Геодезическая на конусе

[Nacuott]

Л.А. Люстерник в своей книге Кратчайшие линии пишет следующее:

Как это?
Имеется в виду, что винтовые линии на конусе не есть геодезические.

[ИСН]

Ну вот так. А что Вас смущает? Есть ли на конусе наклонные геодезические? Есть, конечно. Но эти линии - не они.

[mihailm]

Это почти очевидно. При развертке конуса геодезические должны стать прямыми. Возьмите угол попрямее и конус поплоще.

[ИСН]

Не надо попрямее и поплоще. Просто сделайте развёртку. Из одной точки расходятся лучи (бывшие образующие). Кто-то пересекает их все под одним и тем же углом. Кто это? Прямой ли он?

[Nacuott]

Вот именно развертка. На картинке развертка некоторого конуса и на развертке нарисована прямая линия (красная).
Вопрос:во что превратится красная прямая после сварачивания конуса из развертки.?

[ИСН]

В какую-то кривую. Возможно, она никак не называется. А что?

[mihailm]

Явно не в винтовую линию же. На расстояния посмотрите от вершины конуса до прямой.

[ИСН]

Хрен с ними, с расстояниями. На углы посмотрите же.

-- менее минуты назад --

Ну или да, на расстояния. Не знаю, что для Вас убедительнее.

-- менее минуты назад --

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #752661 писал(а):

Прямой ли он?

Нэт, он логарифмический спирал!

[Nacuott]

Известно, что на на кислородных баллонах на вентилях нарезана коническая резьба.
Так вот - если токарь нарезает резьбу на конусе, какую линию чертит резец на конусе?
P.S. Собственно все ясно, у Люстерника и у меня разные представление о винтовой линии.
У меня -это линия на конусе, которую чертит резец токаря, нарезаующего резьбу на конусе.
У Люстерника - кривая, которая образует равные углы со всеми образующими конуса (по подобию цилиндра).


-- 06.08.2013, 23:26 --

Все-таки, какую линию логичней назвать винтовой на конусе?
Или в обоих случаях - это одна и та же линия?

[Aritaborian]

Коническая винтовая линия удовлетворяет, очевидно, следующим параметрическим уравнениям:
$\begin{cases} x=a t\cos t; \\ y=a t\sin t; \\ z=b t. \end{cases}$
Теперь смотрите сами, кто из вас прав ;-)

[Nacuott]

Aritaborian, вот конус и линия, построенная по вашему уравнению.
Видно, что угол в начале линии (у вершины конуса) и выше с образующей, которую мы видим вертикальной, не один и тот же.
Визуально (и фактически) они различны. Т.е. эта кривая не попадает под определение Люстерника как винтовая.
И второе, такую ли линию вычерчивает резец токарного станка при нарезании резьбы на конусе?

[Алексей К.]

Nacuott в сообщении #753100 писал(а):

И второе, такую ли линию вычерчивает резец токарного станка при нарезании резьбы на конусе?

Считаю, что на развёртке конуса (бесконечной по тому углу, который на развёртке станет полярным), траектория резца должна быть архимедовой (и никак не логарифмической) спиралью. Т.е. соседние витки должны быть приблизительно эквидистантны . Кажется, в модели Aritaborian именно так обстоит дело. Жаль, что я так и не научился с лёгкостию ходить в 3D.

[Nacuott]

Похоже, что так, но тогда эта винтовая не подходит под определение Люстерника

[Nacuott]

Оказывается, что в литературе относительно понятия винтовая коническая линия - полная неразбериха.
Правда, нужно сказать, что математики определяют ее как линию, составляющую одинаковые углы с образующими конуса.
Например: Люстерник, Мищенко с компанией - (в задачнике по дифференциальной геометрии и топологии), Кудрявцев (в задачнике).
В других областях винтовую коническую линию подменяют конической спиралью, в частности, при нарезке резьбы на конусе.
Aritaborian, также привел уравнения конической спирали, а не винтовой конической линии. Общие уравнения винтовой кон.линии сложнее.
Вот картинки и проекции линий на плоскость XOY. Винтовая коническая линия изображена слева.Справа то, что дают уравнения Aritaborian

[nikvic]

Nacuott в сообщении #753733 писал(а):

В других областях винтовую коническую линию подменяют конической спиралью, в частности, при нарезке резьбы на конусе.

Естественное требование для всяких "пробок" - постоянный шаг резьбы.