Научите понимать косинус

[Otta]

arseniiv

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #748475 писал(а):

А вот первое доказательство замечательное.

Да, приятное доказательство. Я, правда, не очень поняла, причем там Pérez-Marco, у меня абитуриенты так через раз доказывали, пока нам всем ЕГЭ не настал.

[arseniiv]

(2 Otta.)

Так он ведь не изобрёл, а только показал:

Тао писал(а):

My colleague Ricardo Pérez-Marco showed me a very cute proof <…>

-- Вт июл 23, 2013 03:18:10 --

А я это доказательство в предпоследний раз видел у Пойа в «Как решать задачу».

[Otta]

(Оффтоп)

arseniiv, я поняла. Недоумения меньше не стало. ))

[_hum_]

ИМХО, самое хорошее доказательство == самое простое. А это, в свою очередь, то, которое "ближе всего к аксиомам" (безо всяких площадей, определителей, скалярных произведений и проч., потому как за ними скрывается уйма промежуточных результатов, которые надо доказывать). Судя по вариантам из wiki/Pythagorean_theorem, это "Proof using similar triangles".

[g______d]

Если говорить о площадях, то площади многоугольников можно определить без счетной аддитивности. Идея в том, чтобы воспользоваться теоремой Бойяи-Гервина о том, что равновеликие многоугольники равносоставлены.

[_hum_]

g______d в сообщении #748480 писал(а):

Если говорить о площадях, то площади многоугольников можно определить без счетной аддитивности. Идея в том, чтобы воспользоваться теоремой Бойяи-Гервина о том, что равновеликие многоугольники равносоставлены.

Ну, так надо ж будет эту теорему доказывать :)

А вообще, если память мне не изменяет, счетная аддитивность для площади в "школьной" геометрии не нужна - все обычные геометрические фигуры измеримы по Жордану (а счетная аддитивность начинает играть роль для измеримости по Лебегу).

[bigarcus]

теорема Бойяи-Гервина в пространстве уже неверна (так написано в вики), а теорема пифагора (обобщенная) верна

[Otta]

bigarcus
Нет, способов-то море. Но чего хотите Вы - так до сих пор и неясно. Вы обо всем и сразу пытаетесь говорить, а заявленная тема очень далеко осталась. Определитесь с темой, пожалуйста.

_hum_

(Оффтоп)

_hum_ в сообщении #748479 писал(а):

Судя по вариантам из wiki/Pythagorean_theorem
, это "Proof using similar triangles".

А этому доказательству меня в детстве учили.

[bigarcus]

А как с нуля ввести косинус на единичной окружности, минуя треугольное его определение?

[Munin]

bigarcus в сообщении #748436 писал(а):

А вот понятие вектора (свободного). Вроде как говорят что задается длиной и направлением.
Длина понятно - указывается координатами (т.е. из они определяют длину), а вот как направление-то задается?

В принципе, если хотите, можно указать длину как число, и направление как величину угла (отсчитываемого от заданного направления). Например, "5 шагов на 30° к западу от севера". В трёхмерном пространстве понадобится два угла (например, азимут и угол возвышения). Вообще, в $n$-мерном пространстве направление задаётся $n-1$ углами.

-- 23.07.2013 16:35:31 --

bigarcus в сообщении #748598 писал(а):

А как с нуля ввести косинус на единичной окружности, минуя треугольное его определение?

А определение через единичную окружность и так минует его "треугольное определение". Вы вообще его читали?

[bigarcus]

Так было бы естественнее и понятнее.

-- Вт июл 23, 2013 15:38:27 --

ну там в окружнолсти неявно испотльзует определение через треугольник
ведь абсцисса точки из тр-ка и берется

[venco]

Нет, абсцисса берётся как расстояние до прямой. А то, что из этого можно построить треугольник, так от него ни при каком определении не избавиться, т.к. даже на решении дифура тоже можно треугольник построить. ;)

[bigarcus]

Ок. а где плавный переход между определением косинуса через треугольник и через окружность?
в первом случае для углов из открытого интервала $(0,90)$ градусов берется
во втором случае любое число из $R$

-- Вт июл 23, 2013 16:20:56 --

например при стандартном док-ве теоремы косинусов используется определение косинуса через треугольник
а как потом понять что и для любого угла (не только из прямоугольного треугольника) док-во теоремы остается верным
ведь получается доказываем в частном случае только
а экстраполируем теорему на общий случай

[Munin]

bigarcus в сообщении #748620 писал(а):

Ок. а где плавный переход между определением косинуса через треугольник и через окружность?

Нету его, "плавного перехода". Есть только аналогия между ними. Если вы нарисуете треугольник, вписанный в четверть окружности, то сможете её понять.

[bigarcus]

а как с этим быть

bigarcus в сообщении #748620 писал(а):

например при стандартном док-ве теоремы косинусов используется определение косинуса через треугольник
а как потом понять что и для любого угла (не только из прямоугольного треугольника) док-во теоремы остается верным
ведь получается доказываем в частном случае только
а экстраполируем теорему на общий случай