Асимптотическая плотность послед-ности и гипотезы о простых

[vicvolf]

Гипотеза Baterman-Horn

Формулировка

Пусть $f_1,f_2,...f_k$ - последовательности неприводимых многочленов с целыми коэффициентами со степенью соответственно $h_1,h_2,..h_k$, каждый из которых принимает бесконечное число простых значений.
Тогда плотность простых чисел на интервале натурального ряда от 2 до х, принадлежащих всем указанным многочленам определяется по формуле:
$P(f_1, f_2,...f_k,2,x) \sim \frac {C} {D \ln^k(x)},$ (1)
где $D=h_1\cdot h_2 \cdot ...\cdot h_k$, $C=\prod_{p<x}\frac {1-w_k(p)/p} {(1-1/p)^k}$, а $w_k(p)$ - число решений сравнения $f_1(x)\cdot f_2(x) \cdot...\cdot f_k(x) \equiv (\mod p)$. Обратим внимание, что $w_k(p)\leq p$, поэтому в общем случае коэффициент С в формуле (1) не отрицателен.

К настоящему времени доказана бесконечность простых значений только для многочленов первой степени $kn+l, (k,l)=1$ (теорема Дирихле).
Для многочленов степени выше первой существуют только гипотезы. В частности существует гипотеза Буняковского http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0% ... 0%B3%D0%BE
Для многочленов, удолетворяющих гипотезе Буняковского, выполняется неравенство $w_k(p)<p$, поэтому коэффициент С в формуле (1) положителен.

Однако, есть и другие мнения.

Руст в сообщении #707026 писал(а):

На самом деле неразложимость многочлена $f(x)$ над $Q$ еще ничего не гарантирует. Дополнительно требуется (как необходимое условие), чтобы для всех $p\le n=deg(f)$ было не разрешимо $f(x)=0$ над $Z_p$.
Например $x^3+2x+3$ неразложимый и значения всегда делятся на 3. На самом деле и указанное необходимое условие ничего не гарантирует. Для степеней выше 2 вопрос чрезвычайно сложный и вряд ли стоит касаться. Если брать только квадратные многочлены, то для решения потребуется доказательство гипотезы Берча Суинертона-Дайера, возможно в придачу к расширенной гипотезе Римана.

Хотя в гипотезе Baterman-Horn требуется выполнение гипотезы Буняковского, но наверно этого не достаточно для бесконечности простых значений для многочлена с целыми коэффициентами. Поэтому в условиях гипотезы Baterman-Horn я просто указал требование бесконечности простых значений для многочленов с целыми коэффициентами.

Частным случаем гипотезы Baterman-Horn является рассмотренная ранее гипотеза Харди-Литлвуда для многочленов $f_1=x, f_2=x+2n_1,...f_k=x+2n_1+...+2n_k$.

Продолжение следует.

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #739679 писал(а):

В частности существует гипотеза Буняковского http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0% ... 0%B3%D0%BE

Да простит меня Sonic86 (насколько я понял, он автор этой статьи), но в попытках обобщить гипотезу он сделал текст, так сказать, слегка бессмысленным. Он убрал условие, что значения многочлена не имеют общего множителя, и вместо этого просто поделил на этот множитель. Это сделало бессодержательным сам термин "удовлетворяющий условиям гипотезы Буняковского", сводя его просто к неприводимости над $\mathbb{Z}$.

vicvolf в сообщении #739679 писал(а):

Однако, есть и другие мнения.

Руст в сообщении #707026 писал(а):

На самом деле неразложимость многочлена $f(x)$ над $Q$ еще ничего не гарантирует. Дополнительно требуется (как необходимое условие), чтобы для всех $p\le n=deg(f)$ было не разрешимо $f(x)=0$ над $Z_p$.

Не занимайтесь коллекционированием мнений. Если вы не понимаете процитированного, это не повод подклеивать цитату в свою коллекцию с пометкой "мнение Руста", а повод разобраться и сделать выводы.

На самом деле процитированная фраза неверна - при $f(x)=x^2+1$ совершенно очевидно, что $f(x)\equiv0\pmod 2$ при любом нечетном $x$, что совершенно нормально уживается с бесконечностью простых чисел среди значений $f(x)$. Видимо, Руст хотел сказать "Дополнительно требуется (как необходимое условие), чтобы для всех $p\le n=deg(f)$ не было тождественно $f(x)\equiv0$ над $Z_p$". А это уже не "мнение", а простая переформулировка условия $w_k(p)<p$.

[Руст]

vicvolf в сообщении #739679 писал(а):

Гипотеза Baterman-Horn

Формулировка

Пусть $f_1,f_2,...f_k$ - последовательности неприводимых многочленов с целыми коэффициентами со степенью соответственно $h_1,h_2,..h_k$, каждый из которых принимает бесконечное число простых значений.
Тогда плотность простых чисел на интервале натурального ряда от 2 до х, принадлежащих всем указанным многочленам определяется по формуле:
$P(f_1, f_2,...f_k,2,x) \sim \frac {C} {D \ln^k(x)},$ (1)
где $D=h_1\cdot h_2 \cdot ...\cdot h_k$, $C=\prod_{p<x}\frac {1-w_k(p)/p} {(1-1/p)^k}$, а $w_k(p)$ - число решений сравнения $f_1(x)\cdot f_2(x) \cdot...\cdot f_k(x) \equiv (\mod p)$. Обратим внимание, что $w_k(p)\leq p$, поэтому в общем случае коэффициент С в формуле (1) не отрицателен.
.

Я уже приводил пример, что это чушь. $f_1(x)=x^2+2, f_2(x)=2x^2-1$. Если $f_1(x)$ при $x\not =0$ принимает простое значение, то оно вида $з=8n+3$, в то время как такое простое даже не делит ни одно значение $f_2(x)$, так как из $p|f_2(x)$ следует $(\frac{2}{p})=1\to p=\pm 1\mod 8$.

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #739679 писал(а):

Гипотеза Baterman-Horn
Тогда плотность простых чисел на интервале натурального ряда от 2 до х, принадлежащих всем указанным многочленам

Да, кстати, Руст справедливо заметил, что вы вообще неправильно написали само утверждение гипотезы. Видимо, обсуждаемая нами его фраза относилась к вашей формулировке, которая не имеет отношения к гипотезе Bateman-Horn и вообще неверна.

[vicvolf]

tolstopuz в сообщении #740233 писал(а):

vicvolf в сообщении #739679 писал(а):

В частности существует гипотеза Буняковского http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0% ... 0%B3%D0%BE

Да простит меня Sonic86 (насколько я понял, он автор этой статьи), но в попытках обобщить гипотезу он сделал текст, так сказать, слегка бессмысленным. Он убрал условие, что значения многочлена не имеют общего множителя, и вместо этого просто поделил на этот множитель. Это сделало бессодержательным сам термин "удовлетворяющий условиям гипотезы Буняковского", сводя его просто к неприводимости над $\mathbb{Z}$.

Согласен. Сделаю другую ссылку http://www.thefullwiki.org/Bunyakovsky_conjecture
При условиях гипотезы Буняковского многочлен содержит либо бесконечное множество чисел с наибольшим общим делителем , превышающих единицу, либо бесконечное множество простых чисел. Нас интересует случай, когда значения многочлена не имеют общего делителя больше 1, а принимает бесконечное множество простых значений, что я и указал в условии гипотезы Baterman-Horn.

Руст в сообщении #707026 писал(а):

На самом деле неразложимость многочлена $f(x)$ над $Q$ еще ничего не гарантирует. Дополнительно требуется (как необходимое условие), чтобы для всех $p\le n=deg(f)$ было не разрешимо $f(x)=0$ над $Z_p$.

Цитата:

На самом деле процитированная фраза неверна - при $f(x)=x^2+1$ совершенно очевидно, что $f(x)\equiv0\pmod 2$ при любом нечетном $x$, что совершенно нормально уживается с бесконечностью простых чисел среди значений $f(x)$. Видимо, Руст хотел сказать "Дополнительно требуется (как необходимое условие), чтобы для всех $p\le n=deg(f)$ не было тождественно $f(x)\equiv0$ над $Z_p$". А это уже не "мнение", а простая переформулировка условия $w_k(p)<p$.

Вы не до конца привели мнение Руста.

Руст в сообщении #707026 писал(а):

Для степеней выше 2 вопрос чрезвычайно сложный и вряд ли стоит касаться. Если брать только квадратные многочлены, то для решения потребуется доказательство гипотезы Берча Суинертона-Дайера, возможно в придачу к расширенной гипотезе Римана.

Как видите Руст считает, что условий гипотезы Буняковского даже если сюда добавить условие отсутствия общего делителя значений многочлена, не достаточно.

Я думаю, что в условиях гипотезы Baterman-Horn не требуется обязательных ссылок на другие гипотезы, тем более в частности в гипотезе рассматривается случай, когда все многочлены являются арифметическими прогрессиями $kn+l,(k,l)=1$, для которых бесконечность простых значений уже доказана.

-- 25.06.2013, 21:40 --

tolstopuz в сообщении #740448 писал(а):

Да, кстати, Руст справедливо заметил, что вы вообще неправильно написали само утверждение гипотезы.

Да, в формулировке гипотезы имеется ошибка. В гипотезе ищется плотность натуральных чисел, при которых все многочлены принимают простые значения.

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #740492 писал(а):

При условиях гипотезы Буняковского многочлен содержит либо бесконечное множество чисел с наибольшим общим делителем , превышающих единицу, либо бесконечное множество простых чисел.

Неверно. Значения простейшего многочлена $f(x)=x$ содержат бесконечное множество (все!) четных чисел с наибольшим общим делителем 2, но они же содержат и бесконечное множество (все!) простых чисел. Не читайте всякие помойки, а если читаете, то думайте над тем, что прочитали.

vicvolf в сообщении #740492 писал(а):

Как видите Руст считает, что условий гипотезы Буняковского даже если сюда добавить условие отсутствия общего делителя значений многочлена, не достаточно.

Эта его фраза относится к вашей неверной формулировке гипотезы Baterman-Horn.

vicvolf в сообщении #740492 писал(а):

Я думаю, что в условиях гипотезы Baterman-Horn не требуется обязательных ссылок на другие гипотезы

Их там и нет.

vicvolf в сообщении #740492 писал(а):

Да, в формулировке гипотезы имеется ошибка. В гипотезе ищется плотность натуральных чисел, при которых все многочлены принимают простые значения.

Замечательно. И формулировку гипотезы Буняковского вы тоже не смогли привести без ошибок. Может, вам лучше сменить сферу приложения усилий?

[vicvolf]

tolstopuz в сообщении #740615 писал(а):

vicvolf в сообщении #740492 писал(а):

При условиях гипотезы Буняковского многочлен содержит либо бесконечное множество чисел с наибольшим общим делителем , превышающих единицу, либо бесконечное множество простых чисел.

Неверно. Значения простейшего многочлена $f(x)=x$ содержат бесконечное множество (все!) четных чисел с наибольшим общим делителем 2, но они же содержат и бесконечное множество (все!) простых чисел.

В гипотезе Буняковского требуется, чтобы все значения целочисленного неприводимого многочлена $f(n)$ не имели целого делителя больше 1. Таким образом, гипотезу Буняковского можно сформулировать так.
Для того чтобы значения целочисленного неприводимого многочлена $f(n)$ равнялись простым числам при бесконечном множестве различных натуральных значений аргумента достаточно, чтобы не существовало целое число, больше 1, которое было бы делителем чисел f(n) при каждом значении n.

vicvolf в сообщении #740492 писал(а):

Как видите Руст считает, что условий гипотезы Буняковского даже если сюда добавить условие отсутствия общего делителя значений многочлена, не достаточно.

Цитата:

Эта его фраза относится к вашей неверной формулировке гипотезы Baterman-Horn

Эта фраза была высказана Рустом в другой теме, посвященной бесконечности простых значений многочлена, намного раньше и никак не связанной с гипотезой Baterman-Horn. Как я понял, вы это мнение не разделяете. В любом случае Буняковским высказана гипотеза, которая до сих пор не доказана и могут быть разные мнения.

[vicvolf]

Хочу вернуться к Гипотезе Харди-Литлвуда и прокомментировать отдельные моменты доказательства.

vicvolf в сообщении #736276 писал(а):

Доказательство гипотезы Харди-Литлвуда для близнецов.

На основании следствия 2 вероятность, что натуральное число х является простым равна:
$1/\ln(x)+o(1/\ln(x)). (1)$
Используя формулу Мертенса можно записать:
$e^C \prod_{p<n} (1-1/p) \sim 1/\ln(n) ,$ где C-постоянная Эйлера.
Это эквивалентно:
$e^C \prod_{p<n} (1-1/p) =1/\ln(n) +o(1/\ln(n)).(2)$
Пусть $A_1$ - событие, что большое натуральное число n является простым.
Тогда на основании формул (1),(2):
$P(A_1)=e^C \prod_{p<n} (1-1/p).(3)$

Найдем вероятность, что большое натуральное число n является простым другим методом.
Для фиксированного простого p разобьем натуральный ряд чисел на p непересекающихся классов: $pl-p+1, pl-p+2, ...pl-1, pl,$ где i - натуральное число. Простые числа могут находиться в p-1 классах кроме класса pl. Плотности простых чисел во всех последовательностях арифметических прогрессий: $pl-p+t, t \leq p-1$ одинаковы, поэтому равны и их количества на интервале натурального ряда от 2 до n. Учитывая это вероятность, что простое число p не является делителем натурального числа n равна $(p-1)/p=1-1/p$.
Для того, чтобы натуральное число n являлось простым, оно не должно делится на любое число p меньше n. Предположим, независимость остатков от деления n на различные p, тогда вероятность, что большое натуральное число n является простым равна произведению вероятностей независимых событий $\prod_{p<n} (1-1/p).$(3.1).
Сопоставим формулы (3) и (3.1). Формула (3.1) получена при условии независимости остатков от деления n на различные p, а формула (3) без данного предположения.
Следовательно, остатки от деления натурального числа n на различные простые числа p зависимы и отношение вероятностей, что большое натуральное число n является простым с учетом зависимости и без учета зависимости равно $e^C,$ (3.2) где С- постоянная Эйлера.

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #740688 писал(а):

Таким образом, гипотезу Буняковского можно сформулировать так.
Для того чтобы значения целочисленного неприводимого многочлена $f(n)$ равнялись простым числам при бесконечном множестве различных натуральных значений аргумента достаточно, чтобы не существовало целое число, больше 1, которое было бы делителем чисел f(n) при каждом значении n.

Ну наконец-то.

vicvolf в сообщении #740765 писал(а):

Следовательно, остатки от деления натурального числа n на различные простые числа p зависимы и отношение вероятностей, что большое натуральное число n является простым с учетом зависимости и без учета зависимости равно $e^C,$ (3.2) где С- постоянная Эйлера.

Мы посмотрели очередной выпуск передачи "В гостях у сказки". Сегодня, дорогие ребята, две рациональных вероятности поделились друг на друга, и в результате родилось иррациональное число.

[vicvolf]

Вероятность $P(A_1)$, определяемая по формуле (3), не является рациональным числом.

[vicvolf]

Комментарии к общему случаю гипотезы Харди-Литлвуда.

vicvolf в сообщении #738374 писал(а):

На основании следствия 2 вероятность события, что натуральное число х является простым равна $1/\ln(x)+o(1/\ln(x)).$ (12)
Обозначим:
- $A_1$ событие, что большое натуральное число n является простым;
- $A_2$ событие, что натуральное число $n+2l_1$ является простым;
...
- $A_k$ событие, что натуральное число $n+2l_1+...+2l_k$ является простым.
Так как n большое, то длина k-кортежа $2(l_1+l_2+...l_k)$ значительно меньше n (13).
Тогда на основании (12), (13) выполняется:
$Pr(A_1)=Pr(A_2)=...=Pr(A_k)=1/\ln(n).$ (14)
На основании (13), (14) все $Pr(A_i)$ принадлежат к одной вероятностной мере, поэтому для них справедлива формула вероятности произведения событий.
Предположим, что все события $A_i$ независимы, тогда:
$Pr(A_1 \cdot A_2 \cdot ...\cdot A_k)=Pr(A_1)Pr(A_2)...Pr(A_k)=1/\ln^k(n).$ (15)
Однако, события $A_i$ зависимы, поэтому надо ввести поправочный коэффициент для учета зависимости - $C_k$.
С учетом поправочного коэффициента $C_k$ (15) запишется в виде:
$Pr(A_1 \cdot A_2 \cdot ...\cdot A_k)=C_k/\ln^k(n),$ (16) что соответствует гипотезе Харди-Литлвуда для k-кортежа.

Обычно по умолчанию предполагается зависимость событий и доказывается их независимость.
Таким образом, формула (16) выведена только на основании доказанных предпосылок (следствия 2 и использовании формулы вероятности произведения событий для вероятностей, принадлежащих одной вероятностной мере).
Из формулы (16) на основании следствия 2 вытекает формулировка общего случая гипотезы Харди-Литлвуда через плотность:
$P(f,2,x)=C_k/\ln^k(x)+o(1/\ln^k(x)),$ (16.1)
где f(n) - последовательность простых k-кортежей в натуральном ряде на интервале [2,x),
или более привычная формулировка гипотезы:
$P(f,2,x) \sim C_k/\ln^k(x).$ (16.2)

[vicvolf]

tolstopuz в сообщении #720926 писал(а):

2. Плотность последовательности на конечном интервале является вероятностной мерой на конечном пространстве событий. При этом никогда нельзя подменять конечный интервал всем натуральным рядом, в том числе используя заклинание "достаточно большой". Если вам надо перейти к бесконечному интервалу, придется делать явный предельный переход. Если бы мера была счетно-аддитивной, можно было бы воспользоваться теоремами, где эти предельные переходы уже сделаны за вас, но, к сожалению, не судьба. И скорее всего в ключевом месте этот переход будет просто невозможен, иначе все было бы слишком просто :)

Вернусь к этому вопросу, так как он интересовал многих, поэтому нужны пояснения.
Переход к большому интервалу - это переход к асимптотической плотности.
Асимптотическая плотность последовательности простых чисел f(n) на интервале от 2 до х - $P(f,2,x) \sim 1/\ln(x)$. Это означает, что $\lim \limits_{x \to \infty} {P(f,2,x)}=\lim \limits_{x \to \infty} {1/\ln(x)}=0$.
Однако равенство плотности 0 в абстрактной бесконечности не отражает сути, так как плотность стремится к 0 для функции $1/x$ и для функции $1/\ln^3(x)$.
Смысл в том, что при достаточно большом, но конечном значении х функция $P(f,2,x)$ близка именно к функции $1/\ln(x)$, т.е. $P(f,2,x)=1/\ln(x)+o(1/\ln(x))$.
Таким образом, в данном случае мы рассматриваем плотность не на бесконечном, а на большом, но конечном интервале.
При этих условиях плотность является конечной вероятностной мерой и значение данной вероятностной меры для последовательности простых чисел - $P(f,2,x)=1/\ln(x)+o(1/\ln(x))$.

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #740995 писал(а):

$P(f,2,x) \sim C_k/\ln^k(x).$ (16.2)

У вас для каждого $x$ свой интервал, своя вероятностная мера. На каком основании вы заключаете, что $C_k$ - константа? Пока вы это не доказали, надо писать так: $P(f,2,x) \sim C_k(x)/\ln^k x.$

[vicvolf]

Для определения поправочного коэффициента зависимости событий $C_k$ мы должны для каждого простого числа p найти поправочный коэффициент $C_k(p)$.
Я уже показывал, что $C_k(p)=\frac {1-w_k(p)/p} {(1-1/p)^k}$ не зависит от n, а только зависит от p. Поэтому $C_k=\prod_{p}C_k(p)$ также не зависит от n.

[vicvolf]

tolstopuz в сообщении #720874 писал(а):

http://chromotopy.org/?p=117

Прочитал данную статью и хочу поделиться интересными выводами.
В статье говорится, что так как для последовательности $f(n)=pn+k$, где k от 0 до p-1, асимптотическая плотность на интервале от 2 до x равна $P(f,2,x) \sim 1/p$ и для второй последовательности $g(n)=qn+l$, где l от 0 до q-1, асимптотическая плотность на интервале от 2 до x равна $P(g,2,x) \sim 1/q$, то для взаимнопростых p и q выполняется$P(f \cap g,2,x) \sim 1/pq \sim P(f,2,x) \cdot P(g,2,x)$. Естественно это выполняется также, когда p и q простые числа. Следовательно, остатки от деления натурального числа x на различные простые числа независимы для асимптотической плотности. Напомню, что асимптотическая плотность не обладает свойством счетной аддитивности, поэтому не является вероятностной мерой.
Как уже говорилось мной ранее остатки от деления большого натурального числа x на разные простые числа зависимы для конечной плотности, являющейся вероятностной мерой, что следует из формулы Мертенса. Немного повторюсь по случаю.
На основании следствия 2 вероятность, что натуральное число х является простым равна:
$1/\ln(x)+o(1/\ln(x)). (1)$
Используя формулу Мертенса можно записать:
$e^C \prod_{p<n} (1-1/p) \sim 1/\ln(n) ,$ где C-постоянная Эйлера.
Это эквивалентно:
$e^C \prod_{p<n} (1-1/p) =1/\ln(n) +o(1/\ln(n)).(2)$
Пусть $A$ - событие, что большое натуральное число n является простым, т.е. не делится на все простые числа меньше n.
Тогда на основании формул (1),(2):
$P(A)=e^C \prod_{p<n} (1-1/p).(3)$
Для больших n данная зависимость также подтверждается следующим интересным вероятностным анализом.

tolstopuz в сообщении #734134 писал(а):

Чтобы число $n$ было простым, оно не должно делиться на предыдущие простые числа. Если считать факты делимости на разные простые числа независимыми, то получаем

$$P(n)=\prod_{p<n}P_p(n)\approx\prod_{p<n}\frac{p-1}p=\frac 1 2 \frac 2 3 \frac 4 5 \frac 6 7 \frac {10} {11} \frac {12}{13}\ldots$$

(здесь и далее все произведения берутся по простым числам).
Для $p$, малых по сравнению с $\sqrt{n}$, независимость действительно хорошо соблюдается: $(1-P_5(1000))(1-P_7(1000))=\frac{200}{1000}\frac{142}{1000}=0,0284$, а $1-P_{35}(1000)=\frac{28}{1000}=0,028$.
Для $p$, сравнимых с $\sqrt n$ и еще больших, ситуация намного хуже: $(1-P_{23}(1000))(1-P_{29}(1000))=\frac{23}{1000}\frac{29}{1000}=0,001462$, а $1-P_{23\cdot29}(1000)=\frac{1}{1000}=0,001$.

Следовательно, остатки от деления большого натурального числа n на различные простые числа p действительно зависимы и отношение вероятностей, что большое натуральное число n является простым с учетом зависимости и без учета зависимости на основании (3) равно $e^C,$ где С- постоянная Эйлера. Сравнение с реальными данными показывает, к каким неверным выводам можно придти при подходе через асимптотическую плотность.