Научите понимать косинус

[Oleg Zubelevich]

_hum_ в сообщении #749946 писал(а):

На всяком ли нормированном пространстве можно ввести скалярное произведение, которое было бы непрерывным относительно исходной нормы (как функция двух переменных на декартовом произведении пространств)?

заведомо можно на всяком сепарабельном банаховом пространстве, потому, что оно подпространство $C[0,1]$,
а вообще надо подумать

[_hum_]

Oleg Zubelevich

(Оффтоп)

Так а, действительно, почему просто не взять линейный непрерывный функционал $f \in X^*$ и положить $(x,y) ::= f(x)f(y)$. Зачем сепарабельность?

[Otta]

_hum_

(Оффтоп)

Я еще не придумала, но Ваше произведение индефинитно.

[arseniiv]

Oleg Zubelevich в сообщении #749356 писал(а):

arseniiv в сообщении #749342 писал(а):

Одного вектора, чтобы получилось подпространство, мало — если сложить его с началом координат, получится одна точка

с чем с чем надо сложить вектор чтоб получить точку? .

С точкой же. Началом координат, что я и написал. И вы сами это знаете, раз писали после этого определение системы координат. И потом написали совершенно то же, что и я, хотя я, может быть, написал не совсем однозначно (но вроде нет).

bigarcus в сообщении #749371 писал(а):

а что, скажем, число 1 как элемент множества действительных чисел, и число 1 как элемент множества комплексных чисел это разные вещи?

Это зависит от того как их определять, хотя в любом случае поле комплексных чисел содержит подполе, изоморфное полю вещественных (и соответствующие единицы переводятся одна в другую этим изоморфизмом). Обычно строят $\mathbb R$, потом $\mathbb C$ на его основе, потом очевидно $\mathbb R_1 = \{z \in\mathbb C : \operatorname{Im} z = 0\} \sim \mathbb R$.

Munin в сообщении #749377 писал(а):

Впрочем, тут уже столько объясняющих собралось, что им сначала между собой договориться надо, и всё равно будет "у семи нянек дитя без глаза".

+1.

Munin в сообщении #749424 писал(а):

Обычное $\mathbb{R}^2,$ как раз, не аффинное, а векторное.

И векторное, и аффинное, и евклидово векторное, и много какое. И поле, будь понято как $\mathbb C$.

Otta в сообщении #749510 писал(а):

Пусть есть множество упорядоченных пар $X=\{(x_1,x_2) : x_1\in\mathbb{R}, x_2\in\mathbb{R}\}$. Вопрос: является ли это множество векторным пространством? Сперва подумайте, а потом смотрите ответ.

(Оффтоп)

Нет, потому что не определено, как складывать элементы этого множества и как умножать их на число. И на какое число.

Определено ли что-то или нет нами, не меняет истинности никаких выводов. И ведь именно поэтому векторное пространство — не одно только какое-то $V$, а $(V, \text{поле}, \text{операция}_1, \text{операция}_2)$. Хотя вольностью речи можно утащить поле и операции в контекст, об этом не надо забывать; и, по-моему, не стоит так, как выше, писать — можно сложить впечатление, что количество известных операций и множеств что-то меняет в их свойствах.

[_hum_]

Otta

(Оффтоп)

Otta в сообщении #749953 писал(а):

_hum_
Я еще не придумала, но Ваше произведение индефинитно.

Точно. Не обратил внимания. Спасибо.

[Otta]

arseniiv в сообщении #749954 писал(а):

Это выглядит как-то ужасно.

Я согласна, ТС надо было раньше давать вводную о своей подготовке и своих целях. Недостаток информации здорово сбивает с толку. Этого поста бы просто не было.

Цитата:

Определено что-то или нет нами, не меняет истинности никаких выводов. Потому векторное пространство — не одно только какое-то $V$, а $(V, \text{поле}, \text{операция}_1, \text{операция}_2)$.

Ну так я об этом и писала, нет?

[Munin]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #749898 писал(а):

Наука вам будет, не лезьте в математический раздел.

Я и так редко появляюсь в математическом разделе. Но это не значит, что не буду появляться. Когда я могу что-то объяснить человеку из того, что я знаю - я буду. А ваша помощь - в подавляющем большинстве случаев медвежья услуга, так что не вижу, откуда вообще берётся ваше самомнение. Вы хорошим учителем здесь не показываете себя.

-- 28.07.2013 23:21:56 --

bigarcus в сообщении #749918 писал(а):

может с размерностью площади связано, не?

Это верная догадка. При увеличении размеров фигуры в $N$ раз, любые площади (включая площадь поверхности, и т. п.) возрастают в $N^2$ раз, любые объёмы - в $N^3$ раз, и вообще любые $k$-мерные объёмы (если фигура $d$-мерная) - в $N^k$ раз. Это даёт повод к одному из определений размерности. Оказывается, существуют такие фигуры (фракталы), которые возрастают в $N^\kappa$ раз, при каком-то нецелом числе $\kappa.$ Примеры таких фигур (можете легко найти в интернете): ковёр Серпинского, треугольник Серпинского, снежинка Коха, кривая дракона. У них простые определения. Есть и множество Мандельброта, у него более сложное определение. И вообще, фракталов много, и ими занимается отдельный раздел геометрии.

[arseniiv]

Otta в сообщении #749957 писал(а):

Ну так я об этом и писала, нет?

Явно об этом, но если бы читал я, удивился бы, почему свойства вещи (нет операций) меняет свойства множества, в которое она не входит.

[Ales]

Oleg Zubelevich в сообщении #749616 писал(а):

Уравнения прямых плоскостей тоже почему-то в основном пишутся в координатной форме, а не в векторной.

Я, напротив, думаю, что это правильно.
Аналитическая геометрия - это координаты.
А векторы - это линейная алгебра.

-- Вс июл 28, 2013 22:48:03 --

bigarcus в сообщении #749852 писал(а):

я гум. 3 курс
но некоторые курсы слушал на физмате, мало понимал

Как гуманитарий Вы могли бы исследовать историю слов: "косинус" и "функция" (в математическом смысле).

[bigarcus]

arseniiv в сообщении #749954 писал(а):

$(V, \text{поле}, \text{операция}_1, \text{операция}_2)$

так гораздо лучше, спасибо! теперь явно указано, что входит поле. почему так явно в учебниках не пишут?

Munin в сообщении #749958 писал(а):

При увеличении размеров фигуры в $N$ раз, любые площади (включая площадь поверхности, и т. п.) возрастают в $N^2$ раз, любые объёмы - в $N^3$ раз, и вообще любые $k$-мерные объёмы (если фигура $d$-мерная) - в $N^k$ раз.

очень замечательно. как это доказать?

(Оффтоп)

Ales в сообщении #749964 писал(а):

Как гуманитарий Вы могли бы исследовать историю слов: "косинус" и "функция" (в математическом смысле).

в смысле пекарю нельзя интересоваться астрономией?

[Munin]

(Оффтоп)

Ales в сообщении #749964 писал(а):

Как гуманитарий Вы могли бы исследовать историю слов: "косинус" и "функция" (в математическом смысле).

Тонкая провокация :-)

-- 29.07.2013 00:42:51 --

bigarcus в сообщении #749980 писал(а):

почему так явно в учебниках не пишут?

Пишут, тильки не во всех. А вообще, это стандартный вид определения чего-то, скажем, в общей алгебре: "тем-то и тем-то называется набор $(A,B,x,y,z),$ где $A$ - то-то (например, множество), $B$ - то-то, и они удовлетворяют свойствам бла-бла-бла". Но жаргонно, для простоты и удобства речи, после этого говорят не $(A,B,x,y,z),$ а просто $A.$ (Кроме случаев, когда на одном $A$ введены несколько разных дополнительных структур.)

[_hum_]

bigarcus в сообщении #749980 писал(а):

очень замечательно. как это доказать?

Для этого нужно сперва определить понятие площади фигуры - та еще задачка, надо сказать. Если для вас это принципиально, почитайте про меру Жордана (она же для геометрических плоских фигур есть их площадь).

[bigarcus]

_hum_ в сообщении #749984 писал(а):

Если для вас это принципиально

просто меня бесят доказательства с пропусками.
почитаю. а где?

[Munin]

bigarcus в сообщении #749985 писал(а):

просто меня бесят доказательства с пропусками.

А иногда заполнение пропуска оборачивается ещё несколькими учебниками по объёму. Например, объяснение, чем действительные числа отличаются от рациональных - это толстый учебник "Общая топология". И до поры до времени, можно жить и получать интересные результаты, не читая этого учебника. И вообще, математику дают не в порядке обоснования, а если начинать с оснований математики, то пройдёт много времени, и будет потрачено много сил, прежде чем учащийся сможет сделать то, с чем справляется семилетний ребёнок.

[_hum_]

в мат. анализе Кудрявцева вроде бы было. Что-то типа такого: 2.2. Понятие меры