Что такое квантовая система?

[Formalizator]

Утверждается, что состояние квантовой системы в определённый момент времени характеризуется статистическим оператором, который выражается матрицей плотности (если состояние чистое, то его можно характеризовать вектором состояния, который выражается волновой функцией).

Можно ли отождествлять квантовую систему с индивидуальной реальной системой? Т.е. можно ли утверждать, что состояние индивидуальной реальной системы в определённый момент времени характеризуется статистическим оператором?

Есть мнение, что волновая функция и матрица плотности являются лишь инструментами для решения задач, и к состоянию индивидуальной реальной системы не имеют отношения.

[Munin]

Formalizator в сообщении #745504 писал(а):

Можно ли отождествлять квантовую систему с индивидуальной реальной системой? Т.е. можно ли утверждать, что состояние индивидуальной реальной системы в определённый момент времени характеризуется статистическим оператором?

Да, можно.

Formalizator в сообщении #745504 писал(а):

Есть мнение, что волновая функция и матрица плотности являются лишь инструментами для решения задач, и к состоянию индивидуальной реальной системы не имеют отношения.

Ну как же это не имеют, если действия над ней и измерения её состояния даются результатами вычислений с волновой функцией и матрицей плотности? Это мнение на уровне детского сада: "не доверяю я этой вашей математике..."

[Formalizator]

Munin в сообщении #745508 писал(а):

Formalizator в сообщении #745504 писал(а):

Можно ли отождествлять квантовую систему с индивидуальной реальной системой? Т.е. можно ли утверждать, что состояние индивидуальной реальной системы в определённый момент времени характеризуется статистическим оператором?

Да, можно.

Рассмотрим пример. Пусть имеется одномерная система с координатой $x \in (-\infty; +\infty)$. Потенциальная энергия $V(x)$ при $x < 0$ равна $0$, при $x > 0$ равна $U$ (причём $U > 0$, $U = \operatorname{const}$).

Пусть квантовая частица летит в положительном направлении оси $x$ в области $x < 0$ с полной энергией $E$ (причём $E > U$). Если частица преодолевает скачок потенциала, то она продолжает движение при $x > 0$ в том же направлении. Если частица не преодолевает скачок потенциала, она отражается от точки $x = 0$ и летит в отрицательном направлении оси $x$ в области $x < 0$. Найти, с какой вероятностью частица преодолеет скачок потенциала, и с какой вероятностью отразится от него.

Для решения этой задачи составляется волновая функция, являющаяся решением стационарного уравнения Шрёдингера:

$$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\Psi(x)}{dx^2} + V(x)\Psi(x) = E\Psi(x) $$

Берётся такое решение этого уравнения:

$$ x < 0 \colon \Psi(x) = Ae^{ik_1x} + Be^{-ik_1x} $$

$$ x > 0 \colon \Psi(x) = Ce^{ik_2x} $$

где $A$, $B$, $C$ - некоторые комплексные числа, при которых:

$\Psi(x)$ и $\frac{d}{dx}\Psi(x)$ непрерывны в точке $x = 0$,
$\Psi(x)$ не равна тождественно $0$;

$$ k_1 = \frac{1}{\hbar}\sqrt{2mE} $$

$$ k_2 = \frac{1}{\hbar}\sqrt{2m(E - U)} $$

$Ae^{ik_1x}$ ($x < 0$) соответствует падающей частице.
$Be^{-ik_1x}$ ($x < 0$) соответствует отражённой частице.
$Ce^{ik_2x}$ ($x > 0$) соответствует прошедшей частице.

В точке $x = 0$ функция $\Psi(x)$ и её первая производная по $x$ непрерывны, откуда получаем уравнения:

$$ A + B = C $$

$$ A - B = C\frac{k_2}{k_1} $$

Из этих уравнений получаем:

$$ A = \frac{C}{2}\left(1 + \frac{k_2}{k_1}\right) $$

$$ B = \frac{C}{2}\left(1 - \frac{k_2}{k_1}\right) $$

Поток вероятности выражается через волновую функцию в одномерном случае по формуле:

$$ j = \frac{\hbar}{m}\operatorname{Im}(\Psi^*\Psi') $$

где звёздочка обозначает комплексное сопряжение, штрих - производную по координате.

$j_{\text{пад}}$ - поток падающих частиц (ему соответствует функция $Ae^{ik_1x}$ для $x < 0$).
$j_{\text{отр}}$ - поток отражённых частиц (ему соответствует функция $Be^{-ik_1x}$ для $x < 0$).
$j_{\text{пр}}$ - поток прошедших частиц (ему соответствует функция $Ce^{ik_2x}$ для $x > 0$).

Для упрощения формул будем использовать обозначения:

$$ v_1 = \frac{\hbar k_1}{m} = \sqrt{\frac{2E}{m}} $$

$$ v_2 = \frac{\hbar k_2}{m} = \sqrt{\frac{2(E - U)}{m}} $$

Получаем выражения для этих потоков, применяя указанную формулу к функции, соответствующей потоку:

\begin{multline*} j_{\text{пад}} = \frac{\hbar}{m}\operatorname{Im}(A^*e^{-ik_1x}Aik_1e^{ik_1}) = \frac{\hbar k_1}{m}A^*A =\\ = v_1|A|^2 = v_1\frac{|C|^2}{4}\left(1 + \frac{v_2}{v_1}\right)^2 = \frac{|C|^2}{4v_1}(v_1 + v_2)^2 \end{multline*}

\begin{multline*} j_{\text{отр}} = \frac{\hbar}{m}\operatorname{Im}(B^*e^{ik_1x}B(-ik_1)e^{-ik_1}) =\\ -v_1|B|^2 = -v_1\frac{|C|^2}{4}\left(1 - \frac{v_2}{v_1}\right)^2 = -\frac{|C|^2}{4v_1}(v_1 - v_2)^2 \end{multline*}

$$ j_{\text{пр}} = v_2|C|^2 = \frac{|C|^2}{4v_1} \cdot 4v_1v_2 $$

Коэффициенты пропускания и отражения выражаются через потоки:

$$ K_{\text{пр}} = \left|\frac{j_{\text{пр}}}{j_{\text{пад}}}\right| = \frac{4v_1v_2}{(v_1 + v_2)^2} $$

$$ K_{\text{отр}} = \left|\frac{j_{\text{отр}}}{j_{\text{пад}}}\right| = \frac{(v_1 - v_2)^2}{(v_1 + v_2)^2} = \left(\frac{v_1 - v_2}{v_1 + v_2}\right)^2 $$

На этом данная простенькая задача решена, и тут возникают вопросы:

Из каких постулатов следует, что данную задачу следует решать именно так?

Что обозначает волновая функция $\Psi(x)$ в данной задаче? Состояние индивидуальной системы в некоторый момент времени?

[Munin]

На самом деле, состояние системы - это всегда решение некоторого нестационарного уравнения Шрёдингера. Но если состояние не меняется со временем, а только крутится по фазе, то чтобы найти его, можно решать стационарное уравнение Шрёдингера (и помножить результат на фазовый множитель $e^{-iEt/\hbar}$). В случае стационарных решений, тут ищутся действительные решения, а в случае задачи рассеяния - решения указанного вами вида, то есть асимптотически на бесконечности имеющие вид сумм волн $e^{ikx},$ и нормируемые на поток - то есть, сумма потоков падающих волн (имеющих $k$ в сторону начала координат) равна единице, и аналогично, сумма потоков рассеянных волн тоже равна единице (это должно выполниться автоматически).

Каждый раз, когда в какой-то момент времени будет $e^{-iEt/\hbar}=1,$ то найденные решения будут в точности состояниями системы в этот момент.

[VladimirKalitvianski]

Formalizator в сообщении #745542 писал(а):

Из каких постулатов следует, что данную задачу следует решать именно так?

Это задача о рассеянии волны. В классической механике частица либо пролетает над баръером (с потерей скорости), либо отражается, если баръер выше кинетической энергии. Волны же частично проходят (с ослаблением амплитуды) и частично отражаются. Расчет соответствует постулатам Квантовой механики с интерпретацией волновой функции, как амплитуды вероятности. Ваша задача это идеализация рассеяния одной очень длинной волны (почти монохроматический волновой пакет), представляющей одну частицу во внешнем потенциале. Это вполне может быть "потенциал другой частицы".

[Munin]

VladimirKalitvianski в сообщении #745550 писал(а):

Ваша задача это идеализация рассеяния одной очень длинной волны (почти монохроматический волновой пакет), представляющей одну частицу во внешнем потенциале.

Кроме того, любое рассеяние немонохроматического волнового пакета может быть разложено по монохроматическим, так что решения монохроматической задачи достаточно.

[Formalizator]

Рассмотрим постановку реального эксперимента в общей формулировке. В рассеиватель посылаются квантовые частицы из источника. Параметры источника известны. Параметры рассеивателя известны. Имеются детекторы, которые время от времени срабатывают (считается, что при попадании в них квантовых частиц). Параметры детекторов тоже известны. В ходе эксперимента собирают статистику срабатываний детекторов. Задача теории - предсказать статистику срабатываний детекторов в зависимости от параметров установки.

Нужно получить метод решения таких задач, используя постулаты квантовой механики.

Вот одна из формулировок этих постулатов (алгебра векторов и операторов предполагается известной, операторы являются линейными):

1) Состояние квантовой системы в каждый момент времени характеризуется статистическим оператором $\rho$. Этот оператор самосопряжённый, с единичным следом, положительно полуопределённый:

$$ \rho^+ = \rho $$

$$ \operatorname{Sp}\rho = 1 $$

$$ \forall |x\rangle \colon \langle x|\rho|x\rangle \geqslant 0 $$

2) Каждой наблюдаемой (наблюдаемая - характеризующая систему физическая величина, значение которой можно измерить) ставится в соответствие самосопряжённый оператор ($A^+ = A$).

3) Зависимость статистического оператора от времени определяется уравнением:

$$ \frac{\partial\rho}{\partial t} = \frac{1}{i\hbar}[H, \rho] $$

где $H$ - оператор полной энергии системы (гамильтониан, оператор Гамильтона).

4) В результате измерения некоторой наблюдаемой могут быть получены только собственные значения оператора этой наблюдаемой. Вероятность получения результата измерения вычисляется по следующим правилам.

Пусть $A$ - оператор наблюдаемой. В конечномерных пространствах самосопряжённый оператор можно представить в виде суммы:

$$ A = \sum_k a_k P_k $$

где действительное число $a_k$ - собственное значение, оператор $P_k$ - проектор, соответствующий этому собственному значению. Различным значениям индекса $k$ соответствуют различные собственные значения.

Проекторы удовлетворяют соотношениям (1 - единичный оператор):

$$ \sum_k P_k = 1 $$

$$ P_i^+ = P_i $$

$$ P_i^2 = P_i $$

$$ P_iP_j = 0 \quad \mbox{при} \quad i \ne j $$

Последние две формулы можно выразить одной:

$$ P_iP_j = P_i\delta_{ij} $$

В бесконечномерных пространствах спектр оператора (набор его собственных значений) может быть дискретным, непрерывным, или состоять из дискретной и непрерывной частей. В случае непрерывного спектра сумма заменяется на соответствующий интеграл:

$$ A = \int_{-\infty}^{+\infty} a P(a)\,da $$

$$ \int_{-\infty}^{+\infty} P(a)\,da = 1 $$

$$ P(a)^+ = P(a) $$

$$ P(a)P(b) = P(a)\delta(a-b) $$

Дискретную часть спектра можно включить в этот интеграл с помощью дельта-функций.

Вероятность получить в результате измерения значение $a_k$ (дискретный спектр) выражается формулой:

$$ p_k = \operatorname{Sp}(\rho P_k) $$

Плотность вероятности получить в результате измерения значение $a$ (непрерывный спектр) выражается формулой:

$$ \rho(a) = \operatorname{Sp}(\rho P(a)) $$

[Munin]

Не хватает одной существенной детали. Что делает с самим состоянием квантовой системы процесс наблюдения. А он как раз применяет к нему один из проекторов $P_k.$ Это неунитарный процесс, противоречащий написанной формуле унитарной эволюции $i\hbar\,\partial\rho/\partial t=[H,\rho].$

Нужно это для того, чтобы описать начальное приготовление квантовой системы. Оно осуществляется таким же процессом измерения, но интерес представляет эволюция квантовой системы не до измерения, а после - поскольку она происходит из заданного начального состояния.

После того, как вы можете задавать начальные состояния, и измерять конечные, можно описать постановку реального эксперимента, который вы указали.

-- 13.07.2013 12:04:29 --

И ещё мелкая деталь. Обозначение $\mathrm{Sp}$ - из немецкого языка, и по историческим причинам стало распространено в отечественной литературе прошлых лет. Но сегодня его часто вытесняет англоязычное обозначение $\mathrm{tr}$ (вариант: $\mathrm{Tr}$), распространённое во всём мире. С этим обозначением легче читать зарубежную литературу. Обязательной традиции на этот счёт в отечественной литературе нет - есть много книг с англоязычным обозначением.

[VladimirKalitvianski]

Formalizator в сообщении #745610 писал(а):

Плотность вероятности получить в результате измерения значение $a$ (непрерывный спектр) выражается формулой ...:

В чем, собственно, Ваш вопрос?

[epros]

Formalizator в сообщении #745504 писал(а):

Есть мнение, что волновая функция и матрица плотности являются лишь инструментами для решения задач, и к состоянию индивидуальной реальной системы не имеют отношения.

«Является инструментом для решения задач» — это уже означает, что «имеет отношение к состояниям реальных систем» (в той степени, в которой соответствующие задачи имеют отношение к реальным проблемам).

P.S. Вы далее углубляетесь в теоретизирования, а вопрос-то, по-моему, был чисто методологическим.

[Formalizator]

Munin в сообщении #745622 писал(а):

Не хватает одной существенной детали. Что делает с самим состоянием квантовой системы процесс наблюдения. А он как раз применяет к нему один из проекторов $P_k.$ Это неунитарный процесс, противоречащий написанной формуле унитарной эволюции $i\hbar\,\partial\rho/\partial t=[H,\rho].$

Что Вы подразумеваете под "процессом наблюдения" в данном случае?

VladimirKalitvianski в сообщении #745636 писал(а):

Formalizator в сообщении #745610 писал(а):

Плотность вероятности получить в результате измерения значение $a$ (непрерывный спектр) выражается формулой ...:

В чем, собственно, Ваш вопрос?

В том сообщении смысл вопроса такой:
Задана схема квантовомеханического эксперимента: конфигурация установки, что делают. Нужно предсказать результаты теоретическим путём, причём рассуждения должны основываться на постулатах теории.

А главный вопрос приведён в названии темы: "Что такое квантовая система?"

epros в сообщении #745652 писал(а):

Formalizator в сообщении #745504 писал(а):

Есть мнение, что волновая функция и матрица плотности являются лишь инструментами для решения задач, и к состоянию индивидуальной реальной системы не имеют отношения.

«Является инструментом для решения задач» — это уже означает, что «имеет отношение к состояниям реальных систем» (в той степени, в которой соответствующие задачи имеют отношение к реальным проблемам).

Согласно указанному мнению, история индивидуальной реальной системы НЕ выражается зависимостью матрицы плотности от времени. Именно это имелось в виду.

(Оффтоп)

epros в сообщении #745652 писал(а):

P.S. Вы далее углубляетесь в теоретизирования, а вопрос-то, по-моему, был чисто методологическим.

Что Вы имели в виду, назвав вопрос "чисто методологическим"?

[epros]

Formalizator в сообщении #746251 писал(а):

Согласно указанному мнению, история индивидуальной реальной системы НЕ выражается зависимостью матрицы плотности от времени. Именно это имелось в виду.

Т.е. согласно «указанному мнению» результаты экспериментов над «индивидуальной реальной системой» противоречат теоретическим выводам, сделанным на основании описания её состояния матрицей плотности?

Formalizator в сообщении #746251 писал(а):

Что Вы имели в виду, назвав вопрос "чисто методологическим"?

Что за ним нет никакой физики. Нужно просто понять, что любая теория — это только инструмент для описания реальности, и ничего больше. Если инструмент неплохо работает и лучшего ничего нет, то говорить о том, что соответствующая теоретическая модель якобы «не имеет отношения к реальности», бессмысленно.

Физика начнётся только в том случае, если Вы продемонстрируйте расхождение выводов теории с экспериментом и предложите лучшую теорию.

[Munin]

Formalizator в сообщении #746251 писал(а):

Что Вы подразумеваете под "процессом наблюдения" в данном случае?

Это должно быть написано в вашем учебнике КМ, не знаю, каким вы пользуетесь. Грубо говоря, акт взаимодействия квантовой системы с классическим детектором.

Formalizator в сообщении #746251 писал(а):

А главный вопрос приведён в названии темы: "Что такое квантовая система?"

Тут всё просто, это система, описываемая любой из нескольких (можно явно перечислить: волновые функции, матрицы плотности, интегралы Фейнмана) математических моделей.

Formalizator в сообщении #746251 писал(а):

Согласно указанному мнению, история индивидуальной реальной системы НЕ выражается зависимостью матрицы плотности от времени.

С чего это вдруг? Из процитированного мнения это никак не следует.

[Formalizator]

epros в сообщении #746281 писал(а):

Formalizator в сообщении #746251 писал(а):

Согласно указанному мнению, история индивидуальной реальной системы НЕ выражается зависимостью матрицы плотности от времени. Именно это имелось в виду.

Т.е. согласно «указанному мнению» результаты экспериментов над «индивидуальной реальной системой» противоречат теоретическим выводам, сделанным на основании описания её состояния матрицей плотности?

Согласно указанному мнению, предсказания результатов эксперимента производятся посредством применения формализма теории (в частности, квантовой механики) к описанию эксперимента. Если теория применима в достаточной степени для данного случая, она даст предсказания, согласующиеся с результатами эксперимента с достаточной точностью. Одна из целей этой темы - рассмотрение квантовомеханического формализма для предсказания результатов экспериментов. Утверждается, что он даёт правильные предсказания, вот и нужно в этом убедиться, и посмотреть, какую роль играет здесь понятие "квантовая система", и выяснить, какое отношение это понятие имеет к единичной реальной системе.

Поясню. Квантовой системой я называю объект, который, в частности, описывается зависимостью матрицы плотности от времени.

[Munin]

Теперь и мне непонятно: а вопрос-то в чём? В чём вы не можете убедиться по своему учебнику КМ?