем

С таким вниманием учебник за 6-й класс не поможет...

 
 
 
 Re: Док-во Гипотезы Лежандра
Сообщение12.08.2013, 21:32 
megamix62 в сообщении #754245 писал(а):
Цитата:
Теорема1. $P_{n}^{n+1}>P_{n+1}^{n}$ , где $P_{n}-n$-ое простое число

Доказательство : Докажем от противного.

Допустим, что справедливо неравенство $P_{n}^{n+1}<P_{n+1}^{n}$ логарифмируя получаем
С таким вниманием учебник за 6-й класс не поможет...
Ааа, т.е. Вы думаете, что если Вы написали слова "Докажем от противного", то Вы можете совершать ошибки в рассуждениях. Ну-ну. :?

 
 
 
 Re: Док-во Гипотезы Лежандра
Сообщение13.08.2013, 19:59 
Аватара пользователя
 i  Вопрос megamix62 отделён в новую тему

 
 
 
 Re: Док-во Гипотезы Лежандра
Сообщение20.08.2013, 09:43 
megamix62 в сообщении #754158 писал(а):
$$\ln(P_{n})=\ln(n)+\ln(\ln(n))+O(\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}). (2)$$
Избавимся в (2) от $O(\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)})$ неравенством$$\ln(P_{n}) \leqslant\ln(n)+\ln(\ln(n))+1.(2')$$, которое верно при $n\ge4$

Этот переход не верен. Исходя из определения O - большого вместо 1 в (2') должно быть $C \cdot (\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)})$, где С - постоянная, значение которой может быть любое.

 
 
 [ Сообщений: 62 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group