В чем польза школьной геометрии для мат-школьника?

[liber]

Munin в сообщении #745969 писал(а):

Ваш вопрос наводит на подозрения, что вы аналитической геометрии не знаете.

Совершенно верно. Высшая математика для меня на данный момент — темный лес.

Munin в сообщении #745969 писал(а):

Это легко. $\varnothing$

Да ладно? Взять хотя бы алгебраические преобразования.

[Munin]

ewert в сообщении #745972 писал(а):

Или, что эквивалентно, $\Omega$.

Не понял.

ewert в сообщении #745972 писал(а):

Не помню, высказывался я уже тут или нет; на всякий случай выскажусь.

А полезно было бы. Я вот перечитал тему. С удовольствием. (Особенно себя :-) )

ewert в сообщении #745972 писал(а):

на всякий случай выскажусь. Школьная геометрия необходима тупо для развития пространственного воображения.

А ещё полезно было бы сначала разобраться, а в чём тема состоит. Если бы вы читали тему, вы бы были в курсе, что здесь польза простраственного воображения не отрицается. Просто есть способы развить его лучше, чем стандартная школьная геометрия. Заодно, это будет не так тупо.

ewert в сообщении #745972 писал(а):

А вот аналитическая геометрия в этом деле ни разу не спасает.

Простите, но я не могу избавиться от впечатления, что и вы аналитической геометрии попросту не читали / не слушали никогда. Возможно, получили о ней поверхностное впечатление, пролистав большим пальцем учебник, с высоты уже известного курса линейной алгебры.

-- 14.07.2013 23:01:51 --

liber в сообщении #745973 писал(а):

Да ладно? Взять хотя бы алгебраические преобразования.

О нет. Вы чётко поставили условия:

liber в сообщении #745964 писал(а):

исключая все то, что "является подмножеством" разделов высшей математики

Я их строго соблюдаю. Алгебраические преобразования подмножеством высшей математики являются. (Раздел обычно называется общая алгебра.)

-- 14.07.2013 23:05:13 --

liber в сообщении #745973 писал(а):

Munin в сообщении #745969 писал(а):

Ваш вопрос наводит на подозрения, что вы аналитической геометрии не знаете.

Совершенно верно. Высшая математика для меня на данный момент — темный лес.

Аналитическая геометрия, строго говоря, не высшая математика, а как раз элементарная. Это небольшой кусочек таких разделов высшей математики, как линейная алгебра и (немного) алгебраическая геометрия.

(Надо понимать, что сама математика на элементарную и высшую не делится вообще. Это вымышленное деление в целях преподавания: что попроще, называется элементарной, а что будет изучаться потом, в вузе, - высшей. И в вузах, особенно математических, словосочетание "высшая математика" вообще не употребляется. А деление математики - самой по себе - на разделы совсем другое.)

[ewert]

Munin в сообщении #745974 писал(а):

Просто есть способы развить его лучше, чем стандартная школьная геометрия.

Возможно. Но, во всяком случае, аналитическая геометрия вкупе с линейной алгеброй, которые тут некоторые товарищи предлагают в качестве альтернативы -- не годятся как таковые способы ни разу.

Munin в сообщении #745974 писал(а):

но я не могу избавиться от впечатления, что и вы аналитической геометрии попросту не читали / не слушали никогда.

Я не помню, слушал ли я её. Но вот что читал многократно -- помню. И очень хорошо помню, как скубенты постоянно сыпались на формальностях, не имея интуитивного представления об очевидностях. Возможно, потому, что они ни хрена в школе не учились; но и не исключено и потому, что им ту геометрию давали продвинуто, со всей предупредительной аналитикой. И, как следствие, на заведомо тупиковых вариантах они и застревали.

[liber]

Хорошо, значит я выразился неправильно. Я имел ввиду, что необходимо знать из школьной математики для изучения высшей (курсы по высшей математике явно подразумевают у читателя наличие определенных знаний; не учат же скобки раскрывать и дроби складывать, в конце концов). Можно конечно взять непосредственно какой-то учебник по вышке и по ходу изучать необходимое из элементарной математики, но такой подход смущает, не упустить бы чего.

[ewert]

liber в сообщении #745980 писал(а):

Я имел ввиду, что необходимо знать из школьной математики для изучения высшей (курсы по высшей математике явно подразумевают у читателя наличие определенных знаний; не учат же скобки раскрывать и дроби складывать, в конце концов).

Вы сильно заблуждаетесь. Очень даже учат. Вынуждены учить.

[Munin]

ewert в сообщении #745978 писал(а):

Возможно. Но, во всяком случае, аналитическая геометрия вкупе с линейной алгеброй, которые тут некоторые товарищи предлагают в качестве альтернативы -- не годятся как таковые способы ни разу.

ewert в сообщении #745978 писал(а):

Я не помню, слушал ли я её. Но вот что читал многократно -- помню. И очень хорошо помню, как скубенты постоянно сыпались на формальностях, не имея интуитивного представления об очевидностях.

Тогда, извините, это недостатки конкретного курса аналитической геометрии. При всём уважении.

Разумеется, школьный курс аналитической геометрии, предлагаемый на замену стандартной геометрии, должен будет эти очевидности давать и им учить, а вовсе не полагаться на то, что они уже знакомы студентам. Сделать это несложно. Объём курса от этого может измениться, ну, процентов на 20 % - 30 %.

liber в сообщении #745980 писал(а):

Я имел ввиду, что необходимо знать из школьной математики для изучения высшей

О, это совсем другой вопрос, и вы правы, он объёмен, неопределён, несколько раз здесь уже обсуждался, и в любом случае, в данной теме абсолютный офтопик. Поэтому я отвечать не буду.

liber в сообщении #745980 писал(а):

Можно конечно взять непосредственно какой-то учебник по вышке и по ходу изучать необходимое из элементарной математики, но такой подход смущает, не упустить бы чего.

Не упустите. Авторы таких учебников специально следили, чтобы ничего не упустить.

Другой вопрос, что не существует "учебника по вышке". Есть учебники по разным разделам. И вот какие именно учебники по каким разделам взять, и заодно, в каком порядке их читать - это надо проделать грамотно и с пониманием. (Если у вас своих знаний не хватает - спросите у людей знающих.) Легко "упустить" какой-нибудь раздел математики, и легко схватиться за то, что читать рановато - как пропуск ступеньки на лестнице - только с гораздо более катастрофическими результатами, вы ничего не поймёте (и можете этого даже не заметить).

-- 14.07.2013 23:27:20 --

liber в сообщении #745980 писал(а):

не учат же скобки раскрывать и дроби складывать, в конце концов

ewert в сообщении #745984 писал(а):

Вы сильно заблуждаетесь. Очень даже учат. Вынуждены учить.

И не только потому, что вынуждены, но и потому, что только в "высшей математике", наконец-то, могут объяснить толком, строго и по порядку, что же это за действия такие.

[ewert]

Munin в сообщении #745986 писал(а):

Тогда, извините, это недостатки конкретного курса аналитической геометрии. При всём уважении.

Это ни разу не недостаток курса (какие бы ни недостатки у него ни были). Это всего лишь трезвое осознание реальности.

Munin в сообщении #745986 писал(а):

Разумеется, школьный курс аналитической геометрии, предлагаемый на замену стандартной геометрии, должен будет эти очевидности давать и им учить, а вовсе не полагаться на то, что они уже знакомы студентам. Сделать это несложно.

Разумеется, несложно. Всё невозможное вообще элементарно. Скажем, тривиально обучить девочку вставать на пуанты -- теорекхтицски; далее же она пущай встаёт пракхтицски как хочет. Не наше дело как; мы ж курс-то прочитали.

-- Вс июл 14, 2013 23:56:13 --

Munin в сообщении #745986 писал(а):

И не только потому, что вынуждены, но и потому, что только в "высшей математике", наконец-то, могут объяснить толком, строго и по порядку, что же это за действия такие.

Не могут, кстати. Нет времени.

Вот мне, начиная со следующего семестра, предстоит вести курс матана (до сих пор мне ни разу не доводилось читать первый семестр матана; остальные семестры в том или ином виде приходилось, а вот первый семестр -- ни разу). И вот тут я встал в тупик. Что такое вещественные числа-то, а?...

Честно я про это рассказать, естественно, не успею. Ссылать на учебники -- не выйдет: они (из стандартных) или занудны, или в них ничего по теме нет. А тема-то принципиальна.

Нет, ну я-то, конечно, выкручусь как-нибудь. Какую-нибудь более-менее разумную лапшу на уши повешу. Но и Вы должны понимать: совсем без лапши -- "толком, строго и по порядку" (с) -- тут никак. Нет времени. Медицинский факт, увы.

[Munin]

ewert в сообщении #745989 писал(а):

Это ни разу не недостаток курса (какие бы ни недостатки у него ни были).

Вы же сами сказали, что у студентов были проблемы. Значит, недостаток.

ewert в сообщении #745989 писал(а):

Всё невозможное вообще элементарно.

Я понимаю, что задел вас за живое; я извинился. Но я видел, как это делается, и невозможным это отнюдь не было.

ewert в сообщении #745989 писал(а):

Не могут, кстати. Нет времени.

Ну, в общем, да. Но (1) хоть как-то получше, чем в школе, и (2) дают ссылки на нормальные учебники, которые потом можно прочитать, когда время найдётся (где-нибудь в аспирантуре уже, ага).

[g______d]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #745989 писал(а):

Вот мне, начиная со следующего семестра, предстоит вести курс матана (до сих пор мне ни разу не доводилось читать первый семестр матана; остальные семестры в том или ином виде приходилось, а вот первый семестр -- ни разу). И вот тут я встал в тупик. Что такое вещественные числа-то, а?...

Честно я про это рассказать, естественно, не успею. Ссылать на учебники -- не выйдет: они (из стандартных) или занудны, или в них ничего по теме нет. А тема-то принципиальна.

Нет, ну я-то, конечно, выкручусь как-нибудь. Какую-нибудь более-менее разумную лапшу на уши повешу. Но и Вы должны понимать: совсем без лапши -- "толком, строго и по порядку" (с) -- тут никак. Нет времени. Медицинский факт, увы.

Можно их вообще не вводить сначала. Рассказать максимум возможного про последовательности рациональных чисел. А потом, когда освоятся с понятием фундаментальной последовательности, это можно будет сделать дешево. Я лекций по мат. анализу не читал, но знаю людей, которые так читали.

[ewert]

(Оффтоп)

g______d в сообщении #745998 писал(а):

Можно их вообще не вводить сначала. Рассказать максимум возможного про последовательности рациональных чисел. А потом, когда освоятся с понятием фундаментальной последовательности, это можно будет сделать дешево

Я примерно так и собираюсь. Типо покамест, детишки, вам всё более-менее известно. А что это означает -- обсудим чуть позже. И тут: бах -- критерий типо Коши?.. -- а не нервничайте, чуть позже проявится, почему. -- А! (чуть позже) а потому, что, в общем-то, по определению.

Тут главное -- не затянуть всю эту лирику более чем на полпары. Я тягуч, поэтому надеюсь выкинуть на всё это не более пары. Более -- нельзя категорически.

[mihailm]

ewert в сообщении #745989 писал(а):

...
Вот мне, начиная со следующего семестра, предстоит вести курс матана (до сих пор мне ни разу не доводилось читать первый семестр матана; остальные семестры в том или ином виде приходилось, а вот первый семестр -- ни разу). И вот тут я встал в тупик. Что такое вещественные числа-то, а?...

Вчера полдня вспоминал, читал ли я матан в первом семестре? Вроде читал, а что там читал хоть убей не помню. Действительные числа наверно вводил как бесконечные десятичные дроби, по наметкам учебника Колмогорова (там в конце второй главы в сведениях из истории), еще мог вводить аксиоматически - выписать аксиомы (сколько там их штук 20?) и сказать что объект им удовлетворяющий определяется однозначно. И тот и другой вариант методически мне нравится.

[ewert]

(Оффтоп)

mihailm в сообщении #746002 писал(а):

Действительные числа наверно вводил как бесконечные десятичные дроби, по наметкам учебника Колмогорова (там в конце второй главы в сведениях из истории), еще мог вводить аксиоматически - выписать аксиомы (сколько там их штук 20?) и сказать что объект им удовлетворяющий определяется однозначно. И тот и другой вариант методически мне нравится.

Как-то Вы неправильно их вводили. При чём тут аксиоматика-то?... Кому нужны все эти аксиомы.

Правильная позиция: вещественным числом называется то, что можно сколь угодно точно приблизить рациональными. А потом можно долго рассуждать на тему о том, в каком смысле приблизить. Бяда в том, что времени на рассуждения нет (хотя сами по себе те рассуждения и плодотворны).

[longstreet]

(Оффтоп)

ewert, а чем через сечения плохо? Вроде наиболее простой путь.

[mihailm]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #746004 писал(а):

...
Как-то Вы неправильно их вводили. При чём тут аксиоматика-то?... Кому нужны все эти аксиомы
...

Для дальнейших нужд, чтобы привыкали, тем более что объект известный, а строго вводить действительные числа вот уж совсем бессмысленно. Это были программисты, у которых был еще годовой курс дискретки, где много абстрактных определений. Так что например полнота меня практически не интересовала, а вот ввести понятие группы и кольца в этом месте не отказался бы.
Мои личные предпочтения введения чисел кстати совсем другие, но здесь главное польза и время (мое, ограниченное)

[ewert]

(Оффтоп)

mihailm в сообщении #746023 писал(а):

Так что например полнота меня практически не интересовала, а вот ввести понятие группы и кольца

Между тем только ради полноты, исключительно ради неё они и интересны. И практически необходимы -- тоже исключительно из-за неё. В отличие от всех прочих числовых систем; все прочие стимулированы алгебраически, в то время как вещественные числа, в порядке исключения -- ни разу не алгебраически. Чем они, собственно, и замечательны.

-- Пн июл 15, 2013 23:35:10 --

(Оффтоп)

longstreet в сообщении #746012 писал(а):

ewert, а чем через сечения плохо? Вроде наиболее простой путь.

Ну да, он технически вроде бы наиболее короткий, недаром те, кто пытается хоть сколько-то строго ввести $\mathbb R$, именно к нему обычно и прибегают.

Но. Это я уже в порядке вкусовщины. Он не вполне идеен. Почему супремумы, зачем они нам?...

Наиболее идейный подход -- через пополнение по Кантору. Он идеен прежде всего потому, что в точности отражает соотношение между нашими потребностями и нашими же вычислительными возможностями. И экстраполируется очень далеко.

Беда в том, что ни один из более-менее аккуратных подходов в любой стандартный курс не вмещается. Чего-нить сжульничать придётся в любом случае. Ну так я уж буду если жульничать, то лучше по Кантору. Вопрос лишь в том, в какую словесную обёртку всё это размахивание руками завернуть.