Дьявольские магические квадраты из простых чисел

[dimkadimon]

Nataly-Mak

Боюсь что ваш алгоритм не очень работает для построения пандиагональных квадратов. Я пробовал брать магические простые квадраты N>=10 и переставлять их ряды и столбы, но увы я даже близко не поддошёл к пандиагональному квадрату. Jarek об этом говорит в начале темы. Теоретически таким образом можно построить пандиагональный квадрат, но практически очень сложно потому что количество вариантов очень много - (N!)^2.

[Jarek]

The huge difference between magic square and pandiagonal square is that in magic square most terms are involved in 2 sums while in pandiagonal square every term is involved in 4 sums.

In magic square you can swap 2 terms in the same row, not affecting the sum of that row, and adjust column sums that way. Swapping 2 terms in one row changes only sums of 2 columns (assuming those terms are not on diagonals). Whether you do in on purpose or a random-swaps program does it for you, there are always good moves not messing up the sums, which are already correct and approaching with other sums to the right values.

In pandiagonal square swapping 2 terms in one line affects 6 sums of the other lines. I do not see how one can control those sums efficiently nor see any hope of converging to a pandiagonal square with random swaps of the terms. Simply I don't assume that a random swap will make a good move in 3 independent directions.

Anyway, I have never tried to take a predefined set of irregularly looking numbers (like primes) and build a pandiagonal square by random swaps of those numbers. My intuition tells me this cannot work (but of course I may be wrong).

Also I do not see how one could construct a larger pandiagonal square from predefined set of randomly looking numbers - perhaps some constructions are possible only when you somehow influence selection of primes to make the set at least partially regular.

dimkadimon, it is even worse: Number of possibilities of arranging terms is (N^2)!, not (N!)^2.

Those are just pure symbols which are not saying anything. So let us take N=10 (or N=15 in parentheses) and make some very very rough estimates.

Number of possibilities of constructing a square is (N^2)!=10^158 (or 10^433)
Number of magic sums to be made right: 4N-4 (the last 4 sums must be OK): 36 (or 56).
Assuming most sums are below R=5000 (or 20000), but are already of the right parity, on average there exists one pandiagonal square in each (R/2)^(4N-4) squares, i.e one in 10^122 (or 10^224). Hence there are 10^36 (or 10^209) pandiagonal squares. Hence we can be almost sure there are pandiagonal squares of primes with the same magic sum as the known minimum for magic squares - moreover there are plenty of those.

Can we hope to find at least one of those? We can easily fix a semi-magic square (right sums of rows and colums) and try to rearrange rows and colums to make the right sums on the all broken diagonals. We have (N!)^2 possibilities of such an rearrangement, i.e 10^13 (or 10^24). Quite a lot, but could it help? We need to find 2N-2=18 (or 28) right sums, which will happen in one out of (R/2)^(2N-2) squares, i.e 10^61 (or 10^112). Hence we can be sure that a random magic square has no rearrangement of rows and colums leading to a pandiagonal square.

While I am almost sure that the known minimum for magic sqaures of primes is exactly the same as for the pandiagonal squares for N>=10 (or even a bit lower), I am afraid we will never see a single pandiagonal square of primes with that low magic sum. If we denote the known minimum for magic square of primes by m, then I was able to go below:
1.4m for all 12<=N<=20
1.3m for all 9<=N<=11
1.2m for all 7<=N<=8

[dmd]

Excel-файл для игры с примитивными квадратами. Для редактирования доступны только жёлтые ячейки. Если число не простое внутри квадрата, то оно загорится красным, если простое - то будет синим. При открытии файла макросы должны быть разрешены. При ручном подборе можно действовать так. Сначала ставим простое число на главной жёлтой диагонали. Затем в ячейке слева подбираем такое простое число, чтоб оно было меньше правого, но больше верхнего числа. Если при этом все числа будут синими, то примитивный квадрат соответствующего порядка сложился. Я пытаюсь алгоритмизировать данную эвристику. Пока что у меня при таком случайном подборе простых разворачивается грандиозный экспоненциальный веер и все константы получаются очень крупными. И это всё еще примитивные квадраты. Как подойти к нерегулярным пандиагональным квадратам вообще идей нет.

[whitefox]

(На Украине)

Nataly-Mak в сообщении #742226 писал(а):

(проходила в Украине)

Извиняюсь за оффтоп, но меня как русского украинца, коробит от такого пренебрежительного отношения к моей второй Родине.
По-русски говорят: на Родине, на Святой Руси, на Украине.
По-украински говорят точно также. Вот, что писал Тарас Шевченко:

Т.Шевченко писал(а):

Як умру, то поховайте
Мене на могилі
Серед степу широкого
На Вкраїні милій,
Щоб лани широкополі,
І Дніпро, і кручі
Було видно, було чути,
Як реве ревучий.

Исключать Украину из приведённого выше ряда святых для всякого русского (в широком смысле этого слова) человека понятий не правильно.

[Nataly-Mak]

dimkadimon в сообщении #742296 писал(а):

Nataly-Mak

Боюсь что ваш алгоритм не очень работает для построения пандиагональных квадратов. Я пробовал брать магические простые квадраты N>=10 и переставлять их ряды и столбы, но увы я даже близко не поддошёл к пандиагональному квадрату. Jarek об этом говорит в начале темы. Теоретически таким образом можно построить пандиагональный квадрат, но практически очень сложно потому что количество вариантов очень много - (N!)^2.

Jarek не говорил, что теоретически таким образом можно построить квадрат.
Он говорил, что теоретически могут существовать пандиагональные квадраты с минимально возможными магическими константами для N>=10, но найти их может быть трудно или даже невозможно.

Я и не обещала, что алгоритм будет работать для пандиагональных квадратов.
Првела пример для N=6 (с программой 12d3), когда поиск стопроцентно даст пандиагональный квадрат в том случае, когда он существует, ибо программа 12d3 ищет все магические квадраты из заданного массива чисел. Здесь ошибки быть не может. Каждый построенный квадрат проверяем на пандиагональность. Поскольку множество пандиагональных квадратов является подмножеством всех магических квадратов данного порядка, то все пандиагональные квадраты обязательно будут найдены среди всех магических квадратов.
Я не знаю, как сделал свою программу 12d3, какой у него алгоритм.
Моё предложение о том, что ошибки в моих рассуждениях нет, относилось именно к этому примеру. Здесь всё железно.

Согласна, что приведённый мной алгоритм для построения обычных магических квадратов может не работать для пандиагональных квадратов.
Но наверняка есть другие эвристики. Эти эвристики могут работать одновременно с моей эвристикой или совсем без неё. Ищите! Алгоритм есть. Мы видим это по решениям Jarek.
В том и прелесть задачи, что никто не дал готовых алгоритмов, их надо искать самому.
Надо умение для овладения готовыми алгоритмами, но надо в два раза больше умения, чтобы придумать свой алгоритм. При этом можно брать за основу какие-то известные эвристики, а можно и не брать.
Я рассказываю об известных эвристиках, может быть, кому-то это поможет.

-- Вт июл 02, 2013 12:16:32 --

whitefox в сообщении #742322 писал(а):

(На Украине)

Nataly-Mak в сообщении #742226 писал(а):

(проходила в Украине)

Извиняюсь за оффтоп, но меня как русского украинца, коробит от такого пренебрежительного отношения к моей второй Родине.
По-русски говорят: на Родине, на Святой Руси, на Украине.
По-украински говорят точно также. Вот, что писал Тарас Шевченко:

Т.Шевченко писал(а):

Як умру, то поховайте
Мене на могилі
Серед степу широкого
На Вкраїні милій,
Щоб лани широкополі,
І Дніпро, і кручі
Було видно, було чути,
Як реве ревучий.

Исключать Украину из приведённого выше ряда святых для всякого русского (в широком смысле этого слова) человека понятий не правильно.

(Оффтоп)

Но говорят: в Швеции, а не на Швеции, в России, а не на России, в Финляндии, а не на Финляндии, во Франции, а не на Франции, в Германии, а не на Германии и т.д.
Вообще: конференция проходила в какой-либо стране, а не на какой-либо стране.
Так что, я не вижу никакой ошибки в словосочетании: конференция проходила в Украине.
И тем более, не вижу в этом никакого пренебрежительного отношения к этой стране.

[whitefox]

(Оффтоп)

Но не говорят "в Родине" и не говорят "в Руси".
Сочетание слова Украина с предлогом "на", а не "в" это не только литературная норма современного русского языка, но и дань уважения к общему историческому прошлому двух братских народов.

Не нужно в угоду, не помнящим родства, украинским националистам, исковеркавшим современный украинский язык, коверкать ещё и русский.

[Nataly-Mak]

whitefox в сообщении #742331 писал(а):

(Оффтоп)

Но не говорят "в Родине" и не говорят "в Руси".
Сочетание слова Украина с предлогом "на", а не "в" это не только литературная норма современного русского языка, но и дань уважения к общему историческому прошлому двух братских народов.

Не нужно в угоду, не помнящим родства, украинским националистам, исковеркавшим современный украинский язык, коверкать ещё и русский.

(Оффтоп)

Я задала этот вопрос в подходящей теме:
post742330.html#p742330

Не будем здесь развивать оффтоп.

[Nataly-Mak]

Цитата:

Во всяком случае, я никогда не пытался взять предопределенный набор нерегулярно выглядящих чисел (например, простые числа) и построить pandiagonal квадратных случайных перестановок этих чисел. Моя интуиция подсказывает мне, что не может работать (но, конечно, я могу и ошибаться).

Кроме того, я не вижу, как можно было бы построить больше квадратных pandiagonal из предопределенных набор случайно ищет номера - возможно, некоторые конструкции возможны только тогда, когда вы как-то повлиять выбор простых, чтобы сделать набор по крайней мере частично регулярным.

К сожалению, перевод не совсем хорош.
Что значит "нерегулярно выглядящих чисел"?
Среди пандиагональных квадратов много регулярных пандиагональных квадратов из (различных) простых чисел. Наборы чисел в этих квадратах "регулярно выглядящие"?

Никто и не говорит о случайной перестановке чисел. В моём алгоритме построения обычных МК из простых чисел я тоже применяла не случайную перестановку чисел, а некоторую последовательность процедур (3 этапа), которая приводила в конечном итоге к магическому квадрату. Но не всегда приводила! Из какого-то наперёд заданного массива чисел магический квадрат может просто не составиться никак, он вообще не существует. И тут никакие перестановки и процедуры не помогут. Понятно, что нужно варьировать массивы чисел. Таких массивов очень много, сгенерировать и проверить их все нереально, вот поэтому на первом этапе я и генерирую такой массив случайным образом, генерирую его построчно, то есть все числа у меня уже правильно расположены в строках будущего магического квадрата - сумма чисел в каждой строке равна магической константе квадрата.
Далее следуют ещё два этапа: правильно расположить числа в столбцах и правильно расположить числа в главных диагоналях.
Процедуры последних двух этапов - это уже не случайные перестановки чисел, а действия по определённой схеме.
Очевидно, что для пандиагональных квадратов этих процедур не достаточно.
С этим никто не спорит.

-- Вт июл 02, 2013 15:59:06 --

Пример построения наименьшего пандиагонального квадрата 6-го порядка из (различных) простых чисел и числа 1.
Выполняется проверка (по программе svb) всех наперёд заданных массивов из 36 чисел, это все потенциальные массивы:

1 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101  103  107  109  113  127  131  137  139  167  191 
1 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101  103  107  109  113  127  131  137  149  151  197 
1 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101  103  107  109  113  127  131  137  149  157  191 
1 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101  103  107  109  113  127  131  137  149  167  181 
1 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101  103  107  109  113  127  131  137  151  167  179 
1 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101  103  107  109  113  127  131  137  157  167  173 
1 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101  103  107  109  113  127  131  139  149  167  179 
1 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101  103  107  109  113  127  131  139  151  163  181 
1 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101  103  107  109  113  127  137  139  149  167  173 
1 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101  103  107  109  113  127  137  139  151  157  181 
1 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101  103  107  109  113  131  137  139  149  157  179 
1 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101  103  107  109  113  131  137  139  149  163  173 
1 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101  103  107  109  113  131  137  149  151  157  167 
1 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101  103  107  109  127  131  137  139  151  157  163 
1 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101  103  107  113  127  131  137  139  149  151  167

Пандиагональный квадрат построился только из чисел пятого массива (после пятого массива не проверялись массивы; имеется в виду, что из первых четырёх массивов квадрат не построился):

1 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103  107  109  113  127  131  137  151  167  179

Чем же лучше - "регулярнее" - числа данного массива по сравнению с числами в первых четырёх массивах?

Это сам пандиагональный квадрат:

3  73  31  47 109 151
 113   1 179  13  37  71
 101  43  83 103  17  67
  59  53   5 167  41  89
 127 107  19  23 131   7
  11 137  97  61  79  29

В алгоритме svb тоже отнюдь не случайная перестановка чисел, а вполне определённые действия, хотя они тоже связаны с перебором разных вариантов. Без перебора вообще ни один алгоритм не обойдётся, так я думаю.

В моём алгоритме для построения нетрадиционных пандиагональных квадратов 8-го порядка присутствуют:
1. идея алгоритма svb для квадратов порядка 6;
2. метод случайного выбора.
И вместе это прекрасно работает. Мне удалось найти с помощью этого алгоритма решение с магической константой 1584, наверное, не минимальное, но и не совсем плохое.

[Jarek]

Nataly-Mak в сообщении #742380 писал(а):

Что значит "нерегулярно выглядящих чисел"?
Среди пандиагональных квадратов много регулярных пандиагональных квадратов из (различных) простых чисел. Наборы чисел в этих квадратах "регулярно выглядящие"?

"регулярно выглядящие" is not a strict notion, but what I mean is whether one selects primes in a special way, so they satisfy some algebraic eqaulities, or one takes primes as they are given by some other criteria.

Example 1 (regularly looking): Set of primes, which are used to construct Stanley Antimagic Squares. Those primes are selected in a very special way. This I call regularly looking, since the primes form a set of the form a(i)+b(j). For prime N one can use those primes to construct a pandiagonal square right away.

Example 2 (randomly looking): Set of primes used to construct magic square of primes with minimal possible magic sum. Here we take the set of the smallest N^2 odd primes (with a very small changes to arrive at a correct sum of the selected primes). Those primes come from other criteria than algebraic constrains. I do not see how one could find any usefull pattern there.

Example 3 (intermediate): I could imagine that one could start from a selected set of primes, which satisfy some weaker constrains than needed for Stanley Antimagic Squares. For example, I was able to find contest solutions for some even N starting with a set of primes composed of pairs with constant sums. Anyone who had entered known solution and would find those now, would earn 1.29 points. At some point those were record solutions, but later I improved them with a completely different approach to the problem.

[Nataly-Mak]

Цитата:

Example 2 (randomly looking): Set of primes used to construct magic square of primes with minimal possible magic sum. Here we take the set of the smallest N^2 odd primes (with a very small changes to arrive at a correct sum of the selected primes). Those primes come from other criteria than algebraic constrains. I do not see how one could find any usefull pattern there.

Всё именно так и происходило!
Определялась минимально возможная магическая константа небольшими изменениями в массиве первых n^2 простых чисел (без числа 2). Этот массив чисел и был наперёд заданным массивом из n^2 чисел. И почти всегда магический квадрат порядка n из чисел этого массива составлялся (по моему алгоритму, описанному выше). Я не помню случая, когда это не сработало.

-- Вт июл 02, 2013 17:18:48 --

Jarek
вы видите какие-то закономерности в выборе этого наперёд заданного массива из 36 простых чисел:

1 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103  107  109  113  127  131  137  151  167  179

Я вижу только одну закономерность: сумма всех чисел этого массива поделённая на 6 даёт магическую константу квадрата 414. Этому условию удовлетворяют и остальные потенциальные массивы (14 штук).
В остальном всё произвольно, выбраны произвольные (различные) простые числа плюс число 1.

[Nataly-Mak]

Цитата:

20 1.00 Gustaf Barfknecht Albuquerque, New Mexico, United States 1 Jul 2013 17:11
21 .86 Kevin Burfitt Melbourne, Australia 22 Jun 2013 10:11
22 .61 Michael Steinau Sierksdorf, Germany 27 Jun 2013 18:11
23 .48 Nick Gardner Portsmouth, England, United Kingdom 21 Jun 2013 15:52
24 .04 William Dockendorf Garland, Texas, United States 26 Jun 2013 15:57
25 .03 Juha Saukkola Helsinki, Finland 28 Jun 2013 19:53
26 .01 Alex Chernov Penza, Russia 23 Jun 2013 11:40

Что я вижу в этих решениях...

1 балл - это, скорее всего, известное минимальное решение для N=6 (S=450).
0.86 - это интересный результат. Давно наблюдаю за ним, сначала это был 1 балл; я предположила, что это решение для N=6. И очень долго этот результат оставался неизменным. Но в один прекрасный момент он уменьшился и стал 0.98, а теперь вот уже 0.86. Следовательно, это не решение для N=6. Тогда можно предположить, что участник ввёл одно из решений: для N=7 или для N=8. В каждом случае налицо улучшение решения.

0.48 я уже писала, за какое решение можно получить.
Что за решения с оценками 0.01, 0.03 и 0.04, я без понятия.

[Nataly-Mak]

Вот ещё пример.
Берём наперёд заданный массив простых чисел плюс число 1 (это первый из тех потенциальных массивов, что приведены выше для построения пандиагонального квадрата 6-го порядка с магической константой 414):

1 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101  103  107  109  113  127  131  137  139  167  191 

Пандиагональный квадрат из этих чисел не составляется, а вот обычный магический квадрат - пожалуйста:

89  59  3   139 107 17
71  41  73  191 1   37
47  79  137 53  31  67
11  109 127 7   131 29
83  103 13  5   43  167
113 23  61  19  101 97

Построила в программе Stefano Tognon, квадрат построился мгновенно.

dimkadimon
сколько бы вы не переставляли в этом магическом квадрате строки и столбцы, никогда не получите пандиагональный квадрат
Вы можете даже выполнить полный перебор всех 36! вариантов, всё равно пандиагональный квадрат не получите.

Сейчас найду другой пример, когда магический квадрат превращается в пандиагональный шутя.

-- Вт июл 02, 2013 21:35:13 --

Пандиагональный квадрат построить трудно, ассоциативный магический квадрат построить проще.
Изложенная ниже эвристика работает для всех нетрадиционных ассоциативных магических квадратов чётного порядка.

Цитата:

Следующий алгоритм построения пандиагональных квадратов 6-го порядка основан на использовании преобразования 3-х квадратов. Сначала строим ассоциативный квадрат 6-го порядка, а затем с помощью преобразования 3-х квадратов получаем из него пандиагональный квадрат.

(это из статьи)

Этот ассоциативный квадрат 6-го порядка из различных простых чисел построился по моей программе мгновенно:

11 197 17 191 47 167
181 31 173 53 131 61
139 59 137 83 109 103
107 101 127 73 151 71
149 79 157 37 179 29
43 163 19 193 13 199

Магическая константа квадрата равна 630.
Далее применяю к этому ассоциативному квадрату преобразование 3-х квадратов и получаю пандиагональный квадрат (см. этот квадрат в указанной статье).
Это мой первый пандиагональный квадрат 6-го порядка из различных простых чисел. Как видите, от минимума была не слишком далеко.

В чём заключается преобразование 3-х квадратов, не буду здесь рассказывать, это можно найти в моих статьях.
Скажу только, что преобразование применимо к любому ассоциативному магическому квадрату чётного порядка, кроме классических квадратов порядка n=4k+2.
Преобразование я открыла для себя сама, когда работала с классическими магическими квадратами 4-го порядка. Обратила внимание на то, что ассоциативных квадратов ровно столько же, сколько пандиагональных - 48 штук, и они чем-то очень похожи. Вот из этой "похожести" и нашла преобразование, которое назвала "преобразование 3-х квадратов". Может быть, в науке о магических квадратах это преобразование имеет другое название.

[Nataly-Mak]

Nataly-Mak в сообщении #742644 писал(а):

Скажу только, что преобразование применимо к любому ассоциативному магическому квадрату чётного порядка, кроме классических квадратов порядка n=4k+2.

Исключение "кроме..." здесь вообще-то лишнее, так как классические магические квадраты порядка n=4k+2, k=1,2,3,... не могут быть ни ассоциативными, ни пандиагональными.

И ещё на 0.02 нашёл улучшение Jarek.

Цитата:

1 15.00 Jarek Wroblewski Wroclaw, Poland 3 Jul 2013 07:05
2 6.44 Wes Sampson La Jolla, California, United States 27 Jun 2013 01:56

-- Ср июл 03, 2013 12:19:56 --

dmd в сообщении #742305 писал(а):

Excel-файл для игры с примитивными квадратами.
Пока что у меня при таком случайном подборе простых разворачивается грандиозный экспоненциальный веер и все константы получаются очень крупными. И это всё еще примитивные квадраты.

dmd
не пробовали построить ассоциативный примитивный квадрат 14-го порядка?

Я выше давала пример такого квадрата из произвольных натуральных чисел.
Там предлагала по паре (ассоциативный примитивный квадрат, пандиагональный квадрат) написать матричное преобразование.
По этому матричному преобразованию я могу сформулировать дополнительные условия к примитивному квадрату, чтобы он мог превратиться в пандиагональный квадрат.

Но dimkadimon преобразование не написал
Придётся самой писать.
Я сейчас это проделаю для квадрата 10-го порядка. Мне это в дальнейшем понадобится: ещё не строила ассоциативные квадраты Стенли данного порядка и нет у меня ни одного совершенного магического квадрата из (различных) простых чисел.
Застряла на ассоциативных квадратах Стенли 8-го порядка, ищу наименьший. Вот уже дней 7 работает программа, до конца ещё далеко, решения пока нет. Мне известен один ассоциативный квадрат Стенли 8-го порядка с индексом 24024, это верхняя граница индекса (константа ассоциативности квадрата равна 6006).

Жаль, что я очень плохо знаю Excel.

[Nataly-Mak]

Nataly-Mak в сообщении #742464 писал(а):

Цитата:

20 1.00 Gustaf Barfknecht Albuquerque, New Mexico, United States 1 Jul 2013 17:11
. . . . .

1 балл - это, скорее всего, известное минимальное решение для N=6 (S=450).

Неверное предположение.
Jarek разбивает всё

Цитата:

20 .99 Gustaf Barfknecht Albuquerque, New Mexico, United States 1 Jul 2013 17:11

Весьма интересно, что же это был за результат в 1 балл, который уже уменьшился на сотку?
Известно, что решение для N=6 неулучшаемо.
Это не могло быть решение, которое лучше, чем у Jarek, так как в таком случае у него стало бы меньше 15 баллов.
Это могло быть решение в точности такое же, как у Jarek. По-моему, маловероятно.
Ещё версия: это могли быть два (или даже три) решения, которые в сумме дали 1 балл.

Эх, насколько интереснее была бы игра, если б было побольше активных участников!
Уважаемые форумчане, подключайтесь.
Неужели Wroblewski может, а вы нет???

-- Ср июл 03, 2013 14:35:20 --

dmd
вашу программу скачала, попробовала.
Редактирование происходит, но... ввожу в жёлтые ячейки не простые числа, программа никак не реагирует.
Видимо, у меня что-то не работает.

[Pavlovsky]

Для теоретиков.
Известно, что из 4-х пандиагональных квадратов порядка N, с одинаковой магической суммой, можно составить пандиагональный квадрат порядка 2N.

Возник такой вопрос:

Является ли пандиагональный квадрат порядка 2N регулярным, если он составлен из 4-х пандиагональных регулярных квадратов порядка N??