Научите понимать косинус

[Otta]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #749833 писал(а):

Вообще говоря, да, потому что норма должна удовлетворять дополнительным требованиям.

Каким?

Munin в сообщении #749833 писал(а):

Но евклидова норма - удовлетворяет, так что пока можно не заморачиваться.

Евклидова норма - это норма, порожденная скалярным произведением, поэтому да, можно не заморачиваться. Оно уже есть.

Munin в сообщении #749833 писал(а):

А тогда зачем его дают сейчас, а не через два?

Потому что через два - и только через два (условно, конечно) можно будет, выстроив все это здание, сказать, ради чего это затевалось. И окажется, что то, что казалось надуманным, очень естественно используется. Не слишком удачный пример, но попробуйте мотивировать интеграл по замкнутому контуру в комплексной плоскости, скажем. ТФКП, пока не начинаешь сталкиваться с приложениями, выйдет абсолютно надуманной наукой. Но это так, к слову, не о нем здесь речь.

А на первом курсе вводится понятийный аппарат, и если что-то удается хорошо иллюстрировать - то это большая удача. Скажем, в курсе анализа принято рассказывать ряды Фурье. Зачем? Для урматов, конечно. Но достаточная ли это мотивация, если сказать только это?

[bigarcus]

я гум. 3 курс
но некоторые курсы слушал на физмате, мало понимал

[Aritaborian]

О, срыв покровов ;-) Оказывается, ТС уж два (три?) года как постигает премудрости высшего образования, и никакой он не школьник. А мы-то думали...

bigarcus в сообщении #749852 писал(а):

некоторые курсы слушал на физмате, мало понимал

У нас в БГУ были случаи. Мои друзья, выпускники филфака и философии прошлых лет ходили на лекции по матану на мехмате.

bigarcus в сообщении #749852 писал(а):

я гум

Какой именно гум? И зачем вам это всё нужно?

[Munin]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #749843 писал(а):

Каким?

О, вот за точным списком - к Oleg Zubelevich, у него язык чешется так, что невмочь. А я их не помню наизусть, мне достаточно самого факта, а детали я могу посмотреть в справочнике (да и не нужны они мне никогда).

Otta в сообщении #749843 писал(а):

Евклидова норма - это норма, порожденная скалярным произведением

На всякий случай уточню: в смысле "является", а не в смысле "это по определению".

Otta в сообщении #749843 писал(а):

Потому что через два - и только через два (условно, конечно) можно будет, выстроив все это здание, сказать, ради чего это затевалось.

Вот этот gap в два года и неприятен. Можно было бы хотя бы намекнуть, что за здание-то будет. Знаете, один говорит "я кладу кирпичи", другой - "я строю храм".

Otta в сообщении #749843 писал(а):

Не слишком удачный пример, но попробуйте мотивировать интеграл по замкнутому контуру в комплексной плоскости, скажем.

А тут всё очень просто. Это промежуточный инструмент для взятия обычных интегралов по действительной прямой.

Otta в сообщении #749843 писал(а):

Скажем, в курсе анализа принято рассказывать ряды Фурье. Зачем? Для урматов, конечно. Но достаточная ли это мотивация, если сказать только это?

Ну, я бы сказал, что ряды Фурье - для того, чтобы понимать спектры сигналов, во всём диапазоне: оптические, звуковые, электрические. Зная о том, что такое "высокий тон" и "низкий тон", "красный цвет" и "синий цвет", ещё со школы, я в изучении рядов Фурье (и даже интегралов Фурье) никогда недостатка мотивации не видел.

Вот что такое "урматы", я долгое время не знал, а если бы мне объяснили - заинтересовался бы гораздо раньше. Точнее, даже так, я знал заранее, что это такое, но не знал самого термина, и курсовик по урматам писал, ещё не зная - и только потом открыл для себя, что вот две вещи, одна интересная и давно знакомая, а другая "муторная" и "изподпалочная" - на самом деле одно и то же. Это недочёт тех, кто мне урматы рассказывал.

bigarcus в сообщении #749852 писал(а):

я гум. 3 курс

Ну, эффективно это то же самое, что и "школьник". По вопросам математики, по крайней мере.

[Otta]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #749867 писал(а):

О, вот за точным списком - к Oleg Zubelevich, у него язык чешется так, что невмочь. А я их не помню наизусть, мне достаточно самого факта, а детали я могу посмотреть в справочнике (да и не нужны они мне никогда).

Да, в общем, я весь список Вам привела: необходима и достаточна возможность определить скалярное произведение таким образом, что $\|x\|=\sqrt{(x,x)}$. Именно эта норма и называется порожденной скалярным произведением. Во всех других случаях, если считать "в смысле "является", а не в смысле "это по определению"", Вам будет затруднительно объяснить, почему Вы какую-то норму, скажем в $L_2[0,1]$ называете евклидовой, а какую-то - нет. Конечномерных пространств это тоже касается.

Munin в сообщении #749867 писал(а):

ряды Фурье - для того, чтобы понимать спектры сигналов,

Это да. Это когда в идеале. Когда физиков-инженеров учишь. А математики про все эти сигналы услышат мимоходом из курса общей физики, который читается на год позже, чем курс урчп (или урматов, у кого что), - с ним и с методом Фурье, как следствие, они столкнутся раньше.

[Munin]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #749870 писал(а):

Да, в общем, я весь список Вам привела

Ну а мне лень было проверять, весь или не весь. Спасибо. Ну а в чём тогда ко мне вопрос?

Otta в сообщении #749870 писал(а):

необходима и достаточна возможность определить скалярное произведение таким образом, что $\|x\|=\sqrt{(x,x)}$.

Там это как-то в явном виде перечислялось.

Otta в сообщении #749870 писал(а):

Это да. Это когда в идеале. Когда физиков-инженеров учишь.

Напоминаю, я это ещё в школе узнал. Когда ни с какой вузовской специальностью ещё не имел ничего общего.

Otta в сообщении #749870 писал(а):

А математики про все эти сигналы услышат мимоходом из курса общей физики

А в школе им про звук и разложение света призмой ничего-ничего не расскажут? Бедные математики. Так же и задохнуться, в вакууме, недолго...

[Otta]

Munin

(Оффтоп)

Вопрос был чисто задуматься. А чем же, действительно, евклидова норма отличается от остальных? Так вот если задуматься, то оказывается, что, по сути, она может быть введена только на пространстве со скалярным произведением.

Munin в сообщении #749878 писал(а):

Напоминаю, я это ещё в школе узнал.

Ну так а я не про Вас. Я про бедных математиков.
Munin, бог с Вами, какой спектр. Первые два года уходят на ликбез в области решения линейных уравнений и сложения дробей.
В этом году из десятерых выпускников (вуза, а не школы) (би)квадратные трехчлены (там для другого дела надо было, не подумайте) не смогло разложить на множители восемь человек. Бедные математики, да.

[_hum_]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #749745 писал(а):

Насчёт структуры: имея норму, можно ввести скалярное произведение, и наоборот.

Хм.. Разве это в общем случае верно?
Насколько я себе представлял, всякое линейное пространство со скалярным произведением можно сделать нормированным, наделив нормой, согласованной со скалярным произведением по непрерывности (просто положив $||x|| = \sqrt{(x,x)}$), но в обратную сторону вроде бы это не работает - не на всяком нормированном можно согласованно по непрерывности ввести скалярное произведение. Нет?

[Otta]

_hum_ в сообщении #749885 писал(а):

Хм.. Разве это в общем случае верно?

Нет, в общем случае это неверно, что и обсуждалось после.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #749867 писал(а):

О, вот за точным списком - к Oleg Zubelevich, у него язык чешется так, что невмочь. А я их не помню наизусть, мне достаточно самого факта, а детали я могу посмотреть в справочнике (да и не нужны они мне никогда).

Редкое невежество. А я, ведь, вам Munin уже подсказал про тождество параллелограмма. Наука вам будет, не лезьте в математический раздел.

[_hum_]

Otta

(Оффтоп)

Otta в сообщении #749893 писал(а):

_hum_ в сообщении #749885 писал(а):

Хм.. Разве это в общем случае верно?

Нет, в общем случае это неверно, что и обсуждалось после.

А можно уточнить, вы под "это" имели в виду существование (для любого нормированного пространства) непрерывного (в исходной норме) скалярного произведения или же существование скалярного произведения, удовлетворяющего равенству $||x|| = \sqrt{(x,x)}$? (И, интересно, насколько это вообще соотносится друг с другом.)

[bigarcus]

если треугольник площадью $X$ масштабировать в $N$ раз больший, то его площадь станет равной $X^N$
(под масштабированием в $N$ раз я понимаю увеличение в $N$ раз длин всех сторон)

откуда это следует, как это сделать очевидным?

-- Вс июл 28, 2013 19:30:15 --

это нужно для опнимания док-ва теоремы Пифагора как у Тао

[Otta]

bigarcus
Но это неправда. Площадь увеличится в $N^2$ раз. Где Вы это вычитали?

[Aritaborian]

bigarcus, поупражняйтесь с квадратами, там очевидней.

[Otta]

_hum_

(Оффтоп)

Я имею ввиду, что всякое гильбертово (евклидово) пространство нормируемо - нормой, согласованной со скалярным произведением, но не на всяком банаховом можно ввести скалярное произведение, согласованное с нормой. Это возможно только в одном случае, про который нам всем не устает напоминать Oleg Zubelevich: если для нормы выполнено тождество параллелограмма. В этом случае скалярное произведение может быть явно определено.

Я на Ваш вопрос ответила или на какой-то другой?