Что такое квантовая система?

[warlock66613]

Formalizator в сообщении #747731 писал(а):

Это разложение смешанного состояния на взаимно ортогональные чистые состояния. Если вырожденных собственных значений у статистического оператора нет, такое разложение однозначно. Если имеется хотя бы одно вырожденное собственное значение, такое разложение оказывается неоднозначным.

Выше я указал на неоднозначность разложения — но в большинстве случаев чистые состояния, на которые разлагалось смешанное, не были взаимно ортогональными.

Во всяком случае неочевидно, что существует такой пример, чтобы разложение было неоднозначным, и чтобы все чистые состояния (во всех разложениях) имели классический физический смысл. А ведь только в таком случае могли бы возникнуть трудности в интерпретации и понимании этой ситуации. В остальных (и, как я сказал выше, неочевидно, что не во всех) случаях эта неоднозначность не имеет концептуального значения.

[Munin]

Formalizator в сообщении #747731 писал(а):

Это разложение смешанного состояния на взаимно ортогональные чистые состояния.

Это диагонализация эрмитова оператора. Вы свойства эрмитовых операторов вообще помните?

Formalizator в сообщении #747731 писал(а):

Выше я указал на неоднозначность разложения — но в большинстве случаев чистые состояния, на которые разлагалось смешанное, не были взаимно ортогональными.

Это вы с чего взяли, что не были?

Formalizator в сообщении #747731 писал(а):

Спорить по этому вопросу бесполезно.

С теми, кто учебников не читает, - да. "Чукча не читатель, чукча писатель."

Formalizator в сообщении #747731 писал(а):

Нужно получить ответ путём строгих рассуждений.

Нельзя получить путём строгих рассуждений ответ на вопрос "в каких реальных задачах некий инструмент используется, а в каких - не используется". Нужно пойти и спросить.

epros в сообщении #747740 писал(а):

А Ваша проблема в том, что Вы не знаете, знаю ли я разницу между смесью и суперпозицией, а рассуждаете об этом.

Да нет, знаю, это видно по совершённой вами ошибке.

Если вы ошибку исправите - получите зачёт. А пока можете ходить гордиться своей непостижимой личностью, эта иллюзия будет лично ваша.

epros в сообщении #747740 писал(а):

Перед открытием ящика с котом возникает «классический случай недостатка информации» о том, жив он или мёртв. Никакой проблемы в этом нет, кроме того, что модель не полностью описывает результат конкретного наблюдения.

Ну а в других случаях - полностью. Вот сколько можно на одни и те же грабли наступать?..

-- 21.07.2013 02:02:51 --

warlock66613 в сообщении #747794 писал(а):

Во всяком случае неочевидно, что существует такой пример, чтобы разложение было неоднозначным, и чтобы все чистые состояния (во всех разложениях) имели классический физический смысл.

По крайней мере, собственные состояния гамильтониана ортогональны (опять, не считая вырожденности).

[dvb]

Я не силен в математическом формализме КМ (хотя в курсе, что собственные состояния эрмитова оператора ортогональны и дискутировать тут нечего), но хотел бы услышать мнение участников дискуссии по некоторым вопросам.
КМ - математическая теория. Как таковая, она используется для описания физических процессов, то есть, для физиков это МОДЕЛЬ протекания каких-то явлений природы. И, как показывает практика ее применения - это хорошая модель.
Но...
Принципиальным недостатком этой модели является ее неполнота - она не содержит описания процесса измерения. В КМ утверждается что до момента измерения КМ-система, может находится в суперпозиции каких-то своих состояний, а после измерения моментально (мгновенно, скоренько и т.д) переходит в какое-либо собственное состояние измеряемого оператора.
В этом смысле все рассуждалки о коте Шредингера - глупость. С позиций КМ, как МОДЕЛИ явления, состояние кота в ящике определяется именно в момент его открывания, и убивает его не кто иной, как "вы, любезный читатель, читающий это", поскольку речь идет о гипотетическом коте и гипотетическом измерении его состояния.
Я, конечно, могу тут высказать свое неизбывное неудовольствие по поводу "коллапса волновой функции", как мгновенного процесса, но толку-то...
Теперь, собственно, вопрос. Не пытался ли кто-либо формально ввести какой-нибудь "оператор измерения", с тем, чтобы он математически замкнул КМ. С его помощью удобно было бы и "приготовить систему" и спустя какое-то время "измерить ее состояние". Я понимаю, что это будет нелинейный оператор, но все же...
Потребность в таком формализме становится все актуальней с позиции, например, физической интерпретации экспериментов, подтверждающих квантовый эффект Зенона. В популярных изложениях в обывателя заталкивается представление, что если упорно таращиться на кусок радиоактивного изотопа, можно как-то повлиять на период полураспада. А уж если измерять количество вылетающих нейтронов, то-есть проводить косвенные измерения, то наверняка!

[epros]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #747803 писал(а):

epros в сообщении #747740 писал(а):

А Ваша проблема в том, что Вы не знаете, знаю ли я разницу между смесью и суперпозицией, а рассуждаете об этом.

Да нет, знаю, это видно по совершённой вами ошибке.

А я вижу, что не знаете (по совершённой Вами ошибке). Можете, конечно, гордиться своей способностью раскритиковать всех и вся в пух и прах, особенно даже не вникая в смысл сказанного. Но может лучше от обсуждения моих воображаемых знаний и незнаний перейдёте к сути вопроса?

Munin в сообщении #747803 писал(а):

По крайней мере, собственные состояния гамильтониана ортогональны (опять, не считая вырожденности).

Другие случаи мы будем обсуждать в другом месте и в другое время. А здесь обсуждался случай, когда теоретическое описание говорит о смеси, а реально наблюдается определённое значение параметра («жив» или «мёртв», «сработал» или «не сработал»).

[warlock66613]

dvb в сообщении #747846 писал(а):

С позиций КМ, как МОДЕЛИ явления, состояние кота в ящике определяется именно в момент его открывания, и убивает его не кто иной, как "вы, любезный читатель, читающий это"

С позиций КМ это зависит от интерпретации (при этом результат любого реального или мысленного опыта не зависит от интерпретации (правда есть такая вещь, как "квантовый суицид", но это нюансы)).

dvb в сообщении #747846 писал(а):

Не пытался ли кто-либо формально ввести какой-нибудь "оператор измерения", с тем, чтобы он математически замкнул КМ. С его помощью удобно было бы и "приготовить систему" и спустя какое-то время "измерить ее состояние". Я понимаю, что это будет нелинейный оператор, но все же...

Ввести такой оператор (супероператор точнее) не составляет труда. Этот оператор известен (кстати, он линеен), и, по-моему, даже упоминался то ли в этой, то ли в какой-то соседней теме. Проблема в том, чтобы понять, откуда берётся этот оператор, учитывая что эволюция всех систем, состоящих из микроскопических (и даже не очень микроскопических) объектов полностью описывается гамильтонианом.

-- 21.07.2013, 13:55 --

Точно, в этой теме:

Munin в сообщении #745622 писал(а):

Что делает с самим состоянием квантовой системы процесс наблюдения. А он как раз применяет к нему один из проекторов $P_k.$

Правда, как я понимаю, $P_k$ - это обычный оператор, действующий на вектор состояния, а не супероператор, действующий на матрицу плотности, о котором я говорил выше, но они связаны друг с другом.

(Оффтоп)

У меня тоже были аналогичные мысли. Вот тут (Гиперматрицы (попытка построения нового объекта....)) я пытался (весьма наивным способом) свести "супероператор проекции" к обычному оператору, чтобы неунитарную эволюцию можно было записать через формальный гамильтониан. В итоге оказалось, что мои "гиперматрицы" - это просто матрицы кватернионов, и толку от этого никакого.

[dvb]

warlock66613 в сообщении #747875 писал(а):

Этот оператор известен (кстати, он линеен)

По поводу проектора ничего не скажу, но тот оператор, о котором говорю я, должен перевести ВФ измеряемой системы в состояние, соответствующее фактически измеренному параметру.

[dvb]

Иначе у меня не появляется способа "приготовить" систему в каком-то состоянии. Я неспроста упомянул эффект Зенона, как утверждается, проверенный экспериментально. Там люди многократно измеряют состояние возбужденной системы и утверждают, что каждый раз возвращают ее в исходное возбужденное состояние, продлевая его жизнь. Вот я и хочу иметь оператор, описывающий такое деяние. Он из суперпозиции ( то есть суммы) основного и возбужденного состояния вырывает ВФ вобужденного состояния. И что в нем линейного?

[Munin]

dvb в сообщении #747846 писал(а):

КМ - математическая теория. Как таковая, она используется для описания физических процессов, то есть, для физиков это МОДЕЛЬ протекания каких-то явлений природы.

Любая физическая теория - ровно такая же. Начиная со школьной механики, даже ещё раньше, с детских $s=vt$ и "в одну трубу втекает...".

dvb в сообщении #747846 писал(а):

Принципиальным недостатком этой модели является ее неполнота - она не содержит описания процесса измерения.

Ошибаетесь, КМ описывает процесс измерения.

dvb в сообщении #747846 писал(а):

В КМ утверждается что до момента измерения КМ-система, может находится в суперпозиции каких-то своих состояний, а после измерения моментально (мгновенно, скоренько и т.д) переходит в какое-либо собственное состояние измеряемого оператора.

Это и есть описание процесса измерения.

dvb в сообщении #747846 писал(а):

Теперь, собственно, вопрос. Не пытался ли кто-либо формально ввести какой-нибудь "оператор измерения", с тем, чтобы он математически замкнул КМ.

Выше его уже описывали: это набор проекторов. Он общеизвестен.

dvb в сообщении #747846 писал(а):

Я понимаю, что это будет нелинейный оператор

Нет, конечно. Все проекторы линейны.

dvb в сообщении #747846 писал(а):

Потребность в таком формализме становится все актуальней

Она давным-давно удовлетворена.

dvb в сообщении #747846 писал(а):

В популярных изложениях в обывателя заталкивается представление, что если упорно таращиться на кусок радиоактивного изотопа, можно как-то повлиять на период полураспада.

А нечего читать неграмотные "популярные изложения". Измерять систему и таращиться на неё - вещи существенно разные.

dvb в сообщении #747883 писал(а):

По поводу проектора ничего не скажу

Ну так почитайте сначала учебник. А то требуете чего-то, а не знаете, что уже есть.

dvb в сообщении #747901 писал(а):

Иначе у меня не появляется способа "приготовить" систему в каком-то состоянии.

Ваши личные проблемы - это ваши личные проблемы. У физиков почему-то получается.

dvb в сообщении #747901 писал(а):

Я неспроста упомянул эффект Зенона, как утверждается, проверенный экспериментально. Там люди многократно измеряют состояние возбужденной системы и утверждают, что каждый раз возвращают ее в исходное возбужденное состояние, продлевая его жизнь.

Читайте учебники, а не надписи на заборе.

dvb в сообщении #747901 писал(а):

Вот я и хочу иметь оператор, описывающий такое деяние.

В учебниках он есть. И вам его уже назвали. Если вы хотите что-то, что не способны понять, когда оно вам досталось, - то вам остаётся наедине с этим предметом сидеть и мучиться, или наконец постараться прочитать матчасть.

[dvb]

Munin в сообщении #748101 писал(а):

Ваши личные проблемы - это ваши личные проблемы. У физиков почему-то получается.

Щелчек по носу всегда усиливает нюх!
Да, проектор имеет место, он действительно линеен. В дискретном случае это будет матрица с нормировочным коэффициентом на диагонали в нужном месте. Из вектора состояния он сделает новый, обнулив все проекции, кроме одной. С суммой сделает то же самое. Физически реализуется, например, поляризатором. Что в нем "супер", не понимаю, разве что матрица вырожденная. Но это, как раз, неплохо - обратного нет, а измерение процесс необратимый. Прелестно!

-- 22.07.2013, 09:33 --

Таким образом, измерением в КМ является является не что попало, а ситуация, когда удалось реализовать такой проектор физически и что-то измерить с его помощью.

[warlock66613]

dvb в сообщении #748185 писал(а):

Что в нем "супер", не понимаю, разве что матрица вырожденная

Супероператорами называются операторы, действуещие на пространстве обычных операторов (матриц). Если измерение неселективное, то вместо описания с помощью вектора состояния, используется матрица плотности, и соотвествующий супероператор, превращающий суперпозицию в смесь.

[Munin]

dvb в сообщении #748185 писал(а):

Таким образом, измерением в КМ является является не что попало

Поразительная прозорливость!

dvb в сообщении #748185 писал(а):

а ситуация, когда удалось реализовать такой проектор физически и что-то измерить с его помощью.

А в общем, когда удаётся создать измерительный прибор, каждый раз само как-то получается, что реализуется такой проектор.

(Оффтоп)

warlock66613 в сообщении #748206 писал(а):

Супероператорами называются операторы, действуещие на пространстве обычных операторов (матриц).

Это какое-то малоизвестное (по крайней мере, мне) словоупотребление. В математике операторы называются операторами, даже если они действуют на чём-то необычном. Ну, можно их операторами над операторами назвать. А приставка "супер-" сильно зарезервирована за разными объектами из теории суперсимметрии.

[Formalizator]

warlock66613 в сообщении #747794 писал(а):

Formalizator в сообщении #747731 писал(а):

Это разложение смешанного состояния на взаимно ортогональные чистые состояния. Если вырожденных собственных значений у статистического оператора нет, такое разложение однозначно. Если имеется хотя бы одно вырожденное собственное значение, такое разложение оказывается неоднозначным.

Выше я указал на неоднозначность разложения — но в большинстве случаев чистые состояния, на которые разлагалось смешанное, не были взаимно ортогональными.

Во всяком случае неочевидно, что существует такой пример, чтобы разложение было неоднозначным, и чтобы все чистые состояния (во всех разложениях) имели классический физический смысл. А ведь только в таком случае могли бы возникнуть трудности в интерпретации и понимании этой ситуации. В остальных (и, как я сказал выше, неочевидно, что не во всех) случаях эта неоднозначность не имеет концептуального значения.

Исправлю ошибку в своей фразе «Если имеется хотя бы одно вырожденное собственное значение, такое разложение оказывается неоднозначным».
Правильно так: Если имеется хотя бы одно вырожденное собственное значение, не равное нулю, то такое разложение оказывается неоднозначным. Нулевое вырожденное собственное значение не вносит неоднозначности в такое разложение.

Теперь ответ: я указывал на неднозначность разложения смеси на чистые состояния только чтобы показать, что матрица плотности с формальной точки зрения — единый объект, и раскладывать её в определённое среднее взвешенное не нужно.

«С формальной точки зрения» значит, что матрица плотности — математический объект, предназначенный для решения задач, а не для описания состояния реальных объектов. Задача, решаемая с помощью матрицы плотности — предсказание вероятностей по формуле $p_k = \operatorname{tr}(\rho P_k)$.

Munin в сообщении #747803 писал(а):

Formalizator в сообщении #747731 писал(а):

Это разложение смешанного состояния на взаимно ортогональные чистые состояния.

Это диагонализация эрмитова оператора. Вы свойства эрмитовых операторов вообще помните?

Конечно, свойства эрмитовых операторов мне известны. Но я назвал это применительно к вопросу о разложении смешанного состояния на чистые.

Munin в сообщении #747803 писал(а):

Formalizator в сообщении #747731 писал(а):

Выше я указал на неоднозначность разложения — но в большинстве случаев чистые состояния, на которые разлагалось смешанное, не были взаимно ортогональными.

Это вы с чего взяли, что не были?

Прямая, проведённая через точку, изображавшую смешанное состояние, пересекалась со сферой Римана в двух точках, изображавших чистые состояния. Но центр шара не лежал на этой прямой, так что эти две точки на сфере не были диаметрально противоположными, т.е. изображали неортогональные друг другу состояния.

Munin в сообщении #747803 писал(а):

Formalizator в сообщении #747731 писал(а):

Нужно получить ответ путём строгих рассуждений.

Нельзя получить путём строгих рассуждений ответ на вопрос "в каких реальных задачах некий инструмент используется, а в каких - не используется". Нужно пойти и спросить.

Вопрос в том, характеризуется ли конкретный реальный объект матрицей плотности, или нет. Опыт проводят для многих экземпляров, а потом изучают статистику. А отдельное испытание даёт, например, одну точку на экране. Разве из того, что статистику можно вычислить с помощью формализма квантовой механики, следует, что отдельный экземпляр характеризуется матрицей плотности (или, в частных случаях, волновой функцией)?

[Munin]

Formalizator в сообщении #748398 писал(а):

Исправлю ошибку в своей фразе «Если имеется хотя бы одно вырожденное собственное значение, такое разложение оказывается неоднозначным».
Правильно так: Если имеется хотя бы одно вырожденное собственное значение, не равное нулю, то такое разложение оказывается неоднозначным. Нулевое вырожденное собственное значение не вносит неоднозначности в такое разложение.

Фигушки. Как раз, нулевое или не нулевое - здесь не важно. Важно, вырождено оно или нет.

Formalizator в сообщении #748398 писал(а):

Теперь ответ: я указывал на неднозначность разложения смеси на чистые состояния только чтобы показать, что матрица плотности с формальной точки зрения — единый объект, и раскладывать её в определённое среднее взвешенное не нужно.

Ну и вам это неудалось. Не в последнюю очередь потому, что это неверно.

Formalizator в сообщении #748398 писал(а):

Прямая, проведённая через точку, изображавшую смешанное состояние, пересекалась со сферой Римана в двух точках, изображавших чистые состояния. Но центр шара не лежал на этой прямой, так что эти две точки на сфере не были диаметрально противоположными, т.е. изображали неортогональные друг другу состояния.

Охоспади. Какая прямая? Это что, критерий разложимости на ортогональные состояния? А другую прямую вы провести не смогли?

Formalizator в сообщении #748398 писал(а):

Вопрос в том, характеризуется ли конкретный реальный объект матрицей плотности, или нет.

Нет. Вопрос в том, характеризуется ли конкретный объект конкретной фигнёй в рамках конкретной модели, или нет.

Formalizator в сообщении #748398 писал(а):

Разве из того, что статистику можно вычислить с помощью формализма квантовой механики, следует, что отдельный экземпляр характеризуется матрицей плотности (или, в частных случаях, волновой функцией)?

Нет, это следует из немного большего. Из того, что эта статистика - максимум того, что можно сказать о положении точки на экране, плюс из того, как эта статистика преобразуется при попытках измерять разные физические величины (то есть, в разных представлениях).

[warlock66613]

(термин "супероператор")

Munin в сообщении #748357 писал(а):

Это какое-то малоизвестное (по крайней мере, мне) словоупотребление. В математике операторы называются операторами, даже если они действуют на чём-то необычном. Ну, можно их операторами над операторами назвать. А приставка "супер-" сильно зарезервирована за разными объектами из теории суперсимметрии.

Не могу сказать насчёт частоты употребления сего термина в данном смысле, но вот (просто как доказательство, что это не я придумал): Супероператор. Также я встречал этот термин в русских переводах книг Пригожина, и где-то ещё точно, хотя и не помню где.

[Munin]

Приношу извинения.