2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В раздел Пургаторий будут перемещены спорные темы (преимущественно псевдонаучного характера), относительно которых администрация приняла решение о нецелесообразности продолжения дискуссии.
Причинами такого решения могут быть, в частности: безграмотность, бессодержательность или псевдонаучный характер темы, нарушение автором принципов ведения дискуссии, принятых на форуме.
Права на добавление сообщений имеют только Модераторы и Заслуженные участники форума.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Док-во Гипотезы Лежандра
Сообщение24.07.2013, 18:05 


29/05/12
239
Т.1 $P_{n}<n\cdot \sqrt{n}$, где $P_{n}$ - $n$ простое число

Д-во методом индукции:

$P_{n+1}<P_{n}+n<n\cdot \sqrt{n}+n<(n+1)\cdot \sqrt{n}<(n+1)\cdot \sqrt{n+1}$

Т.2. $P_{n+1}<P_{n}+2\cdot \sqrt{n+1}$
Д-во:
$P_{n+1}-P_{n}<(n+1)\cdot \sqrt{n+1}-n\cdot \sqrt{n}<n\cdot \sqrt{n+1}+\sqrt{n+1}-n\cdot \sqrt{n}<(n+1)\cdot \sqrt{n}+\sqrt{n+1}-n\cdot \sqrt{n}=\sqrt{n+1}+\sqrt{n}<2\cdot \sqrt{n+1}$


Из т2. вытекает Док-во Гипотезы Лежандра.

 Профиль  
                  
 
 Re: Док-во Гипотезы Лежандра
Сообщение24.07.2013, 18:13 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
megamix62 в сообщении #748910 писал(а):
$P_{n+1}-P_{n}<(n+1)\cdot \sqrt{n+1}-n\cdot \sqrt{n}$
Одинаково направленные неравенства нельзя вычитать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Док-во Гипотезы Лежандра
Сообщение28.07.2013, 22:22 


29/05/12
239
vvv

-- 28.07.2013, 21:24 --

 Профиль  
                  
 
 Re: Док-во Гипотезы Лежандра
Сообщение29.07.2013, 16:41 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 !  megamix62, замечание за подъем темы бессодержательным сообщением

 Профиль  
                  
 
 Re: Док-во Гипотезы Лежандра
Сообщение29.07.2013, 21:05 


29/05/12
239
megamix62 в сообщении #749960 писал(а):
vvv

-- 28.07.2013, 21:24 --


Подробно тут

Теорема1. $P_{n}^{n+1}>P_{n+1}^{n}$ , где $P_{n}-n$-ое простое число

Д-во : Допустим, что справедливо неравенство $P_{n}^{n+1}<P_{n+1}^{n}$

логарифмируя его ,получаем $$(n+1)\cdot\ln(P_{n})<n\cdot\ln(P_{n+1}) . (1)$$

где $$\ln(P_{n})=\ln(n)+\ln(\ln(n))+O(\frac{\ln(n)}{\ln(\ln(n))}). (2)$$

Тогда наше неравенство (1) учитывая (2) перепишется

$$(n+1)(\ln(n)+\ln(\ln(n))+O(\frac{\ln(n)}{\ln(\ln(n))}))<n(\ln(n+1)+\ln(\ln(n+1))+O(\frac{\ln(n+1)}{\ln(\ln(n+1))})).(3)$$

В правой части равенстве (2) "львиная доля" приходится на $\ln(n)$ , $\ln(\ln(n))$ и достаточно рассмотреть с ними два неравенства из (3):

первое
$$(n+1)\ln(n)<n\ln(n+1)(4)$$
и второе
$$(n+1)\ln(\ln(n))<n\ln(\ln(n+1)).(5)$$.

Первое неравенство неверно(4), т.к из неравенства $${n}^{n+1}>{(n+1)}^{n}$$
логарифмируя получаем $$(n+1)  \ln(n)>n \ln(n+1),(6)$$ .
Сравнивая (4) и (6) мы пришли к противоречию.
Рассмотрим второе неравенство(5) .
Т.к. с первым неравенством приходим к противоречию, но чтоб выполнялось (3), должно хотя бы выполнятся второе неравенство (5), т.е
$$(n+1)\ln(\ln(n))<n\ln(\ln(n)),$$ или тоже самое, что
$$\frac{\ln(\ln(n))}{n}<\frac{\ln(\ln(n+1))}{n+1}.(7)$$

Рассмотрим функцию:
$$f(x)=\frac{\ln\ln x}{x} $$
функция $f(x)$ монотонно убывает при $x>x_0$, что равносильно $f'(x)<0$ при $x>x_0$.

Вычислим функции $f(x)$ производную:

$$f'(x)=\frac{1}{x^2\ln x} - \frac{\ln\ln x}{x^2} $$

Максимум функции $f(x)=\frac{\ln(\ln(x))}{x}, x>1$ выражается через функцию Ламберта:
$$x_{\max}=\exp(\frac{1}{W(x)})\approx 5.8312,$$

так что функция имеет единственный максимум в этом значении и только начиная с него монотонно убывает.
Поэтому $$f(n)>f(n+1) $$ или
$$\frac{\ln(\ln(n))}{n}>\frac{\ln(\ln(n+1))}{n+1}.(8)$$
верно, причём только для $n\ge6$

Сравнивая (7) и (8) мы приходим к противоречию.

Теорема доказана.
----------------------------------------------
неравенство $$P_{n}^{n+1}>P_{n+1}^{n}$$ перепишем
$$P_{n+1}<P_{n}\sqrt[n]P_{n}$$
$$P_{n}+2\sqrt{P_{n}} = P_{n}(1+ 2P_{n}^{-0.5})>P_{n}\sqrt[n]P_{n}>P_{n+1}$$ при $n>20$,
$$P_{n+1} <P_{n}\sqrt[n]P_{n}<P_{n}+2\sqrt{P_{n}}. $$
Для $n<20$, достаточно проверить, что между квадратами чисел от 2 до 8 всегда найдётся простое, можно проверить на компьютере.

Тем самым Гипотеза Лежандра доказана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Док-во Гипотезы Лежандра
Сообщение30.07.2013, 11:55 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
megamix62 в сообщении #750316 писал(а):
В правой части равенстве (2) "львиная доля" приходится на $\ln(n)$ , $\ln(\ln(n))$ и достаточно рассмотреть с ними два неравенства из (3)

Недостаточно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Док-во Гипотезы Лежандра
Сообщение30.07.2013, 12:12 


14/01/11
2916
Насколько я могу судить, гипотезу Лежандра можно cформулировать в виде $$ \forall n \in \mathbb{N} \; \lceil \sqrt{P_n}\rceil \geqslant \lfloor \sqrt{P_{n+1}}\rfloor, $$ но в приведённом доказательстве ничего похожего не видно.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение30.07.2013, 16:20 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Дискуссионные темы (М)»
Причина переноса: попытки доказательств разных гипотез обычно находятся в дискуссионных темах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Док-во Гипотезы Лежандра
Сообщение04.08.2013, 12:56 


29/05/12
239
Спасибо Shwedke и Сash...за замечание... :oops:
Обнаружил ошибку в остаточном члене(2) - должно
$$\ln(P_{n})=\ln(n)+\ln(\ln(n))+O(\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}). (2),$$

а было

$$\ln(P_{n})=\ln(n)+\ln(\ln(n))+O(\frac{\ln(n)}{\ln(\ln(n))}). (2)$$

Интересно , что в Доказательстве#2 Tеоремы 1 ошибок не было :!: .
дописываю концовку
----------------------------------------------------------
Рассмотрим в (3) третий член под О, тогда неравенство примет вид

$$(n+1)\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}<n\frac{\ln(\ln(n+1))}{\ln(n+1)}(8)$$

Очевидно $$\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}>\frac{\ln(\ln(n+1))}{\ln(n+1)}$$,

т.к. функция

$$f(x)=\frac{\ln(\ln(x))}{\ln(x)}$$
монотонно убывает при $x>x_0$, что равносильно $f'(x)<0$ при $x>x_0$.
Тогда
$$n\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}>n\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n+1)}$$,
и тем более
$$(n+1)\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}>n\frac{\ln(\ln(n+1))}{\ln(n+1)}(9)$$

Сравнивая неравенства (8) и (9) мы приходим противоречию.

Теорема доказана.

-- 04.08.2013, 12:02 --

Cash в сообщении #750397 писал(а):
megamix62 в сообщении #750316 писал(а):
В правой части равенстве (2) "львиная доля" приходится на $\ln(n)$ , $\ln(\ln(n))$ и достаточно рассмотреть с ними два неравенства из (3)

Недостаточно.



Можно бы контрпример :?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Док-во Гипотезы Лежандра
Сообщение04.08.2013, 17:27 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
Ну, например
$n+1>n$, однако из этого не следует, что
$n+1+\ln \ln n > n + \ln n$, хотя
$\ln n = o(n)$ и $\ln \ln n =o(n)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Док-во Гипотезы Лежандра
Сообщение05.08.2013, 14:40 


29/05/12
239
Cash в сообщении #751833 писал(а):
Ну, например
$n+1>n$, однако из этого не следует, что
$n+1+\ln \ln n > n + \ln n$, хотя
$\ln n = o(n)$ и $\ln \ln n =o(n)$


Хотя бы так
$\ln n$ - тонна(км),
$\ln \ln n $ - кг (м)
$O(\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)})$ - грамм (см)

и тогда...


Неравенство $P_{n}^{n+1}<P_{n+1}^{n}$, анологично ${n}^{n+1}<{(n+1)}^{n}$, т.е.

простые подчиняются тем же законам как и натуральные числа...и "вероятность" к простым числам просто неуместна, там тоже действуют законы более (глубокие) общего порядка...

 Профиль  
                  
 
 Re: Док-во Гипотезы Лежандра
Сообщение05.08.2013, 19:40 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
megamix62 в сообщении #751716 писал(а):
Рассмотрим в (3) третий член под О, тогда неравенство примет вид

$$(n+1)\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}<n\frac{\ln(\ln(n+1))}{\ln(n+1)}(8)$$
Не доказано. И это даже невыводимо из выписанных посылок.
Вообще, ясно что $O\left((n+1)\frac{\ln\ln n}{\ln n}\right)=O\left(n\frac{\ln\ln (n+1)}{\ln (n+1)}\right)$.

Ещё раз объясняю Вам бесполезность использования только асимптотического закона распределения простых чисел для доказательства гипотезы Лежандра:
Если на возрастающую последовательность произвольных вещественных чисел $x_n$ налагается ограничение $C$ вида $x_n=f_M(n)+O\left(\frac{n}{\ln^M n}\right)$, где $\frac{n}{\ln^M n}=o(f_M(n))$, то исходя только из этого нельзя доказать, что $x_{n+1}-x_n=O(n^a), 0<a<1$ просто потому, что можно указать 2 последовательности, удовлетворяющие $C$, для одной из которых $x_{n+1}-x_n=O(n^a), 0<a<1$, а для другой это неверно: первом соотношению удовлетворяет $x_n:=f_M(n)$, а второму - $x_n:=f_M(n)+n^{a+\epsilon}\sin g(n)$..
А поскольку Вы из свойств простых чисел используете только асимптотический закон распределения, то Ваша попытка элементарно эквивалентна вышеописанной, потому бесплодна в принципе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Док-во Гипотезы Лежандра
Сообщение05.08.2013, 23:50 


23/02/12
3110
В работе Pintz, J. "Very large gaps between consecutive primes". J. Number Theory 63 (2): 286–301, 1997 доказано, что для максимального расстояния между соседними простыми числами Pn и Pn+1 – G(Pn) справедливо неравенство $G(P_n)<(P_n)^{u+\varepsilon}.(1)$ для достаточно больших Рn и малых ε, где u=0,525.
Если подставить в (1) $P_n=N^2$, то $G(P_n)<(P_n)^{0,525 \cdot 2}=P_n^{1,05}$.
Так как $(N+1)^2-N^2=2N+1$, то для выполнения гипотезы Лежандра требуется, чтобы для любого N выполнялось неравенство:
$2N+1>N^{1,05}$.
Однако, данное неравенство, выполняется только для N<1000000.
Если бы удалось доказать справедливость неравенства (1) при u=0,5, т.е. меньше всего на 0,025, то из этого следовала бы справедливость более сильной гипотезы, чем Лежандра, что между двумя квадратами соседних натуральных чисел находится, как минимум 2 простых числа.
Однако для доказательства гипотезы Лежандра достаточно доказательство более слабой гипотезы Andrica, что для любого n, для максимального расстояния между соседними простыми числами, выполняется неравенство: $G(P_n)<2(P_n)^{0,5}+1.(2)$ .
Подставляя сюда $P_n=N^2$ получаем $G(P_n)<2N+1$ , т.е. разница между простыми числами меньше разности квадратов соседних натуральных чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Док-во Гипотезы Лежандра
Сообщение06.08.2013, 12:00 


29/05/12
239
Sonic86 в сообщении #752292 писал(а):
megamix62 в сообщении #751716 писал(а):
Рассмотрим в (3) третий член под О, тогда неравенство примет вид

$$(n+1)\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}<n\frac{\ln(\ln(n+1))}{\ln(n+1)}(8)$$
Не доказано. И это даже невыводимо из выписанных посылок.
Вообще, ясно что $O\left((n+1)\frac{\ln\ln n}{\ln n}\right)=O\left(n\frac{\ln\ln (n+1)}{\ln (n+1)}\right)$.

Ещё раз объясняю Вам бесполезность использования только асимптотического закона .


Спасибо за сообщения.

В первую очередь нужно ответить: правильно ли неравенство $P_{n}^{n+1}>P_{n+1}^{n}$ или нет?
Если да - то смотрим док-во , если нет - нечего дальше говорить...
$$P_{n+1} <P_{n}\sqrt[n]P_{n}<P_{n}+2\sqrt{P_{n}}. $$

Нужно проверить !

Во-первых и без О неравенство выполняется (без довеска).

Во-вторых из правил из О

$\frac{\ln\ln n}{\ln n}=O(\frac{\ln\ln (n)}{\ln (n)}).(1)$

$\frac{\ln\ln (n+1)}{\ln (n+1)}=O(\frac{\ln\ln (n+1)}{\ln (n+1)})$.

Во-втретьих
из вашим ясно ,что $O\left((n+1)\frac{\ln\ln n}{\ln n}\right)=O\left(n\frac{\ln\ln (n+1)}{\ln (n+1)}\right)$.
выполняется неравенство (3), хотя оно неверно выходя из (1)

да и примерчик не ахти $x_n=f_M(n)+O\left(\frac{n}{\ln^M n}\right)$,
т.к. у вас возростающая функция, а у меня убывающая смотрим (1).

-- 06.08.2013, 11:10 --

vicvolf в сообщении #752356 писал(а):
В работе Pintz, J. "Very large gaps between consecutive primes". J. Number Theory 63 (2): 286–301, 1997 доказано, что для максимального расстояния между соседними простыми числами Pn и Pn+1 – G(Pn) справедливо неравенство $G(P_n)<(P_n)^{u+\varepsilon}.(1)$ для достаточно больших Рn и малых ε, где u=0,525.
Если подставить в (1) $P_n=N^2$, то $G(P_n)<(P_n)^{0,525 \cdot 2}=P_n^{1,05}$.
Так как $(N+1)^2-N^2=2N+1$, то для выполнения гипотезы Лежандра требуется, чтобы для любого N выполнялось неравенство:


Просто результат революционный ...
У меня выполняется при $n>20$,
$$P_{n+1} <P_{n}\sqrt[n]P_{n}<P_{n}+2\sqrt{P_{n}}. $$

Берем и проверяем :lol:

 Профиль  
                  
 
 Re: Док-во Гипотезы Лежандра
Сообщение06.08.2013, 14:19 


31/12/10
1555
megamix62 в сообщении #752466 писал(а):
Просто результат революционный ...
У меня выполняется при $n>20$,
$$P_{n+1} <P_{n}\sqrt[n]P_{n}<P_{n}+2\sqrt{P_{n}}. $$


Но по гипотезе Лежандра должно быть

$P_{n+1}<P_n+\sqrt{P_n}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 62 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group