Трехдиагональная система для уравнения теплопроводности

[shupenker]

Здравствуйте,
Пытаюсь решить уравнение теплопроводности, использую неявную разностную схему.
В учебнике Самарского написано, что все уравнения будут иметь один и тот же вид:

Цитата:

$\gamma y_{i+1}^{n+1} - (1+2\gamma) y_i^{n+1} + \gamma y_{i-1}^{n+1}=-F_i^n$, $i=1,2,\ldots, N-1$, $y_0^{n+1} = \mu_1(t_{n+1})$, $y_N^{n+1} = \mu_2(t_{n+1})$, (13)
где $\gamma = \tau/h^2$, $F_i^n=y_i^n +\tau \varphi_i^n$. Эту систему можно решить методом прогонки (см. п. 7 § 4 ч. I), так как условия устойчивости прогонки выполнены.

Понятно, что трехдиагональная сисема получится
Не понятно, как получить правую часть $F$ этой системы. Ведь в нее входят пока еще не известные $y^n_i$
Помогите, пожалуйста, разобраться.

[ewert]

Там крайне неудачные обозначения. Используйте тупо неявную схему: $\dfrac{y^{\text{нов}}_i-y^{\text{стар}}_i}{\tau}=\dfrac1{h^2}(y^{\text{нов}}_{i-1}-2y^{\text{нов}}_i+y^{\text{нов}}_{i+1})+\varphi_i$. Ну там с точностью до знака при фях -- лень вникать.

-- Сб июн 01, 2013 01:17:44 --

А, я не врубился:

shupenker в сообщении #731041 писал(а):

Ведь в нее входят пока еще не известные y_in

Что значит "неизвестные" -- ведь это же значения на старом временнОм слое и, соотв., давно (уже шаг прошёл) как известны.

[shupenker]

Тогда решить систему уравнений для всей квадратной области не получится? Нужно решать для каждого отсчета t отдельную систему? И не будет ли слишком быстро накапливаться погрешность в таком случае он нижнего к верхним слоям?

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

shupenker, наберите все формулы $\TeX$ом. Картинку, содержащую цитату из учебника, можете оставить. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[GAA]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[TOTAL]

shupenker в сообщении #731141 писал(а):

Тогда решить систему уравнений для всей квадратной области не получится? Нужно решать для каждого отсчета t отдельную систему?

Почему решить систему уравнений для всей квадратной области не получится?

[ewert]

shupenker в сообщении #731141 писал(а):

Тогда решить систему уравнений для всей квадратной области не получится? Нужно решать для каждого отсчета t отдельную систему?

Погуглите на "схему переменных направлений" или, что то же, "метод дробных шагов".

shupenker в сообщении #731141 писал(а):

И не будет ли слишком быстро накапливаться погрешность в таком случае он нижнего к верхним слоям?

Конечно, погрешность будет накапливаться, причём (в относительном масштабе) экспоненциально; это общее свойство для всех дифференциальных уравнений вообще. Но это -- лишь если нас интересует именно временнАя зависимость. Если же мы интересуемся лишь предельным значением, т.е. используем такого рода схему как итерационную для решения уравнения Пуассона, то никакого накопления погрешностей быть не может в принципе, и это -- тоже общее свойство всех итерационных схем вообще.

[shupenker]

Мне нужно сделать именно неявную схему для неоднородного уравнения теплопроводности.
В явной схеме можно даже без системы уравнений обойтисть, наверное, применяя шаблон р.с. снизу от начальных условий.
Но в случае неявной схемы, чтобы найти значения на $j+1$ временном слое необходимо вычислить значения на $j$-м. Следовательно получается по системе уравнений на каждый временнОй слой. Это нормальный подход или можно как-то лучше\проще сделать?

[TOTAL]

shupenker в сообщении #731263 писал(а):

Но в случае неявной схемы, чтобы найти значения на $j+1$ временном слое необходимо вычислить значения на $j$-м.

В случае явной схемы, чтобы найти значения на $j+1$ временном слое, тоже надо знать значения на $j$-м.

[shupenker]

TOTAL в сообщении #731269 писал(а):

В случае явной схемы, чтобы найти значения на временном слое, тоже надо знать значения на -м.

на $j$-м слое из начального условия $u(x,0)=...$можно найти же и никакой системы уравнений не будет

[TOTAL]

shupenker в сообщении #731275 писал(а):

на $j$-м слое из начального условия $u(x,0)=...$можно найти же и никакой системы уравнений не будет

Для неявной схемы тоже все можно найти из начального условия.

[shupenker]

TOTAL в сообщении #731277 писал(а):

Для неявной схемы тоже все можно найти из начального условия.

Расскажите тогда, пожалуйста, как все сделать "по уму". В итоге мне нужно получить трехдиагональную систему и ее правую часть с числовыми коэффициентами, а то все общими фразами, не понятно

[TOTAL]

shupenker в сообщении #731280 писал(а):

Расскажите тогда, пожалуйста, как все сделать "по уму". В итоге мне нужно получить трехдиагональную систему и ее правую часть с числовыми коэффициентами, а то все общими фразами, не понятно

Рассказываю: в приведенной выше цитате из Самарского трехдиагональная система уравнений записана. Чего ещё надо?

[shupenker]

TOTAL в сообщении #731282 писал(а):

Рассказываю: в приведенной выше цитате из Самарского трехдиагональная система уравнений записана. Чего ещё надо?

shupenker в сообщении #731041 писал(а):

Не понятно, как получить правую часть этой системы. Ведь в нее входят пока еще не известные $y^i_n$

Начальное условие задает чиловые значения правой части только для самого нижнего временнОго слоя.

shupenker в сообщении #731263 писал(а):

Но в случае неявной схемы, чтобы найти значения на временном слое $j+1$необходимо вычислить значения на $j$-м

Вот я и подумал, что для этого нужно решать систему для каждого слоя

[ewert]

shupenker в сообщении #731263 писал(а):

Но в случае неявной схемы, чтобы найти значения на $j+1$ временном слое необходимо вычислить значения на $j$-м.

Зачем вычислять уже вычисленное?