Неустойчивое равновесие в школьной задачке.

[Legioner93]

Munin в сообщении #743337 писал(а):

Пример.

Не приведу:) Забыл, что кроме устойчивости и неустойчивости ещё случаи есть.

Munin в сообщении #743337 писал(а):

Кстати, это не верно для функций от двух и более переменных. Какой бы смысл не придавать слову "между".
Да, там между минимумами должен быть не максимум, а седловая точка. Седловые точки, в свою очередь, образуют "между" собой седловые точки следующего типа, и так до максимума. И всё это - только для функций общего положения.

А что такое функция общего положения? И я не понял, как мы в итоге дойдем до максимума через седловые точки. Но сначала лучше прояснить первый вопрос.
Могу привести пример элементарной функции, у которой много минимумов и ни одного максимума. И ровно два минимума, и ни одного максимума. Но она наверное будет не общего положения
Собственно, сразу такую функцию придумал, но сделал неправильный теормеханический вывод. Следует читать как "И у системы может быть 2 устойчивых положения равновесия вкупе с отсутствием неустойчивого положения равновесия"

Неустойчивость понимается в смысле неустойчивости по всем направлениям.

[venco]

Munin в сообщении #743337 писал(а):

Legioner93 в сообщении #743319 писал(а):

И у системы может быть 2 устойчивых положения равновесия вкупе с отсутствием других точек равновесия вообще.

Пример.

$1\over{x^2-x^4}$

[Munin]

Legioner93 в сообщении #743346 писал(а):

А что такое функция общего положения?

Это такая, что если её немного пошевелить, то получится примерно то же самое. Например, $a(x^2+y^2)^2-b(x^2+y^2)$ - не общего положения (кольцевой минимум при малых шевелениях распадается во что-то другое), а $a(x^2+y^2)^2-b(x^2+y^2)+\varepsilon x$ - общего положения. Извините, что неформально, но лучшего определения я не знаю (само понятие почёрпнуто у Арнольда).

venco в сообщении #743352 писал(а):

$1\over{x^2-x^4}$

Ну это нечестно, она несвязная! Хорошо, уточню, в связной области. Ох, сейчас меня закидают примерами с границами и на бесконечности... Ладно, вообще снимаю утверждение. Хотя "на пальцах" оно и полезно.

[Legioner93]

Munin
Как именно функцию шевелить-то?
$z=x^4 - x^2 + y^2$ общего положения или нет? У неё 2 минимума и ноль максимумов как раз. У $z=\sin{x}+y^2$ много-много минимумов и тоже ноль максимумов.

[Munin]

Legioner93 в сообщении #743377 писал(а):

$z=x^4 - x^2 + y^2$ общего положения или нет? У неё 2 минимума и ноль максимумов как раз.

Да, она общего положения. Как я уже сказал, у неё седловая точка между минимумами. Поскольку больше седловых точек нет, максимумов тоже нет.

Legioner93 в сообщении #743377 писал(а):

У $z=\sin{x}+y^2$ много-много минимумов и тоже ноль максимумов.

Да. Здесь много седловых точек, а максимумов нет. "Хребты" от седловых точек уходят на бесконечность, и это аналогично картине, когда между седловыми точками были максимумы, но они унесены на бесконечность. Я про это уже говорил в предыдущем сообщении.